信号与系统连续时间LTI系统频率响应

1、信号与系统连续时间LTI系统频率响应1010(j )( )(j ) ( )( ) (j )( )(j )( )( )nnmmaYaYa YbXbXb X一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的定义系统频率响应的定义 常系数线性微分方程来描述一个连续时间常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTILTI系统，即系统，即1010d( )d ( )d( )d ( ) ( )=( )ddddnmnmnmy ty tx tx taaa y tbbb x ttttt)()j ()j ()()j ()j (0101XbbbYaaammnn11101110(j )(j )(j )( )( )(j )(j )

2、(j )mmmmnnnnbbbbYXaaaa令令则有则有( )( )( )YHX( )( )( )YHXH() 称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。由傅立叶变换及其性质可得：由傅立叶变换及其性质可得：系统频率响应系统频率响应 H()一般是一般是 的复函数，可以表示为的复函数，可以表示为一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的定义系统频率响应的定义 jeHH)()(说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关，是表征系统特性的一个重要参数。无关，是表征系统特性的一个

3、重要参数。 )(称为系统的相频响应特性，简称相频响应称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性或相频特性. . )(H 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性。或幅频特性。 当系统的激励为冲激信号当系统的激励为冲激信号(t) ，系统的零状态响应即为，系统的零状态响应即为冲激响应冲激响应 h (t) ，即，即一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的定义系统频率响应的定义 ( )( )( )( )y th tth t根据傅立叶变换的时域卷积性质有根据傅立叶变换的时域卷积性质有( )( )( )YHX令令h (t) 的傅立叶变换为的傅立叶变换为H(

4、) ( )( )( )zsyth tx t对任意激励对任意激励x(t)响应为响应为( )( )( )( )Yh tHXF F说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。h(t)和和H() 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。( )( )( )( )Yh tHXF jeHH)()()(系统相频响应，是系统相频响应，是 的奇函数。的奇函数。 )(H系统的幅频响应。是系统的幅频响应。是 的偶函数。的偶函数。一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义系统频率响应的物理意义 当系统的激励为复指数信号

5、当系统的激励为复指数信号 时，系统的零时，系统的零状态响应由卷积积分可得状态响应由卷积积分可得)(ejttjj()jjj( )e( )e( )dee( )de( )tttty th thhH 上式表明，当一个复指数信号上式表明，当一个复指数信号 作用于线性系统时，作用于线性系统时，其响应仍为同频率的复指数信号，不同的是响应比激励多乘其响应仍为同频率的复指数信号，不同的是响应比激励多乘了一个复函数了一个复函数 H() 。 tje一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义系统频率响应的物理意义 1( )( )2jjjjtjjte eHeeeHe 可以求得这时系统响应可以求得这时系统响应当

6、系统的激励为某一频率的正弦时，当系统的激励为某一频率的正弦时，根据欧拉公式根据欧拉公式ttcostjjtjjeeeet21cos1( )( )()2jjtjjty te eHeeH ( ) cosHt 一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义系统频率响应的物理意义 tHtycos)()(系统输入信号是正弦信号，那么系统的零状态响应（正弦系统输入信号是正弦信号，那么系统的零状态响应（正弦稳态响应）也是一个同频率的正弦信号，响应信号的幅度和稳态响应）也是一个同频率的正弦信号，响应信号的幅度和相位有了变化。相位有了变化。零状态响应与激励信号幅度的比值随频率的变化就是系统零状态响应与激励信

7、号幅度的比值随频率的变化就是系统的幅频响应。的幅频响应。零状态响应信号与零状态响应信号与激励激励信号相位之差随频率的变化就是系信号相位之差随频率的变化就是系统的相频响应。统的相频响应。一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的定义系统频率响应的定义 tHtycos)()( 上式还为实验手段测量系统频率响应提供了理论依据。上式还为实验手段测量系统频率响应提供了理论依据。 实验方法测量系统频率响应一般是让输入正弦信号幅度实验方法测量系统频率响应一般是让输入正弦信号幅度恒为恒为1 1，改变输入正弦信号的频率，改变输入正弦信号的频率测量输出信号的幅度就可以得到系统的幅频响应测量输出信号的幅度就可以得

8、到系统的幅频响应测量输出信号与输入信号的相位差就可以得到系统的相频测量输出信号与输入信号的相位差就可以得到系统的相频响应。响应。 有一点需要指出的是，上面讨论的测量方法中，测量的有一点需要指出的是，上面讨论的测量方法中，测量的响应是系统的零状态响应，也就是正弦稳态响应。响应是系统的零状态响应，也就是正弦稳态响应。 所以系统频率响应只是包含了系统零状态响应或正弦稳所以系统频率响应只是包含了系统零状态响应或正弦稳态响应的信息，而系统起始状态对系统的作用不能从系统频态响应的信息，而系统起始状态对系统的作用不能从系统频率响应中求得。率响应中求得。 （4） 频率响应频率响应 H() 是系统对正弦信号是系

9、统对正弦信号 正弦正弦稳态响应的幅度之比和附加相移，即稳态响应的幅度之比和附加相移，即 tHtcos)(costcos一、连续时间一、连续时间LTI系统频率响应的定义系统频率响应的定义 综上所述，系统频率响应有以下几种等价的定义。综上所述，系统频率响应有以下几种等价的定义。（1）频率响应）频率响应 H() 是系统零状态响应与系统激励信号的傅是系统零状态响应与系统激励信号的傅里叶变换之比，即里叶变换之比，即HYX( )( )( )（3） 频率响应频率响应 H() 是系统对复指数信号是系统对复指数信号 的加权的加权（得到系统的稳态响应）（得到系统的稳态响应）ttHjje )(etje)()(Hth

10、（2） 频率响应频率响应 H() 是系统冲激响应的傅里叶变换，即是系统冲激响应的傅里叶变换，即二、频率响应的性质二、频率响应的性质 (1) (1) 存在性存在性只有稳定的只有稳定的LTILTI系统才存在频率响应。系统才存在频率响应。h tt( )d (2) (2) 频率响应具有共轭对称性，即频率响应具有共轭对称性，即HH()( )()( HH)()(即即亦即狄里赫利条件中的绝对可积条件。亦即狄里赫利条件中的绝对可积条件。存在性依赖于稳定性。存在性依赖于稳定性。LTILTI系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是二、频率响应的性质二、频率响应的性质 佩利佩利维纳准则：维纳准则：(3) (3) 一

11、个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统。现系统。( (物理可实现性物理可实现性) )。注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。注意：只是系统物理可实现的必要条件，而非充分条件。幅频响应为幅频响应为 的系统可实现的必要条件为的系统可实现的必要条件为而且幅频特性必须平方可积，即而且幅频特性必须平方可积，即ln( )dH12H( )2d ( )H(4) (4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种相互制约的因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种相互制约的特性。特性。对于因果系统，其冲激响应对于因果系统，其冲激响应h (t)可表

12、示为可表示为h th t u t( )( ) ( )111d2jj( )( )( )( )HHH 由傅立叶变换的频域卷积性质，可得由傅立叶变换的频域卷积性质，可得频率响应可表示为实部和虚部的形式，即频率响应可表示为实部和虚部的形式，即HHHRI( )( )( ) j其中其中HHRI( )( )1dHHIR( )( ) 1d上述两式称为希尔伯特变换对。上述两式称为希尔伯特变换对。 说明说明: : 具有因果性系统的频率响应的实部具有因果性系统的频率响应的实部 被已被已知的虚部知的虚部 唯一地确定，反过来也一样。唯一地确定，反过来也一样。( )RH( )IH( )( )( )RIFFjF推广：上述结

13、论可以推广到因果信号推广：上述结论可以推广到因果信号( )( ) ( )f tf t u t则则 和和 之间也构成希尔伯特变换对。之间也构成希尔伯特变换对。( )RF( )IF三、频率响应的计算三、频率响应的计算 根据各种定义来计算根据各种定义来计算如果系统给定电路，则利用相量分析法，如果系统给定电路，则利用相量分析法，求出输出信号相量与输入信号相量之比求出输出信号相量与输入信号相量之比即是系统的频率响应即是系统的频率响应三、频率响应的计算三、频率响应的计算 解：解： 因为因为所以系统稳定，其傅里叶变换存在。所以系统稳定，其傅里叶变换存在。02d)(deeh例：已知一个例：已知一个LTILTI

14、因果系统的单位冲激响应为因果系统的单位冲激响应为 试求该系统的频率响应试求该系统的频率响应H() 。)()(2tueethttj2j0( )( )(-)Hhedeeed则系统的频率响应为则系统的频率响应为21111223jjj三、频率响应的计算三、频率响应的计算 相频特性相频特性321)(2jH幅频特性幅频特性三、频率响应的计算三、频率响应的计算 )(7)(13)(5)(8)(10)(23XjYjjj例：例： 已知一个零状态已知一个零状态LTILTI系统由下列微分方程表征系统由下列微分方程表征试求该系统的频率响应试求该系统的频率响应H H() () 。3232 ( ) 10( )8( )5 (

15、 ) =13( )7 ( )ddddy ty ty ty tx tx tdtdtdtdt3232( )137137( )( )()10()851085YjjHXjjjjj解：解： 对上式两边取傅立叶变换，得对上式两边取傅立叶变换，得 所以系统的频率响应为所以系统的频率响应为三、频率响应的计算三、频率响应的计算 例：例： 已知电路如图所示，试求该系统已知电路如图所示，试求该系统的频率响应的频率响应 H() 。 求输出信号相量与输入信号的相量之比，求输出信号相量与输入信号的相量之比， 即为电路系即为电路系统的频率响应统的频率响应解：对于电路系统，用相量分析法求它的频率响应解：对于电路系统，用相量分

16、析法求它的频率响应CLR,CjLjR1,复阻抗分别为复阻抗分别为 RCjjCjRRVVH11)()(12根据分压原理得根据分压原理得三、频率响应的计算三、频率响应的计算 从而得幅频响应为从而得幅频响应为 相频特性为相频特性为 221HRC( )arctan2CR ，求零状态响应，求零状态响应 。有始信号通过线性电路的瞬态分析有始信号通过线性电路的瞬态分析 ( )2e tu tu t 0ut例：已知例：已知R0()UjC()E j1j CIj频域电路模型频域电路模型R( )e t( )ou tC时域电路模型时域电路模型( )I t11(1)()2( )( ) jjE jeejj解：解： ( )2

17、e tu tu t222222(1)(.)jjjjjeeeeejj222221()2()222jjjjeeeSaej 22110121( )()122112()1113()()()212224( )()1(1)121jjajajjjF e tE jeSejj cH jj RcRj cR jE jH jSej Rcu tFR jFeejjRCFej解：求求系统函数，电压传输比求求1()022)111( )2( )11()2()1( ) 2( )()2 1()jttRCttjjRCtRCejjRCRCetetjjRCeteeetjjRCu tttet 2利用。得2。得故RCjCjRCjjEjUjH 1111)()()2(0）（求系统函数求系统函数R( )e t( )ou tCR0()UjC()E j1j CIj时域电路模型时域电路模型频域电路模型频域电路模型( )I t11021(4)( )()(1)1ju tR jejj RCFF求121(1)1jj RCj RCejj RCF12(1)2(1)1jjRCeejj RCF1222(1)11jjeejjjRCR