同济高等数学第三版(1.8)第八节函数的连续性汇总

1、 自然界中普遍存在着连续变化的现象。如自然界中普遍存在着连续变化的现象。如植物的生植物的生长过程中，其高度随时间连续地变化。气温随时间的连长过程中，其高度随时间连续地变化。气温随时间的连续地变化。物体的体积膨胀随温度的连续地变化等。续地变化。物体的体积膨胀随温度的连续地变化等。 反映这种连续变化现象的反映这种连续变化现象的数量关系的就是所谓函数的连数量关系的就是所谓函数的连续性。从几何角度看，这种连续性。从几何角度看，这种连续变化的函数的图形对应着一续变化的函数的图形对应着一条绵延不断的曲线。条绵延不断的曲线。 CC tt3691215182124OC152010525 自然界现象中也存在变化

2、不连续现象。如夜间虫鸣自然界现象中也存在变化不连续现象。如夜间虫鸣的音量、脉冲波电压随时间的变化等。反映这种不连续的音量、脉冲波电压随时间的变化等。反映这种不连续变化现象的函数图形呈现出一种逐段分布的特性。变化现象的函数图形呈现出一种逐段分布的特性。 tOV VV t 光阴荏苒，物换星移，老光阴荏苒，物换星移，老友故交相逢，往往慨叹物是人友故交相逢，往往慨叹物是人非。然而，熟人、邻居数日后非。然而，熟人、邻居数日后再见，却不会发现彼此有什么再见，却不会发现彼此有什么变化，这就是连续变化现象。变化，这就是连续变化现象。 因为在较短的时间段内，因为在较短的时间段内，人的相貌体形不会有太大的变人的相

3、貌体形不会有太大的变化，因而不易观察出来，只有化，因而不易观察出来，只有当时间跨度较大时，变化才比当时间跨度较大时，变化才比较明显。较明显。y xOy yfx2x1x1x2x1fx2fx1fx2fxx x y 曲线在一点连续与不连续的差别在于曲线在曲线在一点连续与不连续的差别在于曲线在该点处的函数值是否产生了该点处的函数值是否产生了“突变突变”。 设变量设变量 u 从它的初始值从它的初始值 u1 变化到终值变化到终值 u2，则终值则终值u2 与初始值与初始值 u1 之差之差 u2 - - u1 称为变量称为变量 u 在在 u1 处的增量处的增量，记作记作： u = u2 - - u1 . .

4、0u 0u 增量记号增量记号 u 是一个整体，其是一个整体，其意义是变量意义是变量 u 发生改发生改变的量的值变的量的值 u = u 2 - - u1，增量增量 u 可以是正的，也可以可以是正的，也可以是负的是负的。不论不论 u 是正是负，都表示变量是正是负，都表示变量 u 发生了改变发生了改变, ,因此增量因此增量 u 又称为变量又称为变量 u 的改变量。的改变量。 当当 u 0 时时，表示变量表示变量 u 的变化是增加的，此时的变化是增加的，此时u2 = u1 + u u1; ;； 当当 u 0 时时，表示变量表示变量 u 的变化是增加的，此时的变化是增加的，此时u2 = u1 + u 0

5、 ，总存在正数，总存在正数 0，使得对，使得对于适合不等式于适合不等式 | | x - x 0| | 的一切的一切 x 都都有有 | | f( x )- f( x 0 )| | 0， 0，使得对使得对于适合不等式于适合不等式- - x - - x 0 的一切的一切x，对应函数值，对应函数值 f( x )都满足不等式都满足不等式| | f( x )- - f( x 0 )| | 0， 0，使得对使得对于适合不等式于适合不等式 0 x - - x 0 的一切的一切 x，对应函数值对应函数值 f( x )都满足不等式都满足不等式| | f( x )- - f( x 0 )| | 0 , ,a 1,

6、,x ( - - , ,+ )， 由定义可直接证明由定义可直接证明 因此对因此对 x 0 ( - - , ,+ )有有 故指数函数故指数函数 y = a x 在其定义域在其定义域( - - , ,+ )内连续。内连续。 0lim1xxa , , 000000000 limlimlim1.xxx xxx xxxxxxxxxaaaaaaa 由于由于指数函数指数函数 y = a x 在其定义域在其定义域( - - , ,+ )内单调内单调连续，值域为连续，值域为( 0 , ,+ )，故故由反函数相应的连续性知，由反函数相应的连续性知，对数函数对数函数 y = log a x 在其定义域在其定义域(

7、0 , ,+ )是连续的。是连续的。 幂函数的一般定义为幂函数的一般定义为 x = e ln x ，x ( 0 , ,+ )，故故由指数函数、对数函数的连续性及复合函数的连续性知由指数函数、对数函数的连续性及复合函数的连续性知幂函数幂函数 y = x 在其定义区间在其定义区间( 0 , ,+ )内是连续的。内是连续的。 综上讨论知：综上讨论知： 基本初等函数在其定义域内都是连续的。基本初等函数在其定义域内都是连续的。 初等函数是由常数及基本初等函数初等函数是由常数及基本初等函数经有限次的四则经有限次的四则运算及有限次的复合过程并由一个式子所表示的函数，运算及有限次的复合过程并由一个式子所表示的

8、函数， 由于常数及基本初等函数在其定义域内的连续性由于常数及基本初等函数在其定义域内的连续性及连续函数的四则运算及复合运算的连续性可知：及连续函数的四则运算及复合运算的连续性可知： 一切初等函数在其一切初等函数在其 定义区定义区间内都是连续的间内都是连续的。 初等函数的连续性命题给出了判别连续性的有效初等函数的连续性命题给出了判别连续性的有效方法。因为微积分所讨论函数主要是初等函数，因此方法。因为微积分所讨论函数主要是初等函数，因此判别给定函数的连续性可先考察其是否为初等函数，判别给定函数的连续性可先考察其是否为初等函数，若给定函数是否为初等函数，则可方便地确定其在定若给定函数是否为初等函数，

9、则可方便地确定其在定义区间内的连续性。义区间内的连续性。 此外，初等函数的连续性命题给出了求初等函数此外，初等函数的连续性命题给出了求初等函数极限的简便方法，求初等函数在定义区间内某点极限的简便方法，求初等函数在定义区间内某点 x 0 处处的极限可归结为求该函数在的极限可归结为求该函数在 x 0 点点处处的函数值，即的函数值，即 00lim.xxf xf x 以上所讲的只是初等函数在其定义区间内是连续以上所讲的只是初等函数在其定义区间内是连续的，并未说在其定义域内是连续的。因为初等函数的的，并未说在其定义域内是连续的。因为初等函数的定义域未必构成区间。定义域未必构成区间。 是初等函数，其定义域

10、为是初等函数，其定义域为 D = x | x = 2k ，k z . . 由于由于 D 的每一点都是孤立点，因而不构成区间。的每一点都是孤立点，因而不构成区间。对于这种孤立点，对于这种孤立点，f( x )在其邻域内无定义，因而在定在其邻域内无定义，因而在定义域内每一点都不连续。义域内每一点都不连续。由于初等函数的定义域可能由于初等函数的定义域可能包含孤立点，因而不能笼统地说初等函数在其定义域包含孤立点，因而不能笼统地说初等函数在其定义域内连续，只能说初等函数在定义区间上是连续的。内连续，只能说初等函数在定义区间上是连续的。 cos1fxx , ,例例如如例例：求极限求极限 由于由于 x 0 =

11、 / /2是初等函数是初等函数 f( x )= ln sin x 的定义区间的定义区间( 0, , )内的点内的点，故由初等函数的连续性有，故由初等函数的连续性有 2lim lnsin.xx 2lim lnsinlnsinln10.2xx 例例：设设函数函数 在在( - - , ,+ )内内连续，求连续，求: : a . . 为求为求 a 需先建立关于需先建立关于 a 的方程。的方程。由于已知由于已知 f( x )在在( - - , ,+ )内连续，内连续，故故可根据函数可根据函数连续连续性性建立方程。建立方程。 在在( - - , , 0 )内，内，函数函数 cos 2x 连续。连续。 在在

12、( 0 , ,+ )内，不论内，不论 a 取何值，取何值，f( x )= aln( 1 + x )/ /x 均均连续，故连续，故根据给根据给定的函数定的函数连续连续性条件，性条件，在点在点 x 0 = 0 处有处有 ln 10cos20axxxfxxx , , , , ., . 00limlim.0 xxfffxx 由于由于 f( 0 )= cos 2 0 = 1，故由故由 得得 a = 1. . 000ln 1limlimlimxxxaxaxf xaxx, , 00limlim cos2cos01xxfxx, , 00limlim0 xxfffxx人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰