测试系统中的信号分析

1、2.4 2.4 信号的频域分析信号的频域分析 第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)x(t)变换为频变换为频域信号域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= sin(2nft)0 t0 f信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号在不同频代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，

2、丰富的信息。域信号波形更直观，丰富的信息。 时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断频域参数对应频域参数对应于设备转速、于设备转速、固有频率等参固有频率等参数，物理意义数，物理意义更

3、明确。更明确。2.4.1 2.4.1 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：号，满足条件： x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )1 1、傅里叶级数的三角展开式、傅里叶级数的三角展开式 在有限区间上，凡满足狄利克雷条件的周期信号在有限区间上，凡满足狄利克雷条件的周期信号x(t)x(t)都可以展开成傅里叶级数（三角函数的叠加）。都可以展开成傅里叶级数（三角函数的叠加）。 狄利克雷条件：信号在一个周期内连续或只含有狄利克雷条件：信号在一个周期内连续或只含有有限个间断点。

4、有限个间断点。傅里叶级数的表达形式：傅里叶级数的表达形式：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , ,2, 1(n变形为：变形为：102)sin()(0nnnatnAtx,.)3 , , 2 , 1(n式中式中: :T：基本周期：基本周期T200为角频率，;tan;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/20nnnnnnTTTnTTTnTTTbabaAtdtntxbtdtntxadttxa稳定分量或直流分量稳定分量或直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量第第n次谐波的幅值大小次谐波的幅值大小另外的表示方式？ 周期信号是由一个或几个、乃至无穷多

5、个不同频率的谐周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。波叠加而成的。 以角频率为横坐标，幅值以角频率为横坐标，幅值A An n或相角或相角 为纵坐标作图，则为纵坐标作图，则分别得其幅值谱图和相位谱图，合起来称为频谱图。分别得其幅值谱图和相位谱图，合起来称为频谱图。 通常把通常把0 0称为基频，并把成分称为基频，并把成分 称为称为n n次谐波。次谐波。 n)sin(0nntnAA A幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图 例例1 1、求如图所示三角波的傅里叶级数展开，并画出频谱、求如图所示三角波的傅里叶级数展开，并画出频谱图。图。) (txA2/0T02/0Tt解解：1、x(t)

6、的函数表达式：的函数表达式：202022)(0000TttTAAtTtTAAtxAdttTAATdttxTaTTT20002200000)2(4)(2，642053142sin4cos)2(4cos)nnAnnAtdtntTAATtdtntxTaTTTn2、求、求a0：3、求、求an:220000sin)(2TTntdtntxTb5 , 3 , 1cos42)(1022ntnnAAtxn;42222nAbaAnnn5 5、写出展开式、写出展开式：4 4、求、求b bn n: :6 6、画出频谱图、画出频谱图= 0= 00arctannnnabnA2A00

7、03050700030507n幅频图幅频图 相频图相频图n从上题可以得到如下结论：从上题可以得到如下结论： （4 4）周期信号的频谱的意义：各次谐波的幅值）周期信号的频谱的意义：各次谐波的幅值大小及能量大小。大小及能量大小。（1 1）复杂周期信号可分解为各次谐波的叠加；）复杂周期信号可分解为各次谐波的叠加； （2 2）偶函数无正弦分量，奇函数无余弦分量和）偶函数无正弦分量，奇函数无余弦分量和常数量；常数量；（3 3）周期信号的频谱是离散的；）周期信号的频谱是离散的；2、傅里叶级数的复指数展开式、傅里叶级数的复指数展开式将欧拉公式，将欧拉公式，tjtetjsincos)(21costjtjeet

8、)(2sintjtjeejt则有：)(21),(21,00nnnnnnjbacjbacactjnnntjnnnececctx00110)(代入代入令：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3, ,2,1(n合并后有：x tC ennjntn( ),(,.)0012nnRnInnnInRnjnnInRnccAcccecjcccnarctan,222复指数与三角函数不同之处？复指数与三角函数不同之处？ 三角函数在正频率范围内展开，是单边幅值谱，而复指数三角函数在正频率范围内展开，是单边幅值谱，而复指数展开时在整个频域里，是双边幅值谱。展开时在整个频域里，是双边幅值谱。一般是复

9、数。一般是复数。 ncdtetxTctjnTTn022)(1ncnnRcnIc 、 、 、 与与之间的关系图分别称为幅值谱、相之间的关系图分别称为幅值谱、相位谱、实频谱图和虚频谱图。位谱、实频谱图和虚频谱图。 例例2 2、画出余弦、正弦信号的实、虚部频谱图。、画出余弦、正弦信号的实、虚部频谱图。解解：写出复数表达式：写出复数表达式：对对 有：有：对对 有：有：)(21cos000tjtjeet)(2sin000tjtjeejtt0cos0),1(21nInRcnct0sin0),1(21-),1-(21nRnInIcncnc)(tx)(txnRCnRC0000nICnIC0000ttnCnC0

10、000nAnA0000111/21/21/21/2000000001/21/2-1/21/2 周期信号的频谱具有如下特点：周期信号的频谱具有如下特点： 周期信号的频谱是离散的。（周期信号的频谱是离散的。（离散性离散性） 每条谱线只出现在基波频率的整倍数上。（每条谱线只出现在基波频率的整倍数上。（谐波性谐波性） 各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。数的增高而减小。（收敛性收敛性）nA2A000305070003

11、0507n幅频图幅频图 相频图相频图n2.4.2 2.4.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 非周期信号是非周期信号是时间上不会重复出现时间上不会重复出现的信号，一般为时域的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。频域分析手段是傅立叶变换。 ，即变为连续谱线。，即变为连续谱线。谱线之间相邻谱线，谱线之间相邻谱线，0, 02,0TTtjnnTTtjnntjnnedtetxTeCtx00022)(1)(nndTTTn0220221时，时，当当T所以：所以：dedtetxedtetxdtx

12、tjtjtjtj)(21)(2)(令：令：deXtxdtetxXtjtj)(21)()()(则则傅里叶变换（傅里叶变换（FT）傅里叶逆变换（傅里叶逆变换（IFT） 将将X()X()中的中的用用f (f=/2)f (f=/2)代替，傅里叶变换对变为：代替，傅里叶变换对变为：dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()( fXtxFT)()(fXtxFntjnneCtx0)(dfefXtxftj2)()(dfcdftxfXn)()(x(t) , 所以所以 量纲就是量纲就是x(t)量纲。量纲。非周期信号：非周期信号：njnneccnc幅值幅值HzX(f)X(f)为信号单位频宽上为信号单

13、位频宽上的幅值大小，是的幅值大小，是频谱密频谱密度函数度函数，量纲为幅值，量纲为幅值/Hz/Hz。 思考：非周期信号频谱的意义？思考：非周期信号频谱的意义？周期信号：周期信号： 非周期信号傅里叶变换存在的充要条件是：非周期信号傅里叶变换存在的充要条件是： 满足狄里赫利条件（在非周期时间段内连满足狄里赫利条件（在非周期时间段内连续或有有限个间断点）续或有有限个间断点） 绝对可积，即绝对可积，即 能量有限信号，即能量有限信号，即 dttx )(dttx2)(dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()()()()(fjefAfX把非周期信号的频谱表示成复数形式：把非周期信号的频谱表示

14、成复数形式：为为x(t)x(t)的幅值谱密度的幅值谱密度)()(fXfA为为x(t)x(t)的相位谱密度的相位谱密度)()(fXf2)( fX为能量谱密度为能量谱密度)(Im)(Re)(fXjfXfX实部为实谱密度，虚部为虚谱密度。实部为实谱密度，虚部为虚谱密度。例：求如图矩形脉冲信号例：求如图矩形脉冲信号x x( (t t) )的幅值谱密度，已知的幅值谱密度，已知 11, 0, 1)(TtTttx)(2121)()(11111122222fTjfTjTTftjTTftjftjeefjefjdtedtetxfX利用欧拉公式：利用欧拉公式：)(2sintjtjeejt)2(sin222sin22

15、sin)(111111fTcTTffTTffTfX| )2(sin|2)()(11fTcTfXfA)(tx1T1T0t)(fX11T0f121T11T121T12T12T)( fA0f11T121T121T11T)( f11T121T0121T11Tf（a）（c）（b）（d）傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质1 1）线性特性）线性特性 若若 x x1 1(t) X(t) X1 1(f)(f)，x x2 2(t) X(t) X2 2(f) (f) 则：则：a a1 1x x1 1(t)+a(t)+a2 2x x2 2(t) a(t) a1 1X X1 1(f)+a(f)+a2 2X X2 2(f)

16、(f)FTFTFT 意义意义：对复杂信号的频谱分析处理，可以分对复杂信号的频谱分析处理，可以分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。解为对一系列简单信号的频谱分析处理。 例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化2 2）时移性）时移性 fXtxFT)(020fXettxftjFT若若，则，则 意义意义：信号的时移对其幅值谱密度无影响，而相：信号的时移对其幅值谱密度无影响，而相位谱密度则叠加了一个与频率成线性关系的附加量，位谱密度则叠加了一个与频率成线性关系的附加量，即时域中的时移对应频域中的相移。即时域中的时移对应频域中的相移。 000

17、22)(20)()(ftfjftjfjftjFTefAeefAefXttx )()(fjFTefAfXtx3 3）频移特性（）频移特性（调制的数学基础调制的数学基础调制性调制性） fXtxFT )(020ffXetxFTtfj若若，则，则 意义意义：信号：信号x(t)乘以复指数（复调制）后乘以复指数（复调制）后,其时域描述已其时域描述已大大改变大大改变,但其频谱的形状却无变化但其频谱的形状却无变化,只在频域作了一个位移。只在频域作了一个位移。 例：求例：求解：解：)(21)(212)(2)(2)(2cos)(00222200000ffXffXetxetxFeetxFtftxFtfjtfjtfj

18、tfj2cos)(0tftxF思考：思考：2sin)(0tftxF4 4）时间比例性）时间比例性 fXtxFT )(1afXaatxFT若若，则，则 意义意义：当时域尺度压缩（：当时域尺度压缩（a1）时，对应的频域）时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展开（展宽且幅值减小；当时域尺度展开（a1）时，对应）时，对应的频域压缩且幅值增加。的频域压缩且幅值增加。 5 5）对称性质）对称性质 fXtxFT)()(fxtX若若，则，则 意义：由已知的傅里叶变换对，获得逆向相应的意义：由已知的傅里叶变换对，获得逆向相应的变换对。变换对。如时域的矩形窗函数对应频域的如时域的矩形窗函数对应频域的sinc(t)sinc(t)函函数，则时域的数，则时域的sinc(t)sinc(t)函数对应频域的矩形窗函数。函数对应频域的矩形窗函数。 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱1 1、(t)(t)的频谱密度的频谱密度 1)(02edtetfftj图2-17 函数及其频谱密度) (t)(f10t10t 意义：单位冲击函数具有无限宽广的频谱密度，而意义：单位冲击函数具有无限宽广的频谱密度，而且在在整个频率范围内不衰减，处处强度相等。且在在整个频率范围内不衰减，处处强度相等。 根据傅里叶变换的对称性