函数单调性和奇偶性总结复习

1、课次教学计划(教案)课题函数的单调性和奇偶性教学目标1 .通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 .理解增区间、减区间等概念，掌握增(减)函数的证明和判别2 .结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学策略：讲练结合，查漏补缺函数的单调性2 ,1 .例1：观察y=x的图象，回答下列问题问题1:函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用

2、数学语言表示呢？设 x1、X2C 0 , +8，得 y1=f(x 1), y2=f(x 2).当 xyx2 时,f(x 1) f(x 2). 结论：这时，说yi = x2在0 , +8上是增函数。(同理分析y轴左侧部分) 由此可有：2 .定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I :如果对于属于I某个区间上的任意两个自变量的值xi、x2,当xi x2时都有f(x i) f(x 2).那么就说f(x)在这个区间上是 增函数(increasing function )。如果对于属于I某个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当Xif(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasin

3、g function) 。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升 的，减函数的图象是下降的。注意：(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)注意区间上所取两点 X1,X2的任意性;(3)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。3 .例2.己知函数f (X) =X2+2X+3，画出函数的图象；根据图象写出函数f(x)的单调区间：利用定2义证明函数f (X) =X+2X + 3在区间(-81上是增函数：当函数f(x)在区间(-8,m上是增函数时数m的取值围

4、.1、用定义判断单调性：A.设x1, x2所给范围且x1 x2 ;B.计算f(xi) f(x2)=几个因式的乘积形式C.判断上述差的符号；D.下结论。如果f(x1) f (x2),则函数是增函数；如果 f(x1) f(x2),则函数是减函数用定义法判断单调性1 .试用函数单调性的定义判断函数解：任取 xi ,x2 (0,1),且 xi2x .一、f(x)上在区间(0, 1)上的单调性x 1x2.则 f(x1) f (x2)2x12x2X 1 x2 12(x2 x1)(x1 1)(x2 1)由于 0x1x21 ,x11 0 ,x21 0 ,x2为 0,故 f (x1)f (x2)0,即 f (x

5、1)f(x2).所以，函数f(x) 在(0, 1)上是减函数. x 1【扩展】判断函数y x 1在(1,)的单调性，并用定义证明之. x判断函数y x 1在(0,1)的单调性，并用定义证明之. x求单调区间21 .判断函数 y = x6x+10在区间(2, 4)的单倜性 2x 12 .已知f(x) ，指出f(x)的单调区间3x 2根据图像判断单调性(看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；)1已知函数f (x) x2 2x 3 .(1) 画出该函数的图象；(2)写出函数的单调区间.21 .已知m 2,点m 1, y1 , m, y2 , m 1, y3都在二次函数y x 2x的图像

6、上，则y y3a.yy2y3b.y3小 c .y1”y2d.y?根据单调性求参数的取值围2ax1.右函数f(x) 在(1,)上为增函数，数 a的取值围.x 12.如果函数y x2 (2a 1)x 1在区间 2,2上为减函数，数 a的取值围 一223设函数f x x 3a 1 x a在区间1,上是增函数，数a的取值围。4.若f(x)x2 2ax与g(x) -在区间1,2上都是减函数，则 a的取值围是 x 15.若函数f(x) ax b 2在0, 上为增函数，则实数a,b的取值围是().利用单调性判断函数值例6.己知函数y=f(x)在0,十0)上是减函数，试比较f( 3)与f(a 2 a十1)的大

7、小.4函数的值域二、新知导航：1 .函数最大(小)值定义最大值：一般地，设函数 y f(x)的定义域为I ,如果存在实数 M满足：(1)对于任意的x I ,都有f(x) M ；存在x I ,使得f(x0) M .那么，称M是函数y f(x)的最大值.【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ f(x)x 3 f(x) x 3 x 1,2 f(x) x2 2x 1 f (x) x2 2x 1 x 2,22 .注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0 I ,使得f(x0) M ；函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x I

8、 ,都有f (x) M (f(x) m).利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法.(1)配方法 (2)换元法(3)数形结合法，2 ，一一例2求函数y 在区间2 , 6上的取大值和取小值x 1【例3】求函数y.1 x的最大值、经典例：【例1】求函数y 丁6一的最大值.x x 1一 一、，6,1 2解：配万为y ,由(x -)(x 1)2 3224(x8.所以函数的最大值为8.【例2】1 .已知函数f(x)2 .已知函数f(x)3 .已知函数f(x)x2 2x 3 ,求出函数的最值2x2x 3 , x 0,4求出函数的最值x2 2x 3, x 2,4求出函数的最值【扩展】已知函数f(x) x2

9、 2mx 2在( m的值求函数在(，)上的最值.,2)上是减函数，在(2,)上是增函数，数 m的值；并根据所求的已知函数f(x)x2 2x 3.(1)写出该函数的单调区间；(2)求函数在区间x 2,2上的最值.2已知函数f (x) 2x 一.x(1)试讨论函数在 x (0,)上的单调性，并证明之;由(1)试求函数在(0,)上的最值.【例3】求函数y 2x 7x1的最小值.解：此函数的定义域为 1,且函数在定义域上是增函数,所以当x 1时，ymin2 7 2,函数的最小值为2.点评：形如y ax b JCxd的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究【另解】令xx 1 t ,则

10、t 0 , x t2 1 ,所以y22t t2(t1 24)15 - 一，在t80时是增函数,时，ymin2,故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值:. .25 3(1) y 3 2x x , x 一,一;2 2y |x1| |x2|.解：(1)二次函数y 3 2x2 .x的对称轴为x-b ,即2a1.画出函数的图象，由图可知，当x 1 时，ymax4;当x所以函数y 32x53.33的最大值为4,最小值为2 23时,29.4ymin四、课堂练习1.已知函数y kx0,下列说法中正确的是(A)函数有最大值(B)函数有最小值2(C)当k 0时函数有最大值(D)当k 0时函数有最大

11、值2.已知函数2f (x) x mx2在(，1)上是减函数，在(1,)上是增函数，数求函数在()上的最值.3.已知函数x 3,2 ,求该函数的最值4.已知函数f(x) x2 2x3(1)写出该函数的单调区间;(2)求函数在区间x 1,5上的最值.6.函数 f (x) x22ax a在区间(,1)上有最小值，则a的取值围是(7.已知函数f(x)x 1, x3 0,的取大(小)值情况为(A.有最大值3，但无最小值B.4有最小值-,有最大值4C.有最小值1,有最大值 D.4无最大值，也无最小值m的值；并根据所求的m的值8 .函数y 3x F7的最大值是.9 .已知函数yx2ax a 1在区间0 ,

12、1上的最大值为2,数a的值.4 2函数的奇偶性1 .回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。2 .初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称(即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合)中心对称：两个图形关于某一点对称(即把一个图形绕某点旋转180 ,能够与另一图形重合)这节课我们来研究函数的另外一个性质一一奇偶性1 .偶函数(1)观察函数y=x2的图象(如右图)图象有怎样的对称性？ 从函数y=f(x)=x 本身来说，其特点是什么？当自变量取一对相反数时，函数 y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4, 即 f(-2)=f(-2); f(-1)

13、=1 , f(1)=1 ,即“ 1)4，f( 2)臂醐(2)吗。,由于(-x ) 2=x21. f( -x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点(x,y )是函数y=x2的图象上的任一点，那么，与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。(2)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function )。2 2例如：函数f(x) x 1, f(x) ,f(x) |x等都是偶函数。x 112 .奇函数3 .(1)观察函数y=x的图象(投影2)当自变量取一对相

14、反数时，它们对应的函数值有什么关系？也是一对相反数。这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？如果点 (x,y ) 是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点(-x,-y )也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数 y=x3是奇函数。(2)定义一般地，(板书)如果对于函数 f(x)的定义域任意一个 x,都有 f( x)f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function) 。1 , 例如：函数f(x) x, f(x) 一都是奇函数。x3.奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例1.判断下列函数的奇偶性。(1) f(x)=

15、x 3+2x;(2) f(x)=2x4+3x2;(3) f(x)=x2+2x+5;(6) f(x)=x+_2(4) f(x)=x ,x 0,； f(x)=分析： 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0 (xCR或xC (-a,a).a0 )既是奇函数又是偶函数。从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次f(-x)= f(x) 或f(-x尸-f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 f(-x),看是等于f(x)还是等于

16、-f(x),然后下结论；若定义域关于原点不对称， 则函数没有奇偶性。例2、判断下列函数的奇偶性(1) f(x)1 x2|x 2| 2(21 x)f(x) (1 x) .1 x判断下列分段函数的奇偶性 f(x)x(1 x)x(1 x)(x(x0)0)(2) f(x)=x|x|+x例3.函数f(x) = 1x的图象关于()(判断图像性质)xA. y轴对称B.直线y=xC.坐标原点对称D .直线y=x例4、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在 0,是增函数。证明y=f(x)在 ，0上也是增函数。4.结论： 奇函数在两个对称区间的单调性是相同的； 偶函数在两个对称区间的单调性是相反的； 奇函数的

17、图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称;奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.利用函数奇偶性的定义和性质求参数一 一一1例1.右函数f(x) a是奇函数，则a2x 1x 2,x 0例2.若函数f(x) a,x 0是奇函数，则a b x b, x 03、如果定义在区间3 a,5上的函数f(x)为奇函数，则a=24.已知函数f(x) ax bx c, x 2a 3,1是偶函数，则a b7535 .已知 f (x) ax bx cx dx 5 ,其中 a, b, c, d 为吊数，右 f ( 7)7 ,则f 6 .若函数f(x) (k 2)x2 (k 1)x 2是偶函数，则f(x)的单调递减区间是

18、 7 .已知函数 f (x) ax2 bx c.(1)若函数为奇函数，数 a, b, c满足的条件；(2)若函数为偶函数，数 a, b, c满足的条件【总结】5.43. 2f (x) ax bx cx dx ex f若函数是奇函数，则;若函数是偶函数，则;求函数表达式：2.已知f(x)是偶函数，x 0时，f (x)22x2 4x,求x 0时f (x)的解析式.解：作出函数y 2x2 4x 2(x 1)2 2, x 。的图象，其顶点为(1,2). f(x)是偶函数，.其图象关于y轴对称.一，一22x 0 时，f(x) 2(x 1)2 2x【扩展】若函数f(x)是奇函数，当x 0时，f (x)若函

19、数f(x)是奇函数，当x 0时，f (x)4x.22x x ,试求函数f (x)在x 0时的解析式.x x2 ,试求函数f(x)的解析式.作出x 0时的图象，其顶点为(1,2),且与右侧形状一致，判断抽象函数的奇偶性1.设f (x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是(A. f(x) f( x)是奇函数B. f(x) f ( x)是奇函数C. f(x) f ( x)是偶函数D. f(x) f ( x)是偶函数2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论一定成立的是()A. f(x) |g(x)|是偶函数 B. f(x) |g(x)|是奇函数C. |f(x)| g(x)是偶函

20、数 D. |f(x)| g(x)是奇函数利用函数的图像比较函数值的大小例 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的xi,x20,)(xix2),有f(x2)f(xi)0则x2 x1f (3), f ( 2), f的大小关系是.利用奇偶图像判断单调性以及解不等式(数形结合)1 .若奇函数f (x)在3, 7上是增函数，且最小值是 1,则它在7, 3上是().A.增函数且最小值是1 B.增函数且最大值是1C.减函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-12 .若f(x)为奇函数，且在(0,+)是增函数，又f( 3) 0 ,则xf(x) 0的解集为,其定义域为1,0)(0,1,则不等式3 .已知奇函数f (x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)f (x) f( x) 1的解集是()1A. x | 1 x 1且x 0 B. x |