弯曲应力变形

1、6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形一、为何要研究弯曲变形zWM仅保证构件不会发生破坏，仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。、构件的变形限制在允许的范围内。车削加工一等截面构件，车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；会加工成变截面；案例案例1：车间桁吊大梁的过大变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；还会引起较严重的振动；案例案例2：楼

2、板、楼板、 床、床、双杠横梁双杠横梁屋顶屋顶等都必须把它们的变形等都必须把它们的变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；才能更好的起到缓和减振的作用；案例案例1：案例案例2：当今时代汽车工业飞速发展，当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例案例3：蹦床蹦床要有大变形，要有大变形， 才能积蓄能量，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高

3、度。将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析稳定性分析以及振动分析等方面。以及振动分析等方面。除了除了解决构件的刚度解决构件的刚度外，外，二、弯曲变形的物理量二、弯曲变形的物理量EAlFlNPIGlT扭转：扭转： F FF F拉伸拉伸弯曲变形的物理量如何？弯曲变形的物理量如何？抗变形刚度抗变形刚度杆件长度杆件长度内力内力1 1、挠曲线、挠曲线x2 2、挠度、挠度w 向上为正向上为正3 3、转角、转角逆时针为正逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度弯曲变

4、形的物理量弯曲变形的物理量挠度挠度 弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量转角转角+6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程2 2、挠曲线方程：、挠曲线方程：( )wf xyxx1、建立坐标系、建立坐标系xoy平面平面就是梁的纵向对称面；就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内面内的一条平面曲线；的一条平面曲线；该曲线方程为该曲线方程为 ：3 3、挠度、转角物理意义、挠度、转角物理意义yxx：挠度的物理意义：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；挠曲线在该点处的纵坐标；wytg：转角的物理意义：转角的物理意义过挠曲线上点

5、作挠曲线的切线过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：转角的正方向： 从从x x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。4 4、挠曲线微分方程、挠曲线微分方程中性层处曲率中性层处曲率:EIxM)(1 yx)(xfy 232)(1)( 1xyxy对于对于曲线曲线 y=f(x) 在任一点处曲率在任一点处曲率 （瑞士科学家（瑞士科学家Jacobi.Jacobi.贝努利得到）贝努利得到） 正好为正好为xoy平面内的一条

6、曲线，平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线平面弯曲的挠曲线所以曲线所以曲线y=f(xy=f(x) )： 从数学上讲从数学上讲 是一条普通的平面曲线，是一条普通的平面曲线，从力学上讲从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。zEIxMxyxy)()(1)( 232瑞士科学家瑞士科学家JacbiJacbi. .贝努利得到梁的挠曲线微分方程；贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程挠曲线微分方程EIxM)(1232)(1)( 1xyxy322( )( )1( )zw xM xEIwx挠曲线微分方程挠曲线微分方程该挠曲线微分方程是该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。

7、适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，非线性的，5 5、挠曲线、挠曲线近似近似微分方程微分方程0)()(xx21( )1wx在在小变形小变形的条件下，的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，较小，较小，转角转角( )M xwEI 故得挠曲线近似微分方程：故得挠曲线近似微分方程：zEIxMxx)()(1)(232 符号规定：符号规定：MM022dxd0M( )zM xwEI 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程022dxd0M挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线y 弯矩弯矩M与二阶导数与二阶导数符号一致。符号一致。适用范围：适用范围：xxMM小变形。小

8、变形。zEIxMdxd)(22挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程积分一次：积分一次：CdxEIxMdxdz)(转角方程转角方程积分二次：积分二次：DCxdxdxEIxMz )(挠曲线方程挠曲线方程C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形在简支梁中在简支梁中, 左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度Aw和和Bw都等于都等于0.在悬臂梁中在悬臂梁中,固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角Aw都应等于零都应等于零.A 0Aw0Bw0Aw0A ABPABPABPC0C 若结构、载荷（包括约束）均左右若结构、

9、载荷（包括约束）均左右对称，则对称截面对称，则对称截面都应等于零都应等于零.C 积分常数积分常数C C、D D的确定：的确定：1 1、边界条件边界条件 2 2、连续条件连续条件右左CC 右左CCww值唯一。与 w 挠曲线为一光滑连续曲线，在同一点处挠曲线为一光滑连续曲线，在同一点处ABPC:ax连续性条件：连续性条件：ABLaCMx右右左左CC右右左左CC特别强调特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。例例1 1：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件：xkCPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx kFBy边界条件边界

10、条件连续性条件连续性条件:ax 例例2 2：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx EAhFBy边界条件边界条件连续性条件连续性条件:ax （1 1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2 2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3 3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM（4 4）凡分

11、段点处应列出连续条件；）凡分段点处应列出连续条件； :0 x:ax0lax根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；定的挠度和转角；ABLaCM0 0 右右左左CC在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件边界条件连续性条件连续性条件A例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。Axx取参考坐标系取参考坐标系1、列写弯矩方程、列写弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中 zEIxM)(221 qxEI积分一次：积分一次

12、：CqxEIEI361积分二次：积分二次：DCxqxEI4241转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程AqBL3、确定常数、确定常数C、D.边界条件：边界条件：:Lx361qLC0481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEICqxEIEI361DCxqxEI4241AqBL0EIqLA630 xEIqLA84AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角A截面处截面处CFABaLx例例2 一简支梁受力如一简支梁受力如图所示。试求图所示。试求 和和 。)(),(xwxA1、求支座反

13、力、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段段)0 (axAC段段),()(2axFxLFbxMxx,1xLFbEI ),(2axFxLFbEI 3、代入各自的挠曲线近似微分方程中、代入各自的挠曲线近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自积分、各自积分12112CxLFbEIEI22222)(22CaxFxLFbEIEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI5、确定积分常数、确定积分常数边界条件：边界条件：0 xLx 连续条件：连续条

14、件：21ax)(6221bLLFbC,2C021 DDFaLx0102211212CxLFbEI2222)(22CaxFxLFbEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbxy,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbxy7、求转角、求转角0 xLEIbLFbxA6)(2201LxLEIaLFabLxB6)(26、挠曲线方程、挠曲线方程8、求、求 。max0dxd由由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIba