材料力学 考试整理

1、轴向拉压拉压杆的应力与圣维南原理轴向拉压拉压杆的应力与圣维南原理NFA等截面拉压杆横截面等截面拉压杆横截面上正应力计算公式上正应力计算公式注意：注意：v正应力的正负号规定：正应力的正负号规定：v对于变截面杆当截面变化对于变截面杆当截面变化缓慢时，公式仍可用；缓慢时，公式仍可用；拉应力为正；压应力为负拉应力为正；压应力为负v集中外力作用点附近区域，应力集中外力作用点附近区域，应力情况复杂，公式不适用。情况复杂，公式不适用。 xAxFxN轴向拉压拉压杆的应力与圣维南原理轴向拉压拉压杆的应力与圣维南原理pa a a at ta aav 讨论讨论1) a a =0 时时(横截面横截面):2) a a

2、=45 (斜截面斜截面):3) a a =90 (纵向截面纵向截面):v 结论结论 max 发生在发生在横截面横截面上上,t tmax发生在发生在a a=45 斜截面斜截面上上,2cosaasin22atamaxaa0at/2amax/2aatt0a0atmaxmax/2t轴向拉压失效、安全因素和强度计算轴向拉压失效、安全因素和强度计算4 4、强度条件、强度条件 AFN工作应力工作应力轴力轴力横截面积横截面积材料的许用应力材料的许用应力max轴向拉压失效、安全因素和强度计算轴向拉压失效、安全因素和强度计算5 5、强度条件的工程应用、强度条件的工程应用1 1、校核强度、校核强度 maxmaxAF

3、N2 2、设计构件的截面、设计构件的截面A（几何形状）（几何形状） maxNFA3 3、确定许可载荷、确定许可载荷 maxFFAFNN，三个方面的应用三个方面的应用 AFN轴向拉压轴向拉压时的变形轴向拉压轴向拉压时的变形1 1、轴向变形、轴向变形1lll FF下面建立下面建立变形变形与与力力之间的关系之间的关系应变应变ll应力应力NFAE应力应力应变关系应变关系NFlEAlNF llEA 胡克定律的另一种形式胡克定律的另一种形式轴向拉压剪切和挤压的实用计算轴向拉压剪切和挤压的实用计算 假设切应力在剪切面假设切应力在剪切面（m-m m-m 截面）上是均匀分截面）上是均匀分布的布的, , 得实用切

4、应力计算得实用切应力计算公式：公式：AFst切应力强度条件：切应力强度条件： ttAFs许用切应力，常由实验方法确定许用切应力，常由实验方法确定 t塑性材料：塑性材料： t7 . 05 . 0脆性材料：脆性材料： t0 . 18 . 0转速：转速：n n ( (转转/ /分分) )输入功率：输入功率：P(kW )Me1 1分钟输入功：分钟输入功：1 1分钟分钟Me作功：作功：WW eeenMnMMW22PPW600001000603-2 3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1 1、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算 kWeN m/min9549rPMn扭矩矢量方向与横截面

5、外法线方向一致为正，相反为负。扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致为正，相反为负。指向截面指向截面离开截面离开截面扭矩的符号规定扭矩的符号规定 -右手螺旋法则右手螺旋法则pTItl圆截面上任意一点切应力圆截面上任意一点切应力T l圆截面上最大切应力圆截面上最大切应力maxRmaxpp/TTRIIRtt记：记：ppIWR称之为称之为抗扭截面系数抗扭截面系数maxpTWtmaxtt tt tMe极惯性矩极惯性矩 2pdAIA# # 实心圆截面实心圆截面d2dA422p02d32DDI 抗扭截面系数抗扭截面系数 ppIWR3pp/216DDWI4p32DI3p16DWaDd /OdD# # 空心圆截面

6、空心圆截面22244p2d()32DdIDd p44p()/216IWDdDD44p34p(1)32(1)16DIDWaa43ppmm ;mmIWplpBAABGITldxGITd0ABpddTxGI 单位长度单位长度扭转角扭转角ABg gmaxMeMeBB截面相对于截面相对于A截面截面的扭转角的扭转角 扭转变形扭转变形 扭转角扭转角两个横截面绕轴线的相对两个横截面绕轴线的相对转角转角 整体的整体的扭转角扭转角dxGITdp# # 如果在如果在AB区间内区间内p/constT GI pABTlGIABABg gmaxMeMeBB截面相对于截面相对于A截面截面的扭转角的扭转角 整体的整体的扭转角

7、扭转角# # 如果如果AB区间内区间内/pT GI 分段为常数pi iABiTlGI注意：注意：Ti 应是代数值，有应是代数值，有+ -号号是代数和强度条件强度条件 maxtt刚度条件刚度条件 maxomaxmaxp180TGI其中其中强度（或刚度）校核强度（或刚度）校核设计截面设计截面计算许可载荷计算许可载荷pGITdxdgABg gmaxMeMeBABg gmaxMeMeBl剪力和弯矩的符号规定剪力和弯矩的符号规定mmmmFSFSFSFS使梁段使梁段顺时针顺时针转动的剪力为转动的剪力为正正(+)使梁段使梁段逆时针逆时针转动的剪力为转动的剪力为负负(-)使梁段使梁段凸向下凸向下的弯矩为的弯矩

8、为正正(+)使梁段使梁段凸向上凸向上的弯矩为的弯矩为负负(-)mmMmmM任一截面的剪力任一截面的剪力 FS =SS截面一侧外力的代数值截面一侧外力的代数值 计算指定截面的剪力和弯矩法则：计算指定截面的剪力和弯矩法则：左上右下为正，反之为负左上右下为正，反之为负任一截面的弯矩任一截面的弯矩 M =SS截面一侧外力对截面形心之矩的代数值截面一侧外力对截面形心之矩的代数值 左顺右逆为正，反之为负左顺右逆为正，反之为负总结总结FS、M 图的基本画法：图的基本画法：1 1、用静力学平衡方程求解出支座反力、用静力学平衡方程求解出支座反力2 2、研究、研究FS、M 的分段情况的分段情况 分段端点通常为：分

9、段端点通常为：# # 集中力或集中力偶的作用处集中力或集中力偶的作用处# # 分布载荷的起始和终点处分布载荷的起始和终点处3 3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧的外力）的外力）4 4、按写出的、按写出的FS、M 方程，画方程，画FS、M 图图5 5、检查、检查FS、M 图的正确性图的正确性6 6、注意图形的极值点（有、位置、极值）、注意图形的极值点（有、位置、极值）总结总结FS、M 图的基本画法：图的基本画法：)(d)(dd)(d)(d)(d)(d)(d22x

10、qxxFxxMxFxxMxqxxFSSS(a)(a)剪力图剪力图: :一条平行于一条平行于X X轴的直线轴的直线1、q(x)=00d)(dxxFS(b)(b)弯矩图弯矩图: :一条斜直线一条斜直线constxxMd)(d0d)(dxxM(c)(c)弯矩图弯矩图: :一条平行于一条平行于X X轴的直线轴的直线constxFS)(0)(xFSconstxM)(.constd)(dd)(d22xxFxxMS(a)(a)剪力图剪力图: :一条斜直线一条斜直线(b)(b)弯矩图弯矩图: :一条抛物线一条抛物线q(x)0, ,下凸曲线下凸曲线q(x) 0M 0)(dd22xMxEIconstEICxxMx

11、EId)(ddDCxxxxMEIdd)()(dd2xfx6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形)(1xf1 1、边界条件、边界条件u 固定端固定端u 铰支铰支BAyxl0000 xx000lxxABxyl分段积分问题分段积分问题FbalABCx2x1边界条件：边界条件：CC21连续条件：连续条件：CC21AC段：段： )(111xMEI CB段：段： )(222xMEI 0002211BAlxx11DC积分常数：积分常数：22DC积积分分常常数数：n 挠度挠度n 转角转角bxbx21axax21ABxylFbABxylFa2 2、连续条件、连续条件w1w2w3会有会有6个积分常数

12、个积分常数A处：处：10w B处：处：120ww12wwC处：处：23ww( (注意：只连续，不光滑注意：只连续，不光滑) )D处：处：30w 可以定出可以定出6个积分常数个积分常数AB CDqqxw（注意）（注意） 快速画挠曲线的近似形状快速画挠曲线的近似形状# # 支座处挠度为零支座处挠度为零M 0, , “”，# # M = 0, , “ ” “” 过度点，曲率为零过度点，曲率为零Fl/4Fl/2MC材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universitycos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxyaaatatata a a 拉为正，压为负拉为正，压为负t ta a 使楔

13、形体顺时针转动为正使楔形体顺时针转动为正 a a 从从 x 轴到斜截面外法线轴到斜截面外法线 n 的转角的转角逆时针为正逆时针为正说明：说明： x、 y、t txy 原始单元体应力分量原始单元体应力分量 x、 y 拉为正，压为负拉为正，压为负t txy 使单元体顺时针转动为正使单元体顺时针转动为正 a a、t ta a 斜截面应力斜截面应力材料力学课件材料力学课件Fuzhou University(b)(b) 相互垂直斜截面的应力相互垂直斜截面的应力a a 斜截面上的正应力斜截面上的正应力cos2sin222xyxyxyaataa a +90斜截面上的正应力斜截面上的正应力090cos 2si

14、n 222xyxyxyaatacos2sin222xyxyxyata090constxyaal 正应力之和为常数正应力之和为常数切应力满足切应力互等定理切应力满足切应力互等定理材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityd0daa02tan2xyxyta 有两个解有两个解0a0090aa a0 0 和和 a a0 0+90称为称为主方向主方向，相应的截面称为，相应的截面称为主平面主平面，或，或者说切应力为零的截面称为主平面，主平面上的极值正者说切应力为零的截面称为主平面，主平面上的极值正应力称为应力称为主应力主应力极值正应力极值正应力2max2min22xyxyxyt可以证明，对

15、于弹性体一点处，总可以找到相互垂直的可以证明，对于弹性体一点处，总可以找到相互垂直的三个方向，以此三方向为法线的截面称为三个方向，以此三方向为法线的截面称为主平面主平面( (切应力切应力等于零等于零) )，相应的正应力称，相应的正应力称为主应力为主应力，记作，记作 1、 2、 3，按代数值按代数值 1 1 2 2 3 3材料力学课件材料力学课件Fuzhou University(d)(d) 极值切应力极值切应力dcos22sin20dxyxyatataa1tan22xyxyatcos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxyaaatatata有两个解有两个解1a0190a02tan2

16、xyxyta 注意到注意到01tan2tan21aa 可知，可知，2a a0 和和2a a1相差相差 90， l a a0 和和a a1相差相差 45极值切应力极值切应力2max2min2xyxyttt 材料力学课件材料力学课件Fuzhou University上式是关于上式是关于 a a、t ta a 的圆的方程的圆的方程222xyxyt,02xy圆心圆心半径半径选取坐标选取坐标 ( (横轴横轴) )、t t ( (纵轴纵轴) ) 就可以画出就可以画出上述圆形上述圆形222222xyxyxyaatt应力圆应力圆( (莫尔应力圆莫尔应力圆) )材料力学课件材料力学课件Fuzhou Univer

17、sityyx xt txy yt tyxl 莫尔应力圆的画法：莫尔应力圆的画法：a an a at ta a t tO O x yt tyxt txyDCD这是莫尔应力圆2222()22()2xyxyxyOAOBOCCDCAADtBA材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityF t tO O x yt tyxt txyDDC2 2a ayx xt txy yt tyxa an a at ta a 莫尔应力圆上的任一点的坐标，代表一个斜截面上的应力，莫尔应力圆上的任一点的坐标，代表一个斜截面上的应力，如图中的如图中的 E 点点BAE2ECDa2 2a a0 0材料力学课件材料力学

18、课件Fuzhou University1 1、公式的记忆功能、公式的记忆功能cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxyaaatatata(a)(a)斜截面应力公式斜截面应力公式(b)(b)极值应力极值应力( (主应力主应力) )2max2min22xyxyxyt( (应力圆圆心坐标应力圆圆心坐标) )( (应力圆的半径应力圆的半径) )(c)(c)极值切应力极值切应力2max2min2xyxyttt ( (应力圆的半径应力圆的半径) )材料力学课件材料力学课件Fuzhou University广义胡克定律：广义胡克定律：实验研究表明，对于各向同性材料，在弹性范围内，实验研究表明

19、，对于各向同性材料，在弹性范围内，应力和应变有下述关系：应力和应变有下述关系：111xxyzyyzxzzxyEEE ,xyyzzxxyyzzxGGGtttggg材料力学课件材料力学课件Fuzhou University如果将单元体取为主单元体如果将单元体取为主单元体, , 各微面上切应力等于零各微面上切应力等于零112322313312111EEE 1223310ggg由上述式子可解出由应变表示应力的广义胡克定律由上述式子可解出由应变表示应力的广义胡克定律 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2写出广义胡克定律：写出广义胡克定律：材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universit

20、y研究主单元体，研究主单元体， 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2变形前各边长是变形前各边长是dx、dy、dz（x、y、z 和主方向和主方向1、2、3一致）一致）dxdydz变形后各边长分别应是变形后各边长分别应是123d1, d1, d1xyz变形前的体积变形前的体积d d dVx y z变形后的体积变形后的体积1123123=d1d1d1d d d1Vxyzx y z（略去略去 i 的高阶项）的高阶项）材料力学课件材料力学课件Fuzhou University 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2dxdydz变形前的体积变形前的体积d d dVx y z变形后的体积变

21、形后的体积1123=d d d1Vx y z单元体的单元体的体应变体应变1123VVV（定义）（定义）代入广义胡克定律，有代入广义胡克定律，有123m1233 12123EEK式中式中123m33 1 2EK体积胡克定律体积胡克定律材料力学课件材料力学课件Fuzhou University1.1.第一强度理论第一强度理论 最大拉应力理论最大拉应力理论材料发生脆性断裂的原因是材料发生脆性断裂的原因是最大拉应力最大拉应力。无论什么应力状。无论什么应力状态，当最大拉应力态，当最大拉应力 1 达到该材料单向拉伸强度极限达到该材料单向拉伸强度极限 b时，时，材料就发生脆性断裂破坏。材料就发生脆性断裂破坏

22、。 破坏条件：破坏条件：1b强度条件：强度条件：b1 n材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2.2.第二强度理论第二强度理论 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论材料发生脆性断裂的原因是材料发生脆性断裂的原因是最大伸长线应变最大伸长线应变。无论什么应。无论什么应力状态，当最大伸长线应变力状态，当最大伸长线应变 1 达到该材料单向拉伸应变达到该材料单向拉伸应变极限值极限值 u时，材料就发生脆性断裂破坏。时，材料就发生脆性断裂破坏。 破坏条件：破坏条件：b1uE强度条件：强度条件：b123() n 11231E 或或123b 材料力学课件材料力学课件Fuzhou Univer

23、sity3.3.第三强度理论第三强度理论 最大切应力理论最大切应力理论材料发生塑性屈服的原因是材料发生塑性屈服的原因是最大切应力最大切应力。无论什么应力状。无论什么应力状态，当最大切应力态，当最大切应力 t tmax 达到该材料单向拉伸屈服时的最达到该材料单向拉伸屈服时的最大切应力极限值大切应力极限值 t ts 时，材料就发生塑性屈服破坏。时，材料就发生塑性屈服破坏。 破坏条件：破坏条件：maxstt强度条件：强度条件：s13 =n13max2tss2t或或13s材料力学课件材料力学课件Fuzhou University4.4.第四强度理论第四强度理论 畸变能密度理论畸变能密度理论材料发生塑性

24、屈服的原因是材料发生塑性屈服的原因是畸变能密度畸变能密度。无论什么应力状。无论什么应力状态，当畸变能密度态，当畸变能密度 u ud 达到该材料单向拉伸屈服时的畸变达到该材料单向拉伸屈服时的畸变能密度极限值能密度极限值 u uds 时，材料就发生塑性屈服破坏。时，材料就发生塑性屈服破坏。 222d12233116Eu破坏条件：破坏条件：ddsuu单向拉伸试验，材料屈服时，单向拉伸试验，材料屈服时，1s23,0222dssss1163EEu222122331s12或或强度条件：强度条件：222s1223311 =2n材料力学课件材料力学课件Fuzhou University相当应力和适用范围相当应

25、力和适用范围四个强度理论的强度条件的统一形式：四个强度理论的强度条件的统一形式：r r相当应力相当应力第一强度理论第一强度理论r11第二强度理论第二强度理论r2123() 第三强度理论第三强度理论r313第四强度理论第四强度理论222r412233112破坏的形式和以下两个因素有关：破坏的形式和以下两个因素有关： 材料的性质；材料的性质； 应力状态应力状态材料力学课件材料力学课件Fuzhou University对于组合变形下的构件，对于组合变形下的构件，在线弹性范围内且小变形在线弹性范围内且小变形的的条件下，可应用条件下，可应用叠加原理叠加原理将各基本变形下的内力、应将各基本变形下的内力、应

26、力或位移进行叠加。力或位移进行叠加。方法：先分解后综合方法：先分解后综合步骤：步骤：1. 1. 将作用在构件上的载荷分解，得到与原载荷等效的几将作用在构件上的载荷分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使得每组载荷只产生一种基本变形；组载荷，使得每组载荷只产生一种基本变形； 2. 2. 分别计算每种基本变形下应力；分别计算每种基本变形下应力； 3. 3. 将各基本变形下的应力进行叠加，再强度计算。叠加将各基本变形下的应力进行叠加，再强度计算。叠加时，当危险点处于单向应力状态时，代数叠加；处于复杂应力时，当危险点处于单向应力状态时，代数叠加；处于复杂应力状态时，进行应力状态分析，求出主应力，应用强度理

27、论进行状态时，进行应力状态分析，求出主应力，应用强度理论进行强度计算。强度计算。材料力学课件材料力学课件Fuzhou University轴向载荷产生的正应力轴向载荷产生的正应力弯曲产生的正应力弯曲产生的正应力FNFA ( )zM x yI N( )zFM x yAI一、同时承受轴向和横向载荷的梁一、同时承受轴向和横向载荷的梁qFRAxFRAyFRBFRAxFRAyxqFNM(x)材料力学课件材料力学课件Fuzhou University 最大正应力及强度条件最大正应力及强度条件讨论：讨论： 应力分布图：应力分布图：NmaxmaxzFMAWNmaxt,maxtzFMAWFRAxFRAyxqFN

28、M(x) 材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityle( (限于研究圆轴限于研究圆轴) ) 内力分析，画弯矩和扭矩图内力分析，画弯矩和扭矩图处理方法：处理方法： 平移载荷，得到一个过形心平移载荷，得到一个过形心的力的力 F 和力偶矩和力偶矩 Me 画构件的受力图画构件的受力图FMe=Fe弯矩弯矩xMFx MFl扭矩扭矩eTMFeTFe确定危险截面确定危险截面ABA 处处MFlTFeF材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityD2 危险截面上的应力分析危险截面上的应力分析危险点危险点1 1D1D2D120t,MTWWt t t t tt t212322tleF材

29、料力学课件材料力学课件Fuzhou University222r41223311 222222r4131313131 2 22r33t 22r40.75MTW203tt,216MTdWWWWt 强度条件强度条件按第三强度理论按第三强度理论 r313212322t 22r34t按第四强度理论按第四强度理论 22r3MTW3,32dW式中，式中，W，T 危险截面的弯矩和扭矩危险截面的弯矩和扭矩两端球形铰支，两端球形铰支，I = Iy讨论：讨论：crFEIcr21Fl# I 为截面的最小惯性矩为截面的最小惯性矩wxFFlx2cr2 EIFl#bhyz细长压杆的临界载荷的欧细长压杆的临界载荷的欧拉公式

30、拉公式( (两端铰支两端铰支) )l / 2l / 4l / 4FcrFcrFcr# # 两端固定两端固定 挠曲轴挠曲轴 这两点处弯矩为零这两点处弯矩为零 两个拐点两个拐点 2cr2 EIFll2cr22EIFl2cr2()EIFlFcrl2ll0.7lFcrFcrFcrl / 2l / 4l / 4l# # 一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由2cr22EIFl# # 一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支FcrFcr2cr20.7EIFl1.00.52.00.7欧拉公式的普遍形式欧拉公式的普遍形式2crcr2FEIAlA令令 222cr22()()EEilli令令 li2cr2 E欧拉临界应力公式欧拉临界应力公式2Ii A i# 圆截面圆截面讨论：讨论：2cr2 E# 空心圆截面空心圆截面# 矩形截面矩形截面li 柔度或长细比柔度或长细比综合反映压杆：自然长度综合反映压杆：自然长度l；杆端的约束情况（表达为长度因数；杆端的约束情况（表达为长度因数 ）；截面形状（材料相对于屈曲中性轴分布情况）等因素对临界应）；截面形状（材料相对于屈曲中性轴分布情况）等因素对临界应力的影响。力的影响。 惯性半