四川全国高中数学联赛预赛试题

1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案2011年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月15日下午14：3016：30）题，目，.总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、不准使用计算器.4、解题书写不要超过密封线.一、选择题（本题满分30分，每小题5分）得分评卷人本题共有6小题，每题均给出（A）（B）、（C）、（D）四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在遨后的括号内.每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、双曲线鸟-

2、4=1的左、右准线小L将线段吊出三等分（其中用、B分别为双曲线的ab左、右焦点），则该双曲线的离心率e等于A.B、有C,D、2百【答】（）2 22、已知三次函数/（x）=ox3+加2+=+d,（a,b,c,dwR）,命题p：y=/（x）是H上的单调函数；命题g：y=/（x）的图像与x轴恰有一个交点.则p是q的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件.C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答】（）3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为自，则随机变量专的数学期望ES的值为（）【答】（）【答】

3、（）142A、一B、一0一.D、13934、函数/（x）=+乂?4-3x的最大值为（）A、旧B、3C、273D、3出5、如图，边长为2的正方形488和正方形/8E尸所在的面成60。角，M.N分别是线段/C和8户上的点，且AM=FN,则线段MN的长的取值范围是A、1,2B、1,2C、诉2D.73,26、设数列勺为等差数列，数列仍力满足：4=，4=%+%+4，若lim4=2,则数列4的公差4为（）B、1C、2D、4【答】（）二、填空题（本题满分30分，每小题5分）得分评卷入本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7、已知实数x满足|2x+l|+|2x-5|=6,则x的取值范围是8、设平面内的两个

4、非零向量与否相互垂直，且|皿=1,则使得向量5+益鸟Z+（1-m）b互相垂直的所有实数加之和为.9、记实数等比数列4的前项和为邑，若So=1O,S3o=7O,则Se=10、设x为实数，定义£为不小于x的最小整数，例如>=4,-万=一3.关于实数x的方程3x+1=2x-；的全部实根之和等于11,已知（1+百尸=勺+4月，其中4，勾为整数，则lim"=iwb12、已知三棱锥SdBC的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SCGB=2,设SJ、B、C四点均在以。为球心的某个球面上，则点。到平面/BC的距离为得分评卷人三、解答题（本题满分80分，每小题20分）13、已

5、知”>0,若函数/（x）=x+J1加二嬴的最大位为g（m）,求g（m）的最小值.得分评卷入14、已知函数/(x)=2(sin4x+cos4x)+m(sinx+cosx)4在xw0,2有限大值5,求实数m的值.得分评卷入|15、抛物线歹=，与过点P(-l,-l)的直线/交于月、巴两点.(D求直线/的斜率攵的取值而:围：1.12(in求在线段46上满足条件而+/万=质的点。的轨迹方程.多得分评卷人|16、已知m为实数，数列4的前项和为工，Q464满足：S1t=34-7x3,+m,且勺2丁对任何的正整数恒成立.求证：当m取到最大值时,833对任何正整数n都有X<.mS*162011年全国

6、高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）/y21、双曲线7一令=1的左、右准线。、乙将线段三等分（其中大、6分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e等于（）.yA、当B、6。、竽口、2石解：由题意得2c=3x§l,解得e=JJ.故答案选3.2、已知三次函数，（%）="3+以2+cx+d,（atbtctdeR）,命题p：y=/（x）是K上的单调函数；命题9：y=/（x）的图像与x轴恰有一个交点.则p是q的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件解：选A.3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、

7、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为则随机变量岁的数学期望E岁的值为（）142A、一B、一C、一D、13 9.3解:尸&=。）=答J，=】）=等哈阳=2）=等，4412于是E4=§x0+§xl+x2=.故答案选C.4、函数/(x)=Jx-5+j24-3x的最大值为()A、也B、3.C>2>/3D、35/3解：法一：/(x)的定义域为5«xW8,2775'2>/24=.1=0,解得”因为5)=3,©)=25"8)=5于是工人=/(?)=2后

8、44故答案选C.法二：f(x)的定义域为5Mx48,/x)=(bVr+V3-V8)2(l+3)(x-5+8-x)=12当且仅当23即x=时，/(x)取到最大值2万,故答案选C.5、如图，边长为2的正方形/3C。和正方形尸所在的面成60。角,M、N分别是线段/C和斯上的点，且AM=FN.则线段MN的长的取值范围是A、白2B.1,2C.V2,2D.73,2解：过点M作MH/BC交于H,则也=4包ACABFNAH又4M=FN,AC=FB,：.=，：.NH/AF.FBAB:.NHLAB,MH1AB,:./MHN=60。.设NH=x(0夕S2),则MHr,NH=2-x.：.MN=Jx2+(2-x)2-2

9、x(2-x)cos60°=V3x2-6jc+4=73d尸+16、设数列g,为等差数列，数列"满足：4=%,%=%+%，乡=4+%+/，若Hm与=2,则数列&的公差d为()A、TB、1C、2D、4解：4+。山丁和川+5122222wr.n(n-1),“5-1).、，n,2n=#+-"q+(-7-+w-l)t/=-(2aI-J+w2t/)于是lira与=+,解得d=4.故答案选D.ibne212二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)7、已知实数x满足|2x+l|+|2x-5|=6,则x的取值范围是.解：因为|2x+l|+|2x-5|H(2x+l)

10、+(5-2x)|=6,等号成立当且仅当(2x+l)(2x-5)40,即一1gx42.故答案填-L*.22228、设平面内的两个非零向量3与石相互垂直，且|皿=1,则使得向量+m3与3+(1-加族互相垂直的所有实数m之和为.2-2解：由于0=(a+mb)a+。一加)6=o+a6+加(1一加)方=lal2+w(l-w)>即加2-加一|。二0,所以由根与系数的关系如符合条件所有实数加之和为1.故答案填1.9、记实数等比数列4的前项和为工，若S1o=1O,S3o=7O,则用。=解:记4=So，b2=S2qSQ»by=S30S2q>b4=S4QSM设夕为gj的公比，则4，a，4，4

11、构成以r=T°为公比的等比数列，于是70=$30=A+&+"=4。+，+/)=io(i+/+/)即产+/一6=0,解得厂=2或r=-3(舍去)，故£.-10(1+/4户+,)-150.故答案次150.10、设x为实数，定义b为不小于x的最小整数，例如卜=4,3.关于实数X的方程3x+11=2x-1的全部实根之和等于.解：设2x-g=AwZ,则刀=”型,3x+1=i+1+21+3244于是原方程等价于|"也3=-1,即-2也3«-1,44117从而一二"片S，即k=5或一4.2297相应的x为一二,一二.于是所有实根之和为-4.

12、故答案填-4.4411、已知（1+石=勺+2仃，其中勺,力为整数，则limL=解：由条件（1+行）”=q+2百知（1_退尸=4_6，于是勺=gto+6y+。-6r,2=点口+6）"-Q一石）”，UanrH(1+6)”+(1-6)"-(1+石)T故im=limV3x=7=-=limV3x=-=V3.一乙(1+y/3Y-(1-43/故答案填J5.12、已知三棱锥S/8C的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、48、C四点均在以。为球心的某个球面上,则点。到平面/6C的距离为.解：如图，因为SA=SB=SC,所以S在平面45c上的射影是ZUBC的外心

13、，即?的中点，同理。点在平面48C上的射影也是45。的外心H,即在等边15中，求。”的长，其中CM=05=QS.显然，OH=1sH=2x2x£=£.故答案填中.33233三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知机0，若函数/（x）=x+的最大值为g（m）,求g（加）的最小值.（5分）（20分）解：令=J100-mx,则x=二£1m.尸1+/=(”巴)2+翌+巴mm2m4业.m04±加nn,、100m当，=二时，V有取大值h一,即g(加)=一一.2m4m41 /、100myiOOm1A2 g(加)=+二之2jx=10,m4m4等号当

14、且仅当m=20时成立，当m=20时，g（加）有最小值10.14、已知函数/(x)=2(sin4x+cos4%)+加(5加工+80幻4在工W0,5有最大值5,求实数小的值.解：/(x)=2(sin2x+cos2x)2-4sin2xcos2x+/M(sinx+cosx)4=2-(2sinxcosx)2+m(sinx+cosx)4(5分)令，=sinx+cosx=V2sin(x+)w1,41».fliJ2sinxcosx=r2-1,从而/(x)=2-/2-I)2+m/4=(m-l)/4+2/2+1(10分)令=/1,2J,由题意知g(u)=(m-1)/+2“+1在w口,2有最大值5.当加-

15、1=0时，gQ)=2+l在=2时有最大值5,故阳=1符合条件；(15分)当析一1>0时，g()gNg(2)>2x2+l=5i矛盾！（20分）当加一1<0时，g(w)<2m+1<5>矛盾！综上所述，所求的实数m=115、抛物线丁=，与过点尸（-1,-1）的直线/交于4、4两点.（I）求直线/的斜率后的取值范围；112（II）求在线段66上满足条件士+去=三的点0的轨迹方程.PRPRPQ.解：（D直线/的方程为y+l=Hx+l）,与抛物线方程>=，联立得"，消去丁得/=Mx+i）-i,即，一米一"一1）=0,丁+1=Hx+l）由A=（q

16、）2+4（A-l）>0,解得左>-2+20或A<-2-2近.（5分）（II）设。点坐标为（x,y）,耳点坐标为&,乂），舄点坐标为（马,必），则再+勺=七，玉4=一（七一1）,又4、6、。都在直线/上，所以有丁+1=左（工+1）,乂+1=/（玉+1）,y2+l=k（x2+）91_=2化简得必1+IF+（乂+1）2+几+I）?+仇+-而+1）、&+1）2（10分）.又（玉+1）（+1）=玉z+X+/+1=-（左一1）+4+1=2>0.点0在线段耳打上.所以再+1,再+1户+1同号.则Xj+1x2+1x+1因此“2皿9也_;2士再+x?+2k+2，y=左（工

17、+1）1=4（2-k73-2由得上二上今代入得二一=l-2x,BP2x-+l=0>（15分）x+12-22x+1又因为>一2+2力或左<-22及，所以=工-1的取值范围是k+2-V2-1<x<>/2-1且x工-1,<x<扭-1且XH-1）.（20分）因此点。的轨迹方程是2x-y+l=0（-女-1-x3n+nt9316、已知加为实数，数列。力的前项和为S,满足：Sn=0864且为2对任何的正整数恒成立.3求证：当加取到最大值时，对任何正整数9证明：当同=1时，由q=-q-4+m得q=8（4加），894Q4当“21时，S”=£勺一二x3"+加，=7。,.一彳x3”"+加，8 3o39 98644川=£/】一$为一三乂3“，即a”】=94+丁*3"，（5分）ooJ3，一+多x3*9a+与X”）3232勺+舒3”=（q+m）x9j832即4=3。6-3加）x9”5x3”（10分）83264由条件知，万（16-3x9”-§x3”2亍对任何正整数恒成立,即2（16-3加）？&qu