直线与圆锥曲线的位置关系(1)ppt课件

1、10.4 直线与圆锥曲线的位置关系高考文数高考文数 (课标课标公用公用)考点一直线与圆锥曲线的位置关系考点一直线与圆锥曲线的位置关系1.(2021课标全国课标全国,12,5分分)过抛物线过抛物线C:y2=4x的焦点的焦点F,且斜率为且斜率为的直线交的直线交C于点于点M(M在在x轴的轴的上方上方),l为为C的准线的准线,点点N在在l上且上且MNl,那么那么M到直线到直线NF的间隔为的间隔为()A.B.2C.2D.335233五年高考A组 一致命题课标卷题组答案C此题调查直线与抛物线的位置关系,点到直线的间隔.解法一:由题知MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10 x+3=0,解

2、得x1=,x2=3,所以M(3,2),由于MNl,所以N(-1,2),又由于F(1,0),所以NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的间隔为=2.解法二:直线FM的倾斜角为60,又|FM|=|MN|,所以MNF为正三角形,于是直线NF与准线l成30角,从而|NF|=2p=4,那么M到直线NF的间隔为MNF的边NF上的高,d=|NF|=2.31333322|3(3 1)2 3|( 3)13sin30p323方法总结涉及抛物线的焦点和准线时,应充分利用抛物线的定义.2.(2021课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1

3、)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),那么x10,x20.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0

4、.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.12122(2),2yk xyx2k112yx 222yx 211212122()(2)(2)x yx yyyxx1yk2yk121224 ()y yk yyk88k 方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题战略:(1)求直线方程.先寻觅确定直线的两个条件.假设短少一个可设出此量,利用题设条件寻觅关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可根据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用根本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线

5、的定义转化为两点间的间隔或点到直线的间隔.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否认性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻觅待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示(1)由于忽略点M,N位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“ABM=ABN正确转化为“kBM+kBN=0进展证明,从而思绪受阻,无法完成后续内容.3.(2021课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为

6、曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.24x解析此题调查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.2

7、14x224x1212yyxx124xx24x2x32x24x1m22(1)m2(1)m所以直线AB的方程为y=x+7.方法总结(1)直线与抛物线的位置关系点差法:在知“x1+x2或“y1+y2的值,求直线l的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系知直线与圆锥曲线相交,求参数时,普通联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合知列方程求解参数.求弦长时,可经过弦长公式|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=(k0)求解.21 k21 k21212()4xxx x211k211k21212()4yyy y4.(2021课标全

8、国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,衔接ON并延伸交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C能否有其他公共点?阐明理由.|OHON解析(1)由知得M(0,t),P.(1分)又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N为OH的中点,即=2.(6分)(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+

9、4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只需一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)2,2ttp2,ttppt22tp22,2ttp|OHON2pt2tp方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.思绪分析(1)由点M求出点N的坐标,继而求得直线ON与抛物线的交点H的坐标.(2)思绪1,先求出直线MH的方程,与抛物线方程联立,求出交点坐标,得到只需一个交点的结论.思绪2,求出抛物线在H点切线的斜率,证明该斜率等于直线MH的斜率,从而直线MH与抛物线相切,得到除H以外没有其他交点的结论.评析此题调查了直线与抛物线的位置关系,

10、调查了运算求解才干.得到交点的坐标是求解的关键.考点二弦长、弦中点问题考点二弦长、弦中点问题1.(2021课标课标,10,5分分,0.320)设设F为抛物线为抛物线C:y2=3x的焦点的焦点,过过F且倾斜角为且倾斜角为30的直的直线交线交C于于A,B两点两点,那么那么|AB|=()A.B.6C.12D.73033答案C焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=,即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,应选C.3,04333334x333413723162123221232思绪分析

11、思绪一:直接求出点A,B的坐标,再利用两点间间隔公式计算;思绪二:联立直线与抛物线方程,消去y,利用抛物线定义及弦长公式求解.2.(2021课标全国,20,12分)知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:2|=|+|.24x23y12FPFAFBFPFAFB解析此题调查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),那么+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0

12、).设P(x3,y3),那么(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,假设AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.54解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标

13、轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4).那么y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB

14、|2+|DE8p8p2p2p8p2p8p548p21m 1m4m4m222223,mmm211m2224(1) 21mmm1214|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)14222mm2222m22244(1) (21)mmm评析此题主要调查抛物线的定义、规范方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重调查概念的了解运用才干、运算变形才干及分类讨论思想.评析此题主要调查抛物线的定义、规范方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重调查概念的了解运用才干、运算变形才干及分类讨论思想.考点一直线与圆锥曲

15、线的位置关系考点一直线与圆锥曲线的位置关系1.(2021湖南湖南,14,5分分)平面上一机器人在行进中一直坚持与点平面上一机器人在行进中一直坚持与点F(1,0)的间隔和到直线的间隔和到直线x=-1的间隔的间隔相等相等.假设机器人接触不到过点假设机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为且斜率为k的直线的直线,那么那么k的取值范围是的取值范围是.B组 自主命题省区、市卷题组答案(-,-1)(1,+)解析设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的规范方程为y2=4x.过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).由得ky2-4y+4k=0

16、.当k=0时,显然不符合题意;当k0时,依题意得=(-4)2-4k4k0,解得k1或kb0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.由于圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),那么+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x20 x20y00 xy即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*)由于直线l与椭圆C有且只需一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=

17、0.由于x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).00 xy03y220001,43xyxyxyy 20 x20y20y20 x20y20y20y20 x22由于三角形OAB的面积为,所以ABOP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)22 67122 674 272200022002448(2)2(4)xyxxy=.由于+=3,所以AB2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),那么=,因此P的坐标为.那么直线l的方程为y=-x+3.解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+

18、y2=3,由于点在椭圆上,所以2a=+=4,所以a=2.由于a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0,设直线l的方程为y=kx+m(k0),20201xy22002220048(2)(4)yxxy20 x20y2022016(2)(1)xx324940 x20 x20 x5220 x20y12102,2252313,2221( 33)02221( 33)0224x将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,由于直线l与圆O相切

19、,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由于直线l与椭圆C相切,所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,由于k0,所以k=-,那么m=3,将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2x+2=0,解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1).设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),24x222

20、222由知m2=3k2+3,且k0,由于直线l和椭圆C相交,所以结合的过程知m24k2+1,解得k-,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=,所以|x1-x2|=,由于AB=|x1-x2|=,O到l的间隔d=,所以SOAB=,解得k2=5,由于k0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)知点G(-1,0),延伸AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由于|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y

21、2=4x.(2)解法一:由于点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,无妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这阐明点F到直线GA,GB的间隔相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.2p2p222222 2(1),4yxyx121,222 202( 1) 2 23201( 1)2 2 23解法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.由于点A(2,m)在抛物线

22、E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,无妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的间隔d=r.这阐明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.222222 2(1),4yxyx121,2222|2 22 2 |894 21722|2 22 2 |894 217评析此题主要调查抛物线、直线与圆的位置关系等根底知识,调查推实际证才干、运算求解才干,调查数形结合思想、

23、化归与转化思想、函数与方程思想.5.(2021湖南,20,13分)知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(1)求C2的方程;(2)假设|AC|=|BD|,求直线l的斜率.22ya22xb6ACBD评析此题主要调查抛物线、直线与圆的位置关系等根底知识,调查推实际证才干、运算求解才干,调查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).由于F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.又C1与C2的公共弦的长

24、为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.联立,得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,那么l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.636,2294a26b29y28xACBDACBD21,

25、4ykxxy由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.将,代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,221,189ykxxy21698kk26498k222216(98)kk24 6498k2222169(1)(98)kk所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直线l的斜率为.6464考点二弦长、弦中点问题考点二弦长、弦中点问题1.(2021北京北京,20,14分分)知椭圆知椭圆M:+=1(ab0)的离心率为的离心率为,焦距为焦距为2.斜率为斜率为k的直线的直线l与椭圆与椭圆M有两个不同的交点有两个不同的交点A,B.

26、(1)求椭圆求椭圆M的方程的方程;(2)假设假设k=1,求求|AB|的最大值的最大值;(3)设设P(-2,0),直线直线PA与椭圆与椭圆M的另一个交点为的另一个交点为C,直线直线PB与椭圆与椭圆M的另一个交点为的另一个交点为D.假设假设C,D和和点点Q共线共线,求求k.22xa22yb6327 1,4 4解析(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|AB|=.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.(3)设A(x1,y1),

27、B(x2,y2).由题意得+3=3,+3=3.222,6,322 2,abccac323x22,13yxmxy32m2334m 222121()()xxyy2212()xx212122()4xxx x21232m621x21y22x22y直线PA的方程为y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC).所以xC+x1=.所以xC=-x1=.所以yC=(xC+2)=.设D(xD,yD).同理得xD=,yD=.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,那么kCQ-kDQ=-=4(y1-y2-x1+x2).112yx 1122(2),233,yyx

28、xxy21y21y21y21221112(2)3yxy21141247xx21141247xx1112747xx112yx 1147yx 2212747xx2247yx 111114741277474yxxx222214741277474yxxx由于C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=1.1212yyxx2.(2021辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.假设PAB的面

29、积为2,求C的标准方程.3解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),那么切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0 x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=,由+=42x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).(2)设C的规范方程为+=1(ab0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=.由点P到直线l的间隔为及SPAB=|AB|=2得b4-9b2+

30、18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)00 xy00 xy1204x04y008x y20 x20y22222xa22yb22a22b22221,3xyabyx312221224 3,62,xxbbx xb 332224248248bbb321232或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.26x23y3.(2021陕西,20,13分)知椭圆+=1(ab0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)假设直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.22

31、xa22yb31212|ABCD5 34评析此题调查了直线、圆、椭圆之间的位置关系;调查了待定系数法和运算求解才干;灵敏利用不等式和根与系数的关系进展运算是求解的关键.解析(1)由题设知解得a=2,b=,c=1,椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心到直线l的间隔d=,由d1得|m|0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)假设BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)假设A,B,F三点在同不断线m上,直线n与m平行,且n与C只需一个公共点,求坐标原点到m,n间隔的比值.2解析

32、(1)由知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的间隔d=|FA|=p.由于ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)由于A,B,F三点在同不断线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只需一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.由于m在y轴上的截距b1=,所以=3,所

33、以坐标原点到m,n间隔的比值为3.当m的斜率为-222122122212333333332 33436p2p1|bb33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n间隔的比值为3.3.(2021课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)假设圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.解析(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),那么有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.那么圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(

34、x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由知可得,判别式=56-16a-4a20.因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由,得a=-1,满足0,故a=-1.222223(1)t220,(3)(1)9.xyaxy2(82 )56 1644aaa2212aa评析此题调查圆的方程的求法,曲线交点的求法,根与系数的关系和一元二次方程的求根公式等根底知识和根本方

35、法.对运算才干的要求较高,对数形结合思想、函数与方程的思想,化归与转化的思想的调查较为全面、深化.难度较大.4.(2021湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的间隔比它到y轴的间隔多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的

36、方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),那么由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.假设由解得k,22(1)xy4 ,0,0,0.x xx21(2),4 ,yk xyx 141,1421kk00,0,x12即当k(-,-1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.假设或由解得k或-k0,即当k时,直线l与C1只

37、需一个公共点,与C2有一个公共点.当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.假设由解得-1k-或0k,即当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k(-,-1)0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k1,200,0 x00,0,x11,21211,21,021,0211,200,0,x121211,2 10,21,21,02时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.11,211,2 10,2评析此题调查直线与圆锥曲线的位置关系,调查

38、了分类讨论思想.考点二弦长、弦中点问题考点二弦长、弦中点问题(2021课标课标,20,12分分)设设F1,F2分别是椭圆分别是椭圆E:x2+=1(0b0)的准线与x轴的交点为M,过点M作C的两条切线,切点分别为P,Q,那么PMQ=.三年模拟A组 20212021年高考模拟根底题组答案2解析由题意得M,设过点M的切线方程为x=my-,代入y2=2px得y2-2pmy+p2=0,=4p2m2-4p2=0,m=1,那么k=1,MQMP,因此PMQ=.,02p2p22.(2021内蒙古呼和浩特第一次质量普查)知椭圆C的中心在原点,其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,点在椭圆C上.(1)求椭圆C的

39、方程;(2)设椭圆的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,假设AF1B的面积为,求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程.31,26 35解析抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),设椭圆的方程为+=1(ab0),由题意得a2-b2=c2=1,又点在椭圆上,于是故椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l的方程为x=my+1,由得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=,y1y2=,|AB|=,点F1到直线l的间隔为d=,22xa22yb31,2222223121,1abab224,3.ab24x23y221,3412,x

40、myxy2634mm2934m2212(1)43mm221m所以=d|AB|=,解得m2=2,设所求圆的半径为r,那么r=,所以此圆方程为(x+1)2+y2=.1F ABS122212 143mm6 35221m23433.(2021辽宁锦州质检(二)知椭圆C:+=1(ab1)的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合,过点F的直线与C交于A、B两点,直线x-y+=0与以原点O为圆心,椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)求该椭圆C的方程;(2)设点P的坐标为,假设|PA|=|PB|,求直线AB的方程.22xa22yb221,08解析(1)依题意,得c=1,e=,即=,a=2,b=,所求椭圆C的方

41、程为+=1.(2)假设直线AB斜率不存在,即AB:x=-1,满足|PA|=|PB|.假设直线AB的斜率存在,设为k,那么直线AB的方程为y=k(x+1),将其代入+=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=,y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=,AB的中点G,根据题意知PGAB,k=-1,解得k=,直线AB的方程为y=(x+1).2002212ca12324x23y24x23y22843kk2643kk 22243,43 43kkkk22234341438kkkk 3232综上,直线AB的方程为x=-1或y=(

42、x+1).324.(2021吉林大学附中八模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的方程;(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a0).由抛物线C经过点P(1,2),得22=a1,解得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由于|PM|=|PN|,所以PMN=PNM,所以直线PA与PB的倾斜角互补,又易知直线PA,PB的斜率存在,且不为0,所以两直线斜率互为相反数.设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k0

43、),将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.设A(x1,y1),那么1x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,所以A.以-k交换点A坐标中的k,得B.所以kAB=-1.即直线AB的斜率为-1.2244kkk4k22(2)4,2kkk22(2)4,2kkk222244(2)(2)kkkkkk 考点二弦长、弦中点问题考点二弦长、弦中点问题1.(2021甘肃兰州第二次实战考试甘肃兰州第二次实战考试)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,抛物线抛物线y2=6x的焦点为的焦点为F,准线为准线为l,P为抛物线上一点为抛物线上一点,PAl,A为垂足为垂足,假

44、设直线假设直线AF的斜率的斜率k=-,那么线段那么线段PF的长为的长为()A.4B.5C.6D.73答案C抛物线的方程为y2=6x,焦点为F,准线l的方程为x=-.直线AF的斜率k=-,直线AF的方程为y=-,当x=-时,y=3,即A.PAl,A为垂足,P点的纵坐标为3,代入到抛物线方程,得P点的坐标为.|PF|=|PA|=-=6.应选C.3,02323332x3233,3 3239,3 3292322.(2021内蒙古包头一模)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A,B两点,假设|AB|=,那么l的斜率为()A.-1B.-C.-D.-16333223答案D抛物

45、线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么有x1+x2=,而|AB|=x1+x2+2=+2=,解得k2=3,由于倾斜角为钝角,所以k=-,应选D.2224kk2224kk16333.(2021黑龙江哈尔滨三中一模)直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A,B,假设M(x0,4)是AB中点,那么直线l的斜率k=.答案12解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A,B,=4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(

46、x1-x2),M(x0,4)是AB中点,8(y1-y2)=4(x1-x2),=,即直线l的斜率k=.21y22y1212yyxx12124.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点M在l上,且在x轴上方,线段FM依次与抛物线、y轴交于点P,N,假设P是FN中点,O是原点,那么直线OM的斜率为.答案-42解析由题意得F(1,0),xP=,yP=,直线PF:y=-2(x-1),yM=-2(-1-1)=4,kOM=-4.1222224 2125.(2021青海西宁一模)知点P(2,1),假设抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P为中点,那么弦AB所在的直线方程是.答案2

47、x-y-3=0解析解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k,由整理得k2x2+2k(1-2k)-4x+(1-2k)2=0,所以有x1+x2=-,由于弦AB恰好以P为中点,所以-=4,解得k=2,所以直线方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么=4x1,=4x2,两式相减,并整理得=,又P是AB的中点,y1+y2=2,于是直线AB的斜率k=2,所以直线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.212 ,4 ,ykxkyx 22 (12 )4kkk22 (12 )4kkk21

48、y22y2121yyxx214yy2121yyxx214yyB组 20212021年高考模拟综合题组(时间:30分钟分值:40分)一、选择题(共5分)1.(2021内蒙古包头一模)知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,假设NANB,那么p=()A.-2B.2C.-4D.4答案D由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去x得y2-py-p2=0,设A,B,那么y1+y2=p,y1y2=-p2,由NANB得,+(y1-2)(y2-2)=0,所以+(y1+y2)2-2y1y2+4-p2-2p+4=0,即-p2+p+8=0,解得p=4或p=-(舍),选D.2px211,2yyp222,2yyp2122yp2222yp424pp1p34832.(2021青海西宁一模)知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,假设=3,那么|FB|=.FCFA二