极限运算法则

1、主要内容主要内容 极限运算法则的理论依据极限运算法则的理论依据lim( )f xA ( )( )f xAx ( ( )0)x 依据无穷小量的运算法则依据无穷小量的运算法则定理定理法则法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论2 2).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而

2、存存在在如如果果推论推论1 1例例1 11lim(21).xx 求求解解1lim(21)xx 11lim2lim1xxx12lim1xx2 11 1. 例例2 2.531lim232 xxxx求求解解3221lim35xxxx 322123 25 7.3 32222(lim)1(lim)3lim5xxxxxx 3222lim(1)lim(35)xxxxx 3222222limlim1limlim3lim5xxxxxxxx ()CC型型小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf 000101(lim)(lim)lim( )nxxxxxxnnafaxxxa nnnaxaxa

3、10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf000lim( )lim( )lim( )xxxxxxfxxP xQ )()(00 xQxP ).(0 xf 0()0,.Q x 若若则则商商的的法法则则不不能能应应用用以上两种情形的极限值都等于在该点的函以上两种情形的极限值都等于在该点的函数值，即可以用数值，即可以用代入法代入法求极限求极限. .练练 习习12225lim.1xxxx 求求解解221lim(1)( 1)120,xx Q Q42.222125lim1xxxx 22( 1)2 ( 1)5( 1)1 解解21lim(23)xxx Q Q2(

4、 1)2 ( 1)30, 商的法则不能用商的法则不能用1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例3 3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx1lim(41)4130,xx 而而()0C型型练练 习习22468lim.54xxxxx求求解解24lim(54)xxx Q Q245 440, 22468lim54xxxxx 00.16 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得22468lim.54xxxxx 224lim(68)46 48160,xxx 而而()0C型型解解例例4 42211lim.23xxxx

5、求求1,.x 时时 分分子子 分分母母的的极极限限都都是是零零.1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)练练 习习322042lim.32xxxxxx 求求0()0型型解：解：322042lim32xxxxxx 20(421)lim(32)xxxxxx 4 02 013 02 20421lim32xxxx .21 例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时

6、时 x)(型型 3,.x分分子子分分母母同同时时除除以以最最高高次次项项再再求求极极限限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 当当当当当当00101101/,lim0,mmmnnxnabnma xa xanmb xb xbnm 无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂以分母中自变量的最高次幂除分子除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.练练 习习2211.lim.21xxxx 求求232321

7、2.lim.25xxxxx求求422423.lim.32xxxxxx 求求3lim(21)xxx 4 4. .求求答答 案案2211.lim.21xxxx 求求() 型型解：解： 分分子子分分母母均均为为二二次次多多项项式式，极极限限均均为为 ，于于是是极极限限值值为为最最高高次次二二次次项项系系数数之之比比。221lim21xxxx .21 2323212.lim.25xxxxx求求解解,x 时时 分分子子 分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大。)(型型 3 32 20 0. .分分母母的的最最高高次次项项为为 次次，分分子子的的最最高高次次项项为为 次次, ,于于是是极极限限值值为为2

8、32321lim25xxxxx0. 422423.lim.32xxxxxx 求求() 型型解：解：4 42 2. 分分子子分分母母均均为为二二次次多多项项式式极极限限均均为为 ，分分母母的的最最高高次次数数为为 次次，分分子子的的最最高高次次数数为为 次次，于于是是极极限限值值为为42242lim32xxxxxx . 3lim(21)xxx 4 4. .求求3021limxxxx 原原式式 解解() 型型例例6 6.sinlimxxx 求求-60-40-20204060-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751点击此处可播放动画点击此处可播放动画()C 型型练练 习习201lim

9、sin.xxx求求极极限限解：解：由由有有界界变变量量乘乘以以无无穷穷小小仍仍无无穷穷小小然然是是的的性性质质：无无穷穷小小。201limsin0.xxx20lim0 xx Q Q，1sin.x而而是是有有界界函函数数20,xx为为当当时时的的无无穷穷小小( 0)C 型型).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n22212lim()nnnnnL L2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例7 7212limnnn L L0000( )lim( )( )lim( )( ) ( )lim ( )l

10、im( )( ).xxuaxxuauxxxaxayf uuaf uf afxxxfxf uf a 定定理理（）设设函函数数当当时时的的极极限限存存在在且且等等于于，即即，而而函函数数在在点点处处有有定定义义且且，则则复复合合函函数数当当时时的的极极限限也也存存在在，复复合合函函数数的的极极且且限限运运算算法法则则0 ( )limxxfx 0lim( )xxfx )(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：例例8 8233lim.9xxx 求求解解233lim9xxx 原式原式33lim(3)(3)xxxx 166631lim3xx 0()0型型练练 习习311lim.1xxx 求求解解3

11、23331(1)(1)lim1xxxxx 原式原式3231lim(1)xxx 3. 0()0型型解解例例9 9. .lim1(2)xxxx 求求() lim1(2)xxxx 1 (2)(2)lim2xxxxxxxx 21lim2xxxx 2lim1111111xxx 有理化有理化总总 结结0()0型型() 型型不确定型：不确定型：()CCCC 型型()C 型型确定型：确定型：0()0C 型型()0C 型型()0C 型型()C 型型例例1010已已知知, 51lim21 xcbxxx解解, b c试试确确定定的的值值。21lim51xxbxcx 存存在在，21lim()10 xxbxcbc 211lim1xxbxbx