概率论与数理统计区间估计

1、第三节 区间估计一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念二、典型例题二、典型例题三、小结三、小结一、区间估计的基本概念1. 置信区间的定义置信区间的定义1121221212( ; ), (01), ,(,)(,) (,)(,)1, nnnnnXF xXXXXPXXXXXXXXXXX设总体的分布函数含有一个未知参数对于给定值若由样本确定的两个统计量和满足, ,( , )1 1.1 则称是 的为和分别称为的置信随机区间置信度的置信区间置信度为的双侧置信区间下和置信为上限置信度限关于定义的说明关于定义的说明.) ,( , , , 是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个

2、个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1),(),(2121的的本本质质是是因因此此定定义义中中下下表表达达式式 nnXXXXXXP( , ) 1, 1( , ). 随机区间以的概率参数 的真值而说参数 以的概率随机区间不能落入包含着 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n) ), ,( 间间每个样本值确定一个区每个样本值确定一个区按按伯努利大数定理伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中, .%100 ,)%1(

3、100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 ,每个这样的区间或包含的真值或不包含的真值例如例如 , 1000 0.01, 次次反反复复抽抽样样若若 .10 1000 个个真值的约为真值的约为个区间中不包含个区间中不包含则得到的则得到的 2. 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出两个

4、常数出两个常数定定对于给定的置信度对于给定的置信度, a b： 可以任意找，只要满足区间概率要求即可，注一般找对称的。. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为是是就就那那么么都都是是统统计计量量其其中中不不等等式式得得到到等等价价的的若若能能从从 nnnXXXXXXbXXXZa212121(,(,3 ,)(,; ),)1nnnaZ XXXXXXXXPbX 步骤（ ）实质是：由满足 的不等式，来解出关于未知参数 的不等式从而得到其上下限。.,1,区间估计精度降低区间估计精度降低可信程度增大可信程度增大间长度增大间长度增大

5、置信区置信区增大增大置信水平置信水平固定固定样本容量样本容量 n.,1区间估计精度提高区间估计精度提高可信程度不变可信程度不变间长度减小间长度减小置信区置信区增大增大样本容量样本容量固定固定置信水平置信水平n 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二、典型例题.1,),( ,)0(, 021的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为求求给给定定的的样样本本是是来来自自总总体体未未知知其其中中上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设总总体体 XXXXXn解解, ,max 21nhXXXX 令令由上节例由上节例4可

6、知可知, ,1的的无无偏偏估估计计是是 hXnn 的的概概率率密密度度为为因因为为hX ., 0,0,)(1其他其他 xnxxfnn例例1, hXZ ., 0, 10,)(1其他其他znzzgn其概率密度为其概率密度为 , )10(, baba可可定定出出两两个个常常数数对对于于给给定定的的 ,1 bXaPh满足条件满足条件,d1 1nnbanabznz 即即,1 aXbXPhh.,为为置置信信区区间间 aXbXhh 的随机变量的随机变量考察包括待估参数考察包括待估参数 解解.1 , , , ),(,2221的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平求求为未知为未知为已知为已知其中其中的样本

7、的样本是来自正态总体是来自正态总体设设 NXXXn , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/数的数的是不依赖于任何未知参是不依赖于任何未知参NnX 例例2 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上 ., 1 2/2/ znXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/ zn ,05. 0 , 1 ,16 2 n中中取取如如果果在在例例,9

8、6. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的的置置信信区区间间是是不不唯唯一一的的置置信信水水平平为为注注意意 ,05. 0 2 中如果给定中如果给定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 则则又又有有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的的置置信信区区间间为为

9、的的置置信信水水平平也也是是故故 znXznX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显显然然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.说明说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况轴对称的情况, 易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时,能使能使置信区间长度最小置信区间长度最小.今抽今抽9件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:m

10、m): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/2/ znXznX的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得根根据据例例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为 ),16,( NX 服服从从正正态态分分布布设设某某工工件件的的长长度度. 95 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为试试求求参参数数 例例3二、 2未知时 的置信区间 这时可用t 统计量，因为 ，因此 t 可以用来作为枢轴量

11、。可得到 的1-置信区间为： 此处 是 2的无偏估计。 () (1)n xtt ns22(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxxn例4 设x1, x2 , , x10是来自N(, 2)的样本，则 的置信水平为1- 的置信区间为 其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。 若取 =0.10，则t0.05(9)=1.8331，上式化为：22(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx例5n课本p.196 例1三、小结 点估计不能反映估计的精度点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入故而本节引入了区间估计了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般

12、步骤(分三步分三步).1 , )( ),( P有有意的意的即对于任即对于任置信水平置信水平数具有预先给定的概率数具有预先给定的概率它覆盖未知参它覆盖未知参间间置信区间是一个随机区置信区间是一个随机区例 设x1, x2 , , x10是来自N(, 2)的样本，则 的置信水平为1- 的置信区间为 其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。这里用它来说明置信区间的含义。 若取 =0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx 现假定 =15, 2 =4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.4.1上。 14.7053,1.8438xs14.7053 0.5797 1.8438, 14