第五章计算全息

1、 一、计算全息的定义一、计算全息的定义 利用光的干涉原理，借助参考光，可以将物光的复振幅利用光的干涉原理，借助参考光，可以将物光的复振幅（振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之（振幅和相位）以干涉条纹的形式记录下来。我们可以称之为为光学编码的方法光学编码的方法。 如果我们不用光学的方法而是用如果我们不用光学的方法而是用人工的方法人工的方法进行编码制作全进行编码制作全 息图，这就是息图，这就是计算全息图计算全息图（Computer-generated Hologram).Computer-generated Hologram). 计算全息图不仅可以全面地记录光波的振幅和相位，计算全息

2、图不仅可以全面地记录光波的振幅和相位，而且能综合出复杂的，或根本不存在的物体的全息图，而且能综合出复杂的，或根本不存在的物体的全息图，因而具有独特的优点和极大的灵活性。从光学发展的历因而具有独特的优点和极大的灵活性。从光学发展的历史来看，计算全息首次将计算机引入光学处理领域，计史来看，计算全息首次将计算机引入光学处理领域，计算全息图成为算全息图成为数字信息数字信息和和光学信息光学信息之间有效的联系环节，之间有效的联系环节，为光学和计算机科学的全面结合拉开了序幕。为光学和计算机科学的全面结合拉开了序幕。 三、计算全息图的制作程序三、计算全息图的制作程序一般计算全息的制作过程分为五步一般计算全息的

3、制作过程分为五步（1 1）抽样（）抽样（2 2）计算（）计算（3 3）编码（）编码（4 4）绘制和缩小（）绘制和缩小（5 5）再现）再现以下是傅里叶变换全息图的制作流程以下是傅里叶变换全息图的制作流程数学函数数学函数抽样得离散抽样得离散样点分布样点分布离散傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变离散傅里叶变换谱换谱编码编码全息透过全息透过率函数率函数绘图绘图照相缩版照相缩版计算全息图计算全息图再现再现像像四、抽样定理四、抽样定理 光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，记录、存贮、发送

4、和处理时，由于物理器件有限的信息容量，一个连续函数常常用它在一个一个连续函数常常用它在一个离散点集上离散点集上的函数值，即的函数值，即抽样值抽样值来表示。已知一个函数为来表示。已知一个函数为f f (x),(x),则其抽样值为则其抽样值为)()(0 xntfnf 1, 1 , 0 Nn式中：式中：0t为抽样起始点，为抽样起始点，n n为抽样点序号，为抽样点序号，x 是抽样间隔是抽样间隔)(nf是是抽样值抽样值或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样序列越准确反映原来的连续函数。序列越准确反映原来的连续函数。 抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处

5、理就会提抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理就会提出更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既出更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到既不不 丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，并丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求，并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要回由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要回答的问题。答的问题。 抽样是制作计算全息图的一个重要的不可缺少的步骤，而抽样是制作计算全息图的一个重要的不可缺少的步骤，而抽样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。抽样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。下面看一看函数的抽

6、样和复原的图解分析过程。下面看一看函数的抽样和复原的图解分析过程。x)(xxcomb x)(xfsx x 2x x 2xx 1x 21x 1x 21)( sF x)2(sin2xBcBxx)2/(xBrect )( F x)(xf )()(mxxcomb 梳状函数的性质梳状函数的性质 )()(xmxxxxcomb )()( combxcomb)()( xxcombxxcomb 利用梳状函数对连续函数利用梳状函数对连续函数f(x,y)f(x,y)抽样，得抽样函数抽样，得抽样函数)y( ，xfs它是由它是由 函数的阵列构成函数的阵列构成),()()(),(yxfyycombxxcombyxfs n

7、mymyxnxymxnfyx),(),( 利用卷积定理得到抽样函数的频谱利用卷积定理得到抽样函数的频谱),()()( Fycombxycombx ),(),( Fymxnnm nmymxnF),( ),()()(),( FyycombxxcombFs nmSymxnFF),(),(结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱),( F的周期性重复。的周期性重复。在频域在频域空间域空间域 的抽样间隔是的抽样间隔是x 和和y , ,空间频谱被重复。其频谱中空间频谱被重复。其频谱中心间距为心间距为x 1y 1和和x)(xfs)( sF x 1x 21x x 2设设f(

8、x,y)f(x,y)是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上不为零。不为零。,方向上的谱的宽度分别为方向上的谱的宽度分别为xB2yB2由抽样过程示意图可知当由抽样过程示意图可知当xBx21 yBy21 xBx21 yBy21 ),( sF中的各个频谱就不会出现中的各个频谱就不会出现混叠混叠现象，这样就有可能用现象，这样就有可能用滤波的方法从滤波的方法从),( sF中分离出原函数的频谱中分离出原函数的频谱),( F，再由，再由),( F恢复原函数。恢复原函数。xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB 因而能由抽样值还原原函数的条件是因

9、而能由抽样值还原原函数的条件是（1 1）),(yxf是带限函数是带限函数（2 2） 在在x x方向和方向和y y方向抽样点最大允许方向抽样点最大允许 间隔为间隔为yB21xB21xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB yB21xB21和和称为称为奈魁斯特间隔奈魁斯特间隔。 抽样定理的另一种表达为：抽样定理的另一种表达为： 一个有限带宽的函数，它没有频率在一个有限带宽的函数，它没有频率在xB2yB2以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于yB21xB21和和的抽样值的抽样值唯一唯一地确定。地确定。函数的还原函数的还原将抽样函数作为输入，加到

10、一个低通滤波器上，只要抽样函数将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数 的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使),( sF中，中，n=0,m=0n=0,m=0的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。),(yxf),( F ),(yxfs)()(yycombxxcomb 低通滤波器低通滤波器),(yxh),( H),(),(),(yxhyxfyxfs ),( sF),(),(

11、 sFF ),( H若选矩形函数为滤波函数若选矩形函数为滤波函数)2()2(),(yxBrectBrectH 则则),(),( sFF )2()2(yxBrectBrect 这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算),(),(),(yxhyxfyxfs ),(),(),(ymyxnxymxnfyxyxfs ),(yxh )2()2(yxBrectBrect )2(sin)2(sin4yBcxBcBByxyx ),(),(),(yxhyxfyxfs nyxmyxymyBcxnxBcymxnfyxBB)(2sin)(2sin),(4惠特克惠特克香

12、农（香农（Whittaker-Shannon)Whittaker-Shannon)抽样定理抽样定理xBx21 取取yBy21 ),(yxf nyyxxyxmBmyBcBnxBcBmBnf)2(2sin)2(2sin)2,2(它表明了只要抽样间隔满足它表明了只要抽样间隔满足xBx21 yBy21 则在每一个抽样点上放置一个以则在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的抽样值为权重的sinc函数函数 为内插函数，由这些加权的为内插函数，由这些加权的sincsinc函数的线性组合可复原原函数的线性组合可复原原函数。函数。由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数

13、有两条途径（1 1）频域滤波）频域滤波（2 2）空域插值）空域插值严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数物理物理量量的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是有限通频带有限通频带宽宽的。所以很多物理量函数都可视为

14、有限带宽函数，从而的。所以很多物理量函数都可视为有限带宽函数，从而可用离散的抽样序列代替。可用离散的抽样序列代替。将上述抽样过程用下面的光学过程来说明：将上述抽样过程用下面的光学过程来说明：xy如图，物函数如图，物函数f(x,y)f(x,y)是透明片是透明片T T字的透过率函数，在傅里叶变换字的透过率函数，在傅里叶变换平面上平面上T T字的谱是一组衍射斑点。对于字的谱是一组衍射斑点。对于f(x,y)f(x,y)抽样，相当于在抽样，相当于在T T字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，

15、只允许中间现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，只允许中间一组通过，则像面上的一组通过，则像面上的T T字没栅格，与原物相同。字没栅格，与原物相同。五、抽样点数与空间带宽积五、抽样点数与空间带宽积设平面物体的大小为设平面物体的大小为yx 在在x,yx,y方向的抽样间距为方向的抽样间距为xy根据抽样定理根据抽样定理 1x 1y取等号，有取等号，有 1x 1yyx 一个抽样单元一个抽样单元制作一个全息图所需的抽样点数为制作一个全息图所需的抽样点数为 yxyyxxSWyxByBx 4 dddxdy称为空间带宽积称为空间带宽积，利用它可以方便地确定，利用它可以方便地确定制作计算全息图时所需要的抽

16、样点的总数。如图像的尺寸制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸是是40mm40mm 40mm,40mm,最高空间频率最高空间频率mmBmmByx/10,/10线线图像的空间带宽积图像的空间带宽积yxBByxSW 4 2800101040404 对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是2800 5.2 计算全息的编码方法计算全息的编码方法 “编码编码”在通信中的意义是指把输入信息变换为信道上传在通信中的意义是指把输入信息变换为信道上传送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复振幅，而

17、中间的传递介质是全息图，振幅，而中间的传递介质是全息图，其信息特征是全息图上的其信息特征是全息图上的透过率的变化透过率的变化，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二维透过率函数分布的过程，称为维透过率函数分布的过程，称为计算全息的编码计算全息的编码。 由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码问题归结为将问题归结为将二维离散二维离散复值函数变换为二维复值函数变换为二维离散实值非负函离散实值非负函数数问题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二问题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，

18、从二维离散实值函数恢复二维复值函数。维离散实值函数恢复二维复值函数。 将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类：类：第第一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数，例如用例如用振幅振幅和和相位相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进行编码。位进行编码。 第二种方法是第二种方法是仿照光学全息仿照光学全息的办法，如引入离轴参考光，的办法，如引入离轴参考光，通过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负通过和物光波的干涉产生干涉条纹的

19、强度分布，成为实值非负函数，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表函数，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表示。示。1 1、迂回相位编码方法、迂回相位编码方法（1 1）罗曼型）罗曼型 对光波的振幅进行编码比较容易，它可以通过控制全对光波的振幅进行编码比较容易，它可以通过控制全息图上抽样单元的透过率或开孔面积来实现。对于光波息图上抽样单元的透过率或开孔面积来实现。对于光波的相位编码则比较困难，虽然原则上可以使光波通过一的相位编码则比较困难，虽然原则上可以使光波通过一个具有二维分布的个具有二维分布的相位板相位板，但这在技术上十分困难。罗，但这在技术上十分困难。罗曼根据不规则光

20、栅的衍射效应，成功地提出了迂回相位曼根据不规则光栅的衍射效应，成功地提出了迂回相位编码的方法。编码的方法。ddk k 方向上相邻光线的光程差为方向上相邻光线的光程差为kdsin相位差为相位差为kdsin2k级衍射波级衍射波这时在这时在k 方向上方向上观察光栅的衍射光波，是一个平面波，观察光栅的衍射光波，是一个平面波，可以认为波面上各点光波振动的相位相可以认为波面上各点光波振动的相位相同同, ,设为设为0 问题：如果光栅的栅距有误差问题：如果光栅的栅距有误差, ,如在如在某一位置处栅距增大了某一位置处栅距增大了 这时在这时在k 方向观察的衍射波是否方向观察的衍射波是否还是平面波？还是平面波？相邻

21、光线的光程差为相邻光线的光程差为kd sin)( k 方向的衍射光波在该方向的衍射光波在该位置处引入的相应相位延迟位置处引入的相应相位延迟kkksindsin)d( 22 ksin 2 ddk k级衍射波级衍射波d d ksindk dk2 迂回相位迂回相位迂回相位的值与栅距的偏移量和迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次衍射级次成正比，而与入射光波的波长无关。成正比，而与入射光波的波长无关。设光栅透光位置用标号设光栅透光位置用标号i i标示，则标示，则iidk 20 ddk k级衍射波级衍射波d d迂回相位效应给予我们的提示：迂回相位效应给予我们的提示：通过通过的办法的办法可以在特定的衍射方向

22、得到我可以在特定的衍射方向得到我们所需要的相位调制。们所需要的相位调制。不考虑均匀相位延迟不考虑均匀相位延迟0 iidk 2 下面我们对一复值函数进行振幅下面我们对一复值函数进行振幅和相位编码和相位编码假定全息图共假定全息图共MM NN个抽样单元，待记录的复振幅的样点值为个抽样单元，待记录的复振幅的样点值为)exp(mnmnmnjAf 式中式中10 mnA是归一化振幅是归一化振幅，)( xm)( yn01031 2 3 1231 2 3 ),(nm第第单元单元y x xW yLmn 如图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个如图，首先在全息图每个抽样单元内放置一个矩形矩形通光孔，通通光孔，通过改

23、变光孔径的面积来编码复数波面的过改变光孔径的面积来编码复数波面的振幅振幅，其次改变通光孔，其次改变通光孔径径中心中心与抽样与抽样单元中心单元中心的位置来编码相位。设矩形的宽度的位置来编码相位。设矩形的宽度xW 不变，矩形孔径的高度是不变，矩形孔径的高度是yLmn xPmn 与归一化振幅成正比。与归一化振幅成正比。xPmn 是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比是孔径中心与抽样单元中心的距离，与抽样点的相位成正比因此，孔径参数与复值函数的关系如下因此，孔径参数与复值函数的关系如下mnmnAL mnmndk 2kPmnmn 2 根据上面方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可根据上面

24、方法确定了每个单元开孔尺寸和位置后，就可以用计算机控制以用计算机控制绘图仪绘图仪产生产生原图原图，再经过，再经过缩版缩版得得到计算全息到计算全息图图。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有。由于在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有0 0和和1 1两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，并可多次复制而不失真，因而应用较为广泛。制而不失真，因而应用较为广泛。绘制全息图绘制全息图 计算全息图的再现方法计算全息图的再现方法与光学全息相似，仅在某个特定的衍与光学全息相似，仅在某个特定的衍射级次上才能再现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变换

25、射级次上才能再现我们所期望的波前。下图是计算傅里叶变换全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的傅里叶变换傅里叶变换，而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量将，而直接透过分量具有平面波前，并且在另一侧的衍射分量将再现物谱的共轭光波。于是经过透镜再现物谱的共轭光波。于是经过透镜L L进行逆傅里叶变换后，输进行逆傅里叶变换后，输出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和高级次的像高级次的像。

26、xy 利用迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图利用迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图clc;clearA=zeros(128);A(45:50,50:70)=1;A(45:80,50:55)=1;A(75:80,50:70)=1;A(60:65,50:65)=1;b=A;imshow(b,notruesize)%0 1间的随机化矩阵间的随机化矩阵 a = rand (128, 128) ;aa = exp( i*2*pi*a) ;AA = double (b).*aa;Afft2 = fftshift(fft2(AA) ;% 将变换后的高频移至中心将变换后的高频移至中心A1 = abs(Afft

27、2); %物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值物函数图的傅立叶变换后的频谱的幅值B2= angle (Afft2) / (2*pi) ;% 得到归一化的频谱的相位得到归一化的频谱的相位A1max =max(A1(:) ; %得到了归一化的频谱幅值得到了归一化的频谱幅值A1 =A1 /A1max;%s=128;N=128; % 绘图尺寸设置绘图尺寸设置swidth=s/N;sheight=swidth; %设置抽样单元的宽度与高度设置抽样单元的宽度与高度rwidth=swidth/2; %对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放置的矩形孔径的尺寸对每一个抽样单元编码，设置抽样单元内放置的矩形孔径的尺

28、寸,rwidth=w*swidth,rheight=A1*sheight, 孔径中心与单元中心距离为孔径中心与单元中心距离为dextra=B2*swidth/k,k为衍射级数，为衍射级数，取为取为1 %从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标从左上角建立坐标系，设置抽样单元起始纵横坐标swidth/2;sheight/2;figure;set(gcf,color,w)axis(0 N 0 N);hold on;for j=1:N sy0=sheight/2+(j-1)*sheight;% 抽样单元纵坐标抽样单元纵坐标 for i=1:N sx0=swidth/2+(i-1)*swidth;

29、% 抽样单元横坐标抽样单元横坐标,是以抽样单元中心为该单是以抽样单元中心为该单 rheight=A1(j,i)*sheight; dextra=B2(j,i)*swidth; if abs(dextra)1/4*swidth rx0=sx0+dextra-rwidth/2;rx1=sx0+swidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0-swidth/2;rx11=sx0+dextra+rwidth/2-swidth; fill(rx00 rx00 rx11

30、 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); else rx0=sx0-swidth/2;rx1=sx0+dextra+rwidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0+dextra-rwidth/2+swidth;rx11=sx0+swidth/2; fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); end end end end axis equal axis off%saveas(gcf,e.bmp);x=

31、imread(e.bmp);figure,imshow(log(abs(fftshift(fft2(x),)（2 2）四阶）四阶迂回相位编码方法迂回相位编码方法 01jeF22 jeF jeF3234 jeF),(nm第第单元单元)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 如图将一个全息图的单元沿如图将一个全息图的单元沿x x方向分为四等分，各部分的相位方向分为四等分，各部分的相位分别是分别是0 0，2 23 这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出这样，一个样点的复振幅用四个子样点发出的分量波合成来表示。的分量波合成来表示。)exp(mnmnmnjAf 23432

32、201 jjjjeFeFeFeF 对于一个样点，对于一个样点，4321FFFF四个分量中只有两个分量为非零值四个分量中只有两个分量为非零值因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔因此，要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔大小或灰度等级来表示就行了。大小或灰度等级来表示就行了。0je2 je je23 je1F2F2 2、修正离轴参考光的编码方法、修正离轴参考光的编码方法 迂回相位编码方法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数分迂回相位编码方法是用抽样单元矩形孔的两个结构参数分别表示编码样点处的振幅和相位。如果别表示编码样点处的振幅和相位。如果模拟光学离轴全息模拟光学离轴

33、全息的方的方法，在计算机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠法，在计算机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠加，使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布，就加，使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布，就避免了相位编码问题。这时只要在全息图单元上用避免了相位编码问题。这时只要在全息图单元上用开孔面积开孔面积或或灰度灰度变化来编码这个实的非负函数，即可完成编码。变化来编码这个实的非负函数，即可完成编码。 设待记录的物光波复振幅为设待记录的物光波复振幅为f(x,y)f(x,y)，离轴的平面参考光波为，离轴的平面参考光波为 R(x,y)R(x,y)，即：，即：),(exp),

34、(),(yxjyxAyxf 2exp),(0 xjRyxR 2 2、修正离轴参考光的编码方法、修正离轴参考光的编码方法 在线性记录条件下在线性记录条件下, ,并忽略一些不重要的常数因子并忽略一些不重要的常数因子, ,光学离轴全光学离轴全息的透过率函数为息的透过率函数为2),(),(),(yxRyxfyxh ),(cos),(),(yxxyxARyxAR 220220 在透过率函数所包含的三项中，第三项通过对余弦型条纹在透过率函数所包含的三项中，第三项通过对余弦型条纹的的振幅和相位振幅和相位调制，记录了物光波的全部信息；第一、二项调制，记录了物光波的全部信息；第一、二项是这种光学全息方法不可避免

35、的伴生像。除了其中均匀偏置是这种光学全息方法不可避免的伴生像。除了其中均匀偏置分量使分量使h(x,y)h(x,y)为实的非负函数的目的外，它们只是为实的非负函数的目的外，它们只是占用信息占用信息通道通道。从物波信息传递的。从物波信息传递的角度来说角度来说，完全是多余的。，完全是多余的。 从光学全息形成的过程来看，第一、二项是不可避免地从光学全息形成的过程来看，第一、二项是不可避免地伴生的。但是计算机制作全息图的灵活性，使人们在做计算伴生的。但是计算机制作全息图的灵活性，使人们在做计算全息时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所全息时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即所谓的谓的

36、修正型离轴全息函数。修正型离轴全息函数。 ),(cos),(.),(yxxyxAyxh 2150式中式中A(x,y)A(x,y)是归一化振幅。是归一化振幅。下面我们从频域来理解光学离轴全息函数和修正型离轴全息函下面我们从频域来理解光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数的差别。数的差别。 yB2xB2xB4 yB4 xB3 a a、物波的空间频谱、物波的空间频谱b b、光学全息图的空间频谱、光学全息图的空间频谱 xB8 c c、光学全息图抽样后的频谱、光学全息图抽样后的频谱yB4 图图b b是光学离轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是是光学离轴全息图的空间频谱，中间的大矩形是),(2yxA的自相关频

37、率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求的自相关频率成分。为了避免这些分量在频率域中的重叠，要求载频载频xB3 如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根如果直接对光学全息图函数进行抽样制作计算全息图，则根据抽样定理，其抽样间隔必须为据抽样定理，其抽样间隔必须为xxB81 yyB41 其计算全息图的空间频谱如图其计算全息图的空间频谱如图C C, ,它是它是 光学离轴全息图光学离轴全息图 频谱的频谱的 周期性重复。周期性重复。 由于修正后的全息函数已经去掉了由于修正后的全息函数已经去掉了),(2yxA项，所以在频率项，所以在频率域中自相关项的频率成分已不存在，域中自相关项的频率成

38、分已不存在， 只有代表物波频率成分的只有代表物波频率成分的两个矩形和直流项的频率成分两个矩形和直流项的频率成分 函数。如图函数。如图d d所示。所示。 xB d d、修正型离轴全息函数空间频谱、修正型离轴全息函数空间频谱 xB xB yB2 xB4 e e、修正型离轴全息函数抽样后的频谱、修正型离轴全息函数抽样后的频谱 由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图时由上图可知，对修正离轴全息函数抽样制作计算全息图时，其抽样间隔是，其抽样间隔是: :xxB41 yyB21 于是总的抽样点数就降为原来的于是总的抽样点数就降为原来的1/41/4，这时计算全息图的频，这时计算全息图的频谱如图谱如图

39、e. e. 应该指出，应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间距，距，这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们构造的修正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取的修正离轴全息函数的频谱结构不同，因此载频也不同。选取载频的目的是保证全息函数在频域中载频的目的是保证全息函数在频域中各分量不混叠各分量不混叠。对全息函。对全息函数进行抽样是制作计算全息图的要求，抽样间隔必须保证全息数进行抽样是制作计算全息图的要求，抽样间隔必须保证全息函数的函数的整体频谱整体频谱（包括各个结构分量）（包括各

40、个结构分量）不混叠不混叠，两个概念是不，两个概念是不同的。同的。 但是由于加进了偏置分量，增加了记录的全息图的空间带但是由于加进了偏置分量，增加了记录的全息图的空间带宽积，因此增加了抽样点数。一般来说，物波函数的信息容量宽积，因此增加了抽样点数。一般来说，物波函数的信息容量越大，抽样点数就越多，对于任一种编码方法都不能违背抽样越大，抽样点数就越多，对于任一种编码方法都不能违背抽样定理的，正如前面所述，避免了对相位的编码，但又以增加抽定理的，正如前面所述，避免了对相位的编码，但又以增加抽样点数为代价。样点数为代价。 上述以常量为偏置项的全息图是博奇上述以常量为偏置项的全息图是博奇19661966

41、年提出的，称为年提出的，称为博奇全息图博奇全息图。由于计算机处理的灵活性，偏置项还可以采用其。由于计算机处理的灵活性，偏置项还可以采用其它形式。加进偏置项的目的是使全息函数变成它形式。加进偏置项的目的是使全息函数变成实值实值非负函数，非负函数，每个样点都是实的非负值，因此不存在相位编码问题，比同时每个样点都是实的非负值，因此不存在相位编码问题，比同时对振幅和相位编码的方法简便。对振幅和相位编码的方法简便。 由于每个样点都是实的非负值，因此在制作全息图时，只需由于每个样点都是实的非负值，因此在制作全息图时，只需要在每个单元中用要在每个单元中用开孔大小开孔大小或或灰度等级灰度等级来表示这个实的非负

42、值来表示这个实的非负值就行了。就行了。 设平面物体的大小为设平面物体的大小为yx ，在，在x,yx,y方向的抽样间距为方向的抽样间距为x y 抽样单元分别为抽样单元分别为J J个和个和K K个。个。这样离散的物光波函数可以写成这样离散的物光波函数可以写成),(ykxjffjk kj,为单元的序数为单元的序数)(xj)( yk01231 2 3 1231 2 3 )x( j)y(k01031 2 3 1231 2 3 取取 1 x 1 y xxxJ yyyK yxSWJK 在谱平面上的抽样情况与物面类似：在 方向的抽样间隔x1在 方向的抽样间隔 。频域的抽样单元数MN为：y1yxMN物面抽样单元

43、数和全息图平面上抽样单元数相等，即物平面和谱平面具有同样的空间带宽积。确定了总抽样点数后，物波函数和物谱函数的离散化表达式为：),(j exp),(A),(F)k,(jj exp)k, j (a)kj,(f（2）离散傅里叶变换）离散傅里叶变换 在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将),(F 计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶变换。变换。 dxdyyxjyxfF)(2exp),(),( )(xf jxxx)Bjx(Bcsin)Bj(f222在一维的情况下在一维的情况下 jjxcjf s

44、in)(空域插值空域插值代入上式得代入上式得 dxxjxfF)2exp)()( 12 j dxxjxfF)2exp)()( dxxjjxcjfFj )2exp()(sin)()( 利用利用 )(1)(sincrectccxc 和平移不变定理和平移不变定理dxxjjxc )2exp()(sin )2exp()(1 jjrectdxxjjxc )2exp()(sin 代入上式代入上式 )(F )2exp()()(1 jjrectjfj12 j )(F )2exp()()(1 jjrectjfj)2exp()(1122 jjjfJJj22 在谱平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为在谱平

45、面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为x 1 y 1 )(m )(n 01231 2 3 1231 2 3 对于一个抽样点来说对于一个抽样点来说 m )( F )( mF)xm(F )2exp()(1122 xjmjjfJJj)2exp()(1122JjmjjfJJj )yn,xm(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122对于二维情况对于二维情况 有有 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122不考虑前面的常系数，则不考虑前面的常系数，则 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(122122这就是离散傅

46、里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。这就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。 1965 1965年库列年库列图基图基(Cooley-Tukey)(Cooley-Tukey)提出矩阵分解提出矩阵分解 的新算的新算法，也就是法，也就是快速傅里叶快速傅里叶(FFT)(FFT)变换算法变换算法，大大缩短了计算时间，大大缩短了计算时间，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速傅里才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速傅里叶变换算法的程序可以在各种语言版本中找到，使用时直接调叶变换算法的程序可以在各种语言版本中找到，使用时直接调用相应的库函数就可以了。用相应的库函数就可以

47、了。)n,m(F通常是复数，可以记为通常是复数，可以记为)n,m(jI)n,m(R)n,m(F )n,m(jexp)n,m(A)n,m(F )n,m(I)n,m(R)n,m(A22 )n,m(R)n,m(Iarctg)n,m( 1、模式溢出校正 对相位编码，当 时，第m单元的矩孔将跨入邻近的（m+1)单元，因而与相邻单元孔发生重叠。这时候重叠部分本应叠加，但是由于二元模板不可能进行叠加，致使全息图再现时出现失真。解决的办法是将溢出的部分移至本单元的另一侧。 模式溢出校正的依据是光栅衍射理论。由于计算全息图可以看作是类光栅结构，各抽样单元中相应位置具有相同相位值，而的计算是取主值范围，即对模数2

48、 取的余数，所以把溢出移至本单元的另一侧，对相位编码不会产生影响。2)n,m()n,m(2、相位误差的校正 在迂回相位编码方法中，孔径处的相位使用单元中心处的相位来近似的，这相当于假设整个抽样单元内相位值的变化是相等的。如果在抽样单元内相位 的变化很缓慢，则这一假设近似成立。但实际上单元内的相位总是有变化，这样就会引入相位误差。校正的方法是用孔径位移处的实际相位来确定孔径的位置。即：矩形孔中心的偏移量要正比于矩孔中心处的实际相位值。孔径的位置函数为： ),(),(mod2m23、降低振幅的动态范围 在做离散傅里叶变换前对物函数的样点值乘以一个随机相位，用其来平滑傅里叶变换谱，使振幅的动态范围有

49、所减小。5.4 5.4 计算像面全息计算像面全息 计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录的计算像面全息与傅里叶变换全息不同之处仅在于被记录的复数波面是复数波面是物波函数物波函数本身，或者是物波的本身，或者是物波的像场分布像场分布，因此只，因此只要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对物要对物波函数进行抽样和编码。同样可以采用多种方法对物波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。波函数进行编码。下图是像面全息的再现示意图。xyxy ffff 5.5 5.5 计算全息干涉图计算全息干涉图 光学记录的全息图是一种两束光的干涉条纹光学记录的全息图是一种两束光的干涉条纹. .如如果

50、用人工的方法把干涉果用人工的方法把干涉( (指亮纹和暗纹指亮纹和暗纹) )的位置计算出的位置计算出来来, ,再用绘图机绘制再用绘图机绘制, ,经过精缩以后就是一幅全息图经过精缩以后就是一幅全息图. .这种黑白条纹这种黑白条纹, ,通过精缩成为透明与不透明相间的条通过精缩成为透明与不透明相间的条纹胶片纹胶片, ,就称为计算就称为计算二元全息图二元全息图. .实际上这种二元全息实际上这种二元全息图与图与过曝光过曝光非线性记录的光学全息图是非常相似的非线性记录的光学全息图是非常相似的. .5.5 5.5 计算全息干涉图计算全息干涉图 计算过程可模拟为一个非线性限幅器运算来完成，其工作原计算过程可模拟

51、为一个非线性限幅器运算来完成，其工作原理的框图如下图所示。理的框图如下图所示。Tx 2cos输入函数输入函数 q cos偏置函数偏置函数x)(xhqTTT2T T2 输入输入输出输出10)(xh q cosTx 2cos输入输入输出输出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xhqTTT2T T2 输出的是二元函数，位置由输入函数决定，宽度为输出的是二元函数，位置由输入函数决定，宽度为qTqT。它。它可以展开成傅里叶级数可以展开成傅里叶级数 Txjmmqmxhm 2exp)sin()(Txjxh2expqsin)(, 1m输入输入输出输出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xh

52、qTTT2T T2 如果限幅器的输入为如果限幅器的输入为 ),(cosyxTx 2偏置函数偏置函数 ),(cosyxq 其中其中 /),(arcsin),(yxAyxq ),(yxA),(yx 分别是物光波的振幅和相位函数分别是物光波的振幅和相位函数其输入输出波形如下图所示其输入输出波形如下图所示. .这时输出脉冲宽度受到这时输出脉冲宽度受到q(x,y),q(x,y),即即A(x,y)A(x,y)的调制的调制, ,输出脉冲的位置受到输出脉冲的位置受到),(yx 的调制的调制. .输入输入输出输出10)(xh ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq 输出的二元函数的一般形式是输出的二元函数

53、的一般形式是 ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq Tyxq),( ),(2exp),(sin),(yxTxjmmyxqmyxhm 当用单位振幅的平面波垂直照射全息图时，透过光波就是上式当用单位振幅的平面波垂直照射全息图时，透过光波就是上式二元全息函数。我们只对二元全息函数。我们只对m =1m =1或或m = -1m = -1感兴趣，取感兴趣，取m = -1,m = -1,于于是有是有 ),(2exp),(sin),(yxTxjyxqyxh TxjyxjyxA 2exp),(exp),(如果限幅器的输入为如果限幅器的输入为 ),(cosyxTx 2则透射光波则透射光波+1+1级级衍射项

54、将再现原来的物光波。衍射项将再现原来的物光波。上式表明，透射光波的上式表明，透射光波的-1 -1级衍射项完全再现了物光波级衍射项完全再现了物光波 ),(exp),(yxjyxA 其中线性相位项其中线性相位项 Txj 2exp作为载波给出了再现物光波作为载波给出了再现物光波的传播方向的传播方向二元全息干涉图的制作二元全息干涉图的制作 二元全息函数的取值为二元全息函数的取值为0 0或或1 1。为了利用计算机控制绘图仪。为了利用计算机控制绘图仪制作全息干涉图，只需要确定二元全息函数制作全息干涉图，只需要确定二元全息函数h(x,y)h(x,y)由由0 01 1或由或由1 10 0的的边界点边界点的坐标

55、位置。这样，满足方程的坐标位置。这样，满足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 的点就构成了二元全息干涉图的划线边界，也即是的点就构成了二元全息干涉图的划线边界，也即是),(),(yxqnyxTx 22 210 ,n其中其中“- -”表示表示h(x,y)h(x,y)由由0-10-1的前沿点的前沿点, ,”+ +”表示由表示由1-01-0的后沿点的后沿点1 ),(yxh的条纹，其坐标应满足方程的条纹，其坐标应满足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 222),(),(),(yxqnyxTxyxq 上面两个方程确定了计算全息干涉图上条纹的位置和形上面两个方程确定了计算全息干

56、涉图上条纹的位置和形状。求解基本方程并确定划线边界后，就可以用计算机状。求解基本方程并确定划线边界后，就可以用计算机控制绘图设备画出干涉图。控制绘图设备画出干涉图。当要再现的物波函数只有相位变化，即当要再现的物波函数只有相位变化，即A(x,y)A(x,y)等于常数等于常数时，基本方程可以简化为如下形式时，基本方程可以简化为如下形式, ,设设q=0q=0nyxTx 22 ),(此时，可以用此时，可以用细线条绘制全息图细线条绘制全息图，所以计算全息干涉特别，所以计算全息干涉特别适合于再现适合于再现纯相位纯相位的物波。的物波。载波频率的选择载波频率的选择T1是载波的空间频率，其选择与光学记录的全息图

57、相同，要避免在空间是载波的空间频率，其选择与光学记录的全息图相同，要避免在空间域第域第一级衍射波一级衍射波和二级以上的衍射波相互重叠，载波频率和二级以上的衍射波相互重叠，载波频率xBT31 xB是物光波局部空间最高频率是物光波局部空间最高频率实际中，取实际中，取xBT41 xBxB2T1T2 例：说明绘制一个球面波的二元全息干涉图的制作方法例：说明绘制一个球面波的二元全息干涉图的制作方法nyxTxm 2),(2 （1 1）由方程）由方程求局部空间频率求局部空间频率nyxTxm 2),(21 n xxyxyx ),(),( xyxTmxx),(2111 yyxmyy ),(211 )(2),(2

58、2yxfkyx fxTxyxTx 1),(211fyyyxy ),(21由上式可知，其最大局部空间频率位于波面边沿，设球面波由上式可知，其最大局部空间频率位于波面边沿，设球面波直径为直径为D D，则，则xBxB2T1T2 1m2m1mfDBx 2xBT41 取取fDT 21 因此二元干涉条纹的平均周期和条纹数为因此二元干涉条纹的平均周期和条纹数为DfT2 fDTDN 22 设设nmmmDmmf8 .632201000 mmDfT016. 02 条纹总数条纹总数N=1264N=1264将将T T和和)(2),(22yxfkyx 代入方程代入方程nyxTx 22 ),(可得每一条纹的空间位置。并控

59、制绘图仪画出计算全息干涉可得每一条纹的空间位置。并控制绘图仪画出计算全息干涉图。由于干涉条纹很密，通常是先按一定的比例放大绘图，图。由于干涉条纹很密，通常是先按一定的比例放大绘图，然后再用光学缩版方法得到可用的全息图。然后再用光学缩版方法得到可用的全息图。说明：球面波在光学中可以用透镜很方便地产生，而另一些说明：球面波在光学中可以用透镜很方便地产生，而另一些复杂的波面，如复杂的波面，如螺旋形螺旋形波面、波面、非球面非球面等，用光学技术是难以等，用光学技术是难以得到的。由于计算机仿真干涉图的灵活性很大，得到的。由于计算机仿真干涉图的灵活性很大，使得计算全使得计算全息干涉图很适合产生用单纯光学方法

60、难以实现的特殊息干涉图很适合产生用单纯光学方法难以实现的特殊相位型相位型变化的波面。变化的波面。 微光学微光学(Micro Optics)(Micro Optics)这一术语是这一术语是19691969年在一家日本杂志年在一家日本杂志上出现的。上出现的。19811981年日本微光学研究组织及刊物也应运而生，年日本微光学研究组织及刊物也应运而生，微光学的名称自此成立。微光学当时主要指微光学的名称自此成立。微光学当时主要指梯度折射率光纤梯度折射率光纤和和微小物镜微小物镜，但目前微光学的含义就远不止这些了。，但目前微光学的含义就远不止这些了。微光学微光学是研究微米、纳米级尺寸的光学元器件的设计、制作