第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

1、自由振动初始条件的响应自由振动初始条件的响应 系统自由振动的微分方程是系统自由振动的微分方程是n个二阶的常微个二阶的常微分方程组，其矩阵形式为分方程组，其矩阵形式为 ttMqkq0(5.4-1)式中式中q(t)为广义坐标为广义坐标qi(t)(i=1,2,n)的向量。的向量。 如果给定如果给定2n个初始条件个初始条件(即初始位移向量即初始位移向量q(0)=q0和初始速度向量和初始速度向量 ) ，就完全确，就完全确定了方程的一组特解，定了方程的一组特解，这组特解就是系统对初始这组特解就是系统对初始条件的响应。条件的响应。 00 qq 数学上称这类问题为微分方程组的初值问题。数学上称这类问题为微分方

2、程组的初值问题。求解初始条件响应的方法求解初始条件响应的方法 一般来说，式一般来说，式(5.4-1)是耦合是耦合( (弹性耦合或惯性耦弹性耦合或惯性耦合合) )方程，这样在给定方程，这样在给定2n个初始条件下，要求解联立方个初始条件下，要求解联立方程组。程组。 显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度系统一样，每个方程可以独立求解。系统一样，每个方程可以独立求解。 前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的属性，而

3、是由坐标系的选择所决定的。属性，而是由坐标系的选择所决定的。 借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程，以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程，这就是这就是振型叠加法振型叠加法的长处。的长处。 求解公式的推导求解公式的推导 解方程解方程(5.4-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵的特征值问题，求得系统的振型矩阵u，取，取u为坐标变换矩阵，可以将方程为坐标变换矩阵，可以将方程(5.4-1)解耦。令解耦。令称称 (t)为固有坐标向量。为固有坐标向量。 式式Mr为模态质量矩阵，为模态质量矩阵，Kr

4、为模态刚度矩阵，它们都是对为模态刚度矩阵，它们都是对角矩阵。角矩阵。 ttqu(5.4-2) 将式将式(5.4-2)代入方程代入方程(5.5-1)后，得后，得 ttMuku0 ttrrM K 0(5.4-3)由正交性得解耦的方程为由正交性得解耦的方程为用用uT左乘方程两边，得左乘方程两边，得 TTttu Muu ku0求解公式的推导求解公式的推导 若取正则振型矩阵若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有为坐标变换矩阵，有称称 (t)为正则坐标向量。为正则坐标向量。 同样将式同样将式(5.4-4)代入方程代入方程(5.4-1)后，并用正则振型后，并用正则振型矩阵的转置矩阵的转置uT左乘方程两边，由正

5、交性条件得解耦方程左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为为式中式中uTMu=I为单位矩阵，为单位矩阵，uTKu= 为对角元素是各阶固为对角元素是各阶固有频率平方的对角矩阵。有频率平方的对角矩阵。 ttqu(5.4-4) tt0(5.4-5) 正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和由由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。 求解公式的推导求解公式的推导由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程(5.4-3)和和(5.4-5)在形式上与单自由度系统是一样的，所在形式上

6、与单自由度系统是一样的，所以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解，以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解，即即 把方程把方程(5.4-5)写成分量的形式为写成分量的形式为 02ttrrr ), 2 , 1(nr(5.4-6) tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr(5.4-7)式中式中r0和和 (r=1,2,n)为正则坐标的初始位移和初始速为正则坐标的初始位移和初始速度，它由给定的原坐标的初始条件度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和和 来来确定。确定。 0 0qq0r求解公式的推导求解公式的推导为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程为了避免求逆矩

7、阵的繁琐运算，可以在方程(5.4-4)两边两边同时左乘同时左乘uTM，有，有由式由式(5.4-4)得得 1ttu q(5.4-8) TTttu Mqu Mu Tttu Mq(5.4-9)这里必须注意的是这里必须注意的是u为正则振型矩阵。这样正则坐标向为正则振型矩阵。这样正则坐标向量的初始条件为量的初始条件为TT,0000u Mqu Mq(5.4-10) ttqu求解公式的推导求解公式的推导所以正则坐标的初始位移所以正则坐标的初始位移r0和和 初始速度可以表示为初始速度可以表示为r0由式由式(5.5-4)求出原坐标求出原坐标q(t)的普遍表达式为的普遍表达式为 TT ,(1,2, )rrr0r0

8、rn00uMquMq(5.4-11) 11TT1cossin1cossinnnrrr0rr0rrrrrnrrrrrrrttttttt00quuuuuMquMq(5.4-12)上式表达了系统对初始位移向量上式表达了系统对初始位移向量q0和初始速度向量和初始速度向量 的响应，是由的响应，是由n个简谐运动叠加而成。个简谐运动叠加而成。0q 振型叠加法总结振型叠加法总结振型叠加法：振型叠加法： 采用振型矩阵作为坐标变换矩阵；采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； 将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微为固有坐标或正则坐标表示的相互独立

9、的运动微分方程；分方程； 广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表示的各阶固有振型的线形组合；示的各阶固有振型的线形组合； 振型叠加法的理论基础为展开定理。振型叠加法的理论基础为展开定理。例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.5-1) 例例5.4-1 考虑图考虑图5.4-1所示的两自由度系统。所示的两自由度系统。若给定初始条件若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， ， ，求系统的响应。求系统的响应。 010vq 002q 解：解：系统的运动系统的运动微分方程为微分方程为0023212222212111qkkqkqmqkqkkqm MqK

10、q0写成矩阵形式为写成矩阵形式为式中式中 12212232002,0022kkkmmkkkkkmmkkMK图 5.4-1例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1)2KuMu特征值问题为特征值问题为03622222242222kkmmmkkkmk特征方程为特征方程为123110.796226233111.53818823kkmmkkmm求得固有频率为求得固有频率为例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1) 02202221212rrrrrrumkkukuumk为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问题，有为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问

11、题，有为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式 12121.0000001.000000,1.3660250.366025uu 121.0000001.000000,1.3660250.366025uu解得固有振型为解得固有振型为式中式中1和和2为待定常数。为待定常数。 例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1)第一阶主振型第一阶主振型第二阶主振型第二阶主振型例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1)

12、事实上，根据正则化方法，有事实上，根据正则化方法，有 T11T21211.00000001.0000001.366025021.3660254.7320491mmm uMu T22T22221.00000001.0000000.366025020.3660251.2679491mmm uMu120.4597010.888074 ,mm得到常数得到常数例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1) 120.4597010.88807411 ,0.6279630.325057mmuu由此得正则化振型为由此得正则化振型为组成系统的振型矩阵组成系统的振型矩阵u，有，有 122 2

13、2 2 uuu取取u为坐标变换矩阵，即为坐标变换矩阵，即 ttqu代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 201,2,rrrttrn t t0例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1) 00cossin(1,2, )rrrrrrtttrn其解为其解为正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为 TT,(1,2, )rrr0r0rn00uMquMq TT11cossinnrrrrrrrtttt0

14、0quuuMquMq 由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为根据初始条件根据初始条件q1(0)=q2(0)=0， ， ，所以响，所以响应为应为 010vq 002q 2T11sinrrrrrtt0quuMq 例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.4-1)其中其中 T11T0010.4597010110.6279630200.7962260.577350mvmk mmmvk 0uMq T22T0010.8880740110.3250570201.5381880.577350mvmk mmmvk 0uMq 例题：求解初始条件的响应例题

15、：求解初始条件的响应（例（例5.4-1)于是，得其响应为于是，得其响应为 00000.45970110.577350sin0.7962260.6276930.88807410.577350sin1.5381880.3250570.265408sin0.7962260.3625550.512730sin1.538180.187672mvkttmmkmvktmmkmkvtkmmvkq8ktm瑞利商法的提出意义瑞利商法的提出意义 设设r和和u(r)(r=1,2,n)为特征值问题的全部解，即满为特征值问题的全部解，即满足足 在有些情况下，并不需要知道特征值问题的全部在有些情况下，并不需要知道特征值问题

16、的全部解，而只要估算系统的固有频率，特别是解，而只要估算系统的固有频率，特别是求出基频就足求出基频就足够了，这种估算可以用瑞利商法来实现。够了，这种估算可以用瑞利商法来实现。用用u(r)T左乘方程左乘方程(5.5-1)的两边，并用标量的两边，并用标量u(r)TM u(r)去除，去除，得到得到 2,(1,2, )rrrrrrnMuKu(5.5-1) T2TrrrrrruKuuMunr, 2 , 1(5.5-2)瑞利商法的原理瑞利商法的原理若用任选的向量（或者说假设的振型向量）若用任选的向量（或者说假设的振型向量）w代入式代入式（5.5-2）中的固有振型向量中的固有振型向量u(r) ，得到，得到式

17、中式中R（w）是一个标量，称为是一个标量，称为瑞利商瑞利商，它的值不仅决定，它的值不仅决定于矩阵于矩阵M和和K，而且也决定于向量，而且也决定于向量w。瑞利商具有非常重。瑞利商具有非常重要的性质，值得很好地探讨。要的性质，值得很好地探讨。 很清楚，如果这个任意的向量很清楚，如果这个任意的向量w与系统的某个特征向量相与系统的某个特征向量相一致，那么瑞利商就化为相应的特征值。一致，那么瑞利商就化为相应的特征值。(5.5-3) T2TRw Kwww Mw瑞利商法的原理瑞利商法的原理 因此，因此，瑞利商永远不会低于第一特征值，瑞利商永远不会低于第一特征值，而第一特而第一特征值也就是瑞利商所能取的极小值。

18、根据这一点，可以征值也就是瑞利商所能取的极小值。根据这一点，可以说：瑞利商的一个实际应用就是估算系统的基本频率。说：瑞利商的一个实际应用就是估算系统的基本频率。在一般情况下，在一般情况下，i1（ ），可见可见ni, 2 1wR（5.5-4） 例题：瑞利商法估算系统的固有频率例题：瑞利商法估算系统的固有频率（例（例5.5-1） 例例5.5-1 如图如图5.5-1所示的三自由度扭振系统中，假所示的三自由度扭振系统中，假设各盘的转动惯量分别为设各盘的转动惯量分别为I1=I2=I，I3=2I，而各轴段的扭而各轴段的扭转刚度分别为转刚度分别为k1=k2=k，k3=2k，轴本身的质量略去不计。，轴本身的质量略去不计。用瑞利商方法估算系统的基频。用瑞利商方法估算系统的基频。 解：解：系统的质量系统的质量矩阵和刚度矩阵分别矩阵和刚度矩阵分别为为 100210010 ,132002022IkMK图 5.5-1例题：瑞利商法估算系统的固有频率例题：瑞利商法估算系统的固有频率（例（例5.5-1）如果取静变形模式作为假设振型，即取如果取静变形模式作为假设振型，即取 T355.5w方程方程(5.5-5)中的矩阵三重积的值为中的矩阵三重积的值为 T2103355.5132513.50225.5kkw Kw