第三章LTI连续系统的频域分析

1、第三章第三章 LTILTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析 数学上，任意一函数都可表示为一个数学上，任意一函数都可表示为一个完备正交函数完备正交函数集集中无限多个相互正交的函数的无穷级数。中无限多个相互正交的函数的无穷级数。傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数是正交函数集，只要符合一定的条件，任是正交函数集，只要符合一定的条件，任意信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正意信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即弦分量即频率函数频率函数。 系统系统微分方程微分方程(算子方程算子方程)传输算子传输算子Hp特征根特征根零输入响应或冲激响应零输入响应或冲激响应利用利用 f(

2、t)*h(t) 求解求解任意激励下的零状态响应任意激励下的零状态响应,最后零输入响应与零状态最后零输入响应与零状态响应叠加响应叠加,得到全响应。得到全响应。时域分析法时域分析法:频域分析法频域分析法:信号分析信号分析 : 时域分析时域分析频域分析频域分析31 信号的正交分解与傅里叶级数信号的正交分解与傅里叶级数（一）正交向（一）正交向量量一个平面中任意向量一个平面中任意向量 A=C1A1+C2A2一个三维空间中的向量一个三维空间中的向量 A=C1A1+C2A2+C3A3 n维空间中的任一向量维空间中的任一向量 A=C1A1+C2A2+C3A3+CnAn（二）信号的正交分解与正交函数（二）信号的

3、正交分解与正交函数集集1. 正交函数定义式正交函数定义式任意两个实函数任意两个实函数 f1(t) 和和 f2(t)，满足关系式满足关系式则称则称 f1(t) 和和 f2(t) 在时间区间在时间区间(t1,t2)正交正交。0d)()(2121ttftftt 若若f1(t), f2(t), fn(t)定义在区间定义在区间(t1,t2) 上上，并且并且在在(t1,t2)内有内有则则f1(t),f2(t),fn(t)在时间区间在时间区间(t1,t2)内称为内称为正交函正交函数集数集，其中，其中i, r =1,2,n；ki为一正数为一正数。ririkttftfirtti0d)()(212. 信号的正交展

4、开信号的正交展开 如果在正交函数集如果在正交函数集f1(t),f2(t),fn(t)之外，找不之外，找不到另外一个非零函数与该函数集到另外一个非零函数与该函数集 f fi i( (t t) )中每一个函中每一个函数都正交，则称该函数集为数都正交，则称该函数集为完备正交函数集完备正交函数集。 设设f1(t),f2(t),fn(t)在在(t1,t2)区间区间内是某一类信号的内是某一类信号的完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为都可以精确地表示为f1(t),f2(t),fn(t)的的线性组合线性组合: f(t) = C1f1

5、(t)+C2f2(t)+Cnfn(t) 在正交展开式的条件下，有在正交展开式的条件下，有tfCttfitttiittdd)(2)(22121 此式可以理解为此式可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。也称为即能量守恒。也称为帕塞瓦尔帕塞瓦尔定理定理。 对于完备正交函数集，有两个重要定理对于完备正交函数集，有两个重要定理:定理定理1 1称为称为正交展开式正交展开式或广义傅里叶级数或广义傅里叶级数定理定理2 2（三）常见的完备正交函数集（三）常见的完备正交函数集1. 三角函数集三角函数集正交三角函数集正交三角函数集在区间在区间(t0,t0+T)是

6、完备的正交函数集是完备的正交函数集。 ,2sin,sin,2cos,cos, 1tttt 2. 指数函数集指数函数集指数函数集指数函数集 在区间在区间(t0,t0+T)为一完备的正交复变函数集。为一完备的正交复变函数集。,2, 1,0,ejntn注意注意： 一个函数集是否正交与它一个函数集是否正交与它所在区间有关，所在区间有关，在某在某一区间可能正交，而在另一区间有可能不正交一区间可能正交，而在另一区间有可能不正交。在判断在判断函数集正交时，是指函数集中所有函数应函数集正交时，是指函数集中所有函数应两两正交两两正交。（四）（四） 周期周期信号信号的傅里叶级数展开的傅里叶级数展开 一一三角形式三

7、角形式的傅里叶级数：的傅里叶级数： 设任意周期信号设任意周期信号f(t) = f(t+kT) ,（k为整数为整数），），满足下列满足下列条件（荻里赫利条件条件（荻里赫利条件）：（1）在一个周期内，函数是绝对可积的在一个周期内，函数是绝对可积的ttfTttd)(00（2）在一个周期内，函数的极值数目有限在一个周期内，函数的极值数目有限;(3)(3) 在一个周期内，函数是连续的或者有限个第一在一个周期内，函数是连续的或者有限个第一 类类间断点（左右极限存在）间断点（左右极限存在）。进行分解可得进行分解可得: : 110 sincos2)(nnnntnbtnaatf)(2原周期信号的角频率/T Tt

8、tttfTa00 0d)(12 dcos)(2 00 TttttntfTan TttttntfTbn00 dsin)(2 同频率同频率的两项合并的两项合并: :傅傅里里叶叶系系数数 由定理由定理3-1推出！推出！ 10)cos()( nnntnAAtf 22 nnnbaA nnnab arctg 其中其中：200 aA 直流分量直流分量(零次谐波零次谐波)，即即f(t)在一个周期内的在一个周期内的平均值平均值；)cos(11 tA 基波分量基波分量(一次谐波一次谐波)，其角频率与其角频率与f(t)的相同的相同 )2cos(22 tA 二次谐波分量二次谐波分量，其角频率为基波，其角频率为基波频率

9、的两倍频率的两倍 )cos( nntnA n次谐波分量次谐波分量，其角频率为基波，其角频率为基波频率的频率的n倍倍 将将周期信号周期信号f(t)在在虚指数函数集虚指数函数集ejn t，n = 0, 1, 2， 3， 上展开就得到上展开就得到指数形式指数形式的的傅里叶级数。傅里叶级数。信号分信号分析时往往用此形式析时往往用此形式。 ntnnFtf j e)(T/ 2 其中其中傅里叶傅里叶系数系数 ： TtnntttfTF00 j d(t)e1 “级数正级数正，系数负系数负” 与三角形式傅里叶级数的关系与三角形式傅里叶级数的关系 二二指数形式指数形式的傅里叶级数的傅里叶级数 三角形式傅里叶级数通过

10、三角形式傅里叶级数通过欧拉公式欧拉公式展开展开：)ee (j21sin , )ee (21cos jjjjtntntntntntn 注意注意此系此系数为数为复数复数 1jjjj010)ee(2j)ee(22)sincos(2)( ntntnntntnnnnnbaatnbtnaatf000 2AaF 与指数形式对照与指数形式对照 ntnnFtf j e)(e)j(21e)j(212j1j0tnnnntnnnbabaa 三、周期信号的三、周期信号的对称性对称性与傅里叶系数的关系与傅里叶系数的关系 1偶偶函数函数: : f(t) = f(-t) , 2 , 1 , 0 ,dcos)(4, 02 00

11、 nttntfTabTnntt2奇奇函数函数: : f(-t) = -f(t) , 2 , 1 ,dsin)(4, 0 , 02 000 nttntfTbaaTnntt3奇谐奇谐( (波波) )( (半波对称半波对称) )函数函数: : )2()(Ttftf 和偶数为为奇数00dcos)(42 00 nnttntfTaTntt为偶数为奇数nnttntfTbTntt 0 dsin)(42 00 2TT23T)(tft04偶谐偶谐( (波波) )( (半周期半周期) )函数函数 )2()(Ttftf 0 dcos)(42 00 为奇数为偶数nnttntfTaTntt为奇数为偶数nnttntfTbT

12、ntt 0 dsin)(4 2 00 例例1.1. 求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数。 1020001d1d )(22d)(2tttfttfTaT 去掉该直流分量后为奇去掉该直流分量后为奇+ +奇谐函数奇谐函数f1(t)，故只含故只含奇奇次次谐波的谐波的sinn t分量分量：f(t)t0123- -11f1(t)t0123- -10.5, 3 , 1 2cos1 1d)(sin d2sin.50 24dsin)(4010102/01 nnnnttntTtnttntfTbaTnnntnnnnntfnnbaFaF)2 ( j2j00e1)(e11j)j(21

13、 5 .02ttttnntfn5sin513sin31sin25 . 0 sin25 . 0)(1 奇数例例2. . 求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数。 f(t)t0T2T3T- -T1解法解法1 1d2d)(2000tTtTttfTaTT0cossin2cos2cos)(2022020 TTTnntnntntTtdtnTtTtdtntfTa nntnntntTtdtnTtTtdtntfTbTTTn1sincos2sin2sin)(2022020 11sin15 . 0sin)1(21)(nnntntnntf 解法解法2 2( (自学自学) ):可利用傅里叶可利

14、用傅里叶性质性质3 3求解求解 j j0d)(e j)(e 1de)(1) j (2 2 j j2 2 j2 TnTnttntTttTFnTTtntnTTtnn/10 j0 sin115 .0e2 j1 15 .0)(0 2 j1 j1 5 .0nnntnntnnntfnnTnFFt0T2T3T- -T1/ /T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)( tff(t)t0T2T3T- -T1t0T2T3T- -T)( tf3 32 2 周期信号的频谱周期信号的频谱如果要确定某一谐波分量如果要确定某一谐波分量 )cos( nntnA tnnF j e或或只需确定与该频率对应的谐波只需确定与该频率

15、对应的谐波幅值幅值和和相位相位。),.2 , 1(单边频谱nnnAnn),.2, 1, 0(双边频谱nnnFnn频频谱谱幅度谱幅度谱：以频率以频率(角频率角频率)为横坐标为横坐标,以各谐波的振幅以各谐波的振幅An或或|Fn|为纵坐标画出的线图为纵坐标画出的线图(离散离散)为幅度频谱。简为幅度频谱。简称幅度谱。称幅度谱。 相位谱相位谱：以频率以频率(角频率角频率)为横坐标，以各谐波的初相为横坐标，以各谐波的初相角为纵坐标画出的线图角为纵坐标画出的线图(离散离散)为相位频谱。简称为相位频谱。简称相位相位谱。谱。一、周期矩形脉冲的频谱一、周期矩形脉冲的频谱 dede )(12 2j2 2j / tT

16、AttfTFtnTTtnnt0A2 2 T T)(tf , 2 , 1 , 0 ,2Sa22sinje22j nnTAnnTAnTAtn/ ntnnTAtf je2Sa)( nnnF4Sa41 =T/ /4，A A =1=1时时： |Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.0452 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 包络线相位谱相位谱 n0 2 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 - 由双边频谱由双边频谱单边频谱单边频谱|An|00.250.450.150.1060.3180.09 2 3 4 5 6 n0 2 3 4 5 6 周期矩形脉冲频谱

17、的周期矩形脉冲频谱的特点特点： (1) 各谱线高度与脉冲高度各谱线高度与脉冲高度A及宽度及宽度 成成正比正比，与周期与周期T成成反比反比，且受抽样函数包络线牵制，且受抽样函数包络线牵制；(2) 周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的零分量频率零分量频率为为n /2=m ,即即 = n =2m / / ，m= 1, 2,(3) 信号能量主要集中在信号能量主要集中在第第一个一个零分量频率零分量频率之内之内矩矩形信号的形信号的有效频谱宽度有效频谱宽度B= =2 / / ， Bf = =1/ / (4) 若若 而而T不变不变谱线间隔谱线间隔 =2 / /T不变不变，但谱线高但谱线高度度B= 2m / / |m=

18、1= 2 / / ，占有频带内所含谱线个数占有频带内所含谱线个数T/ / 增多增多，即即谱线分量谱线分量增多增多。( (图图3-6)3-6) (5) 若若T而而 不变不变谱线间隔谱线间隔 =2 / /T( (谱线变密谱线变密) )且谱且谱线高度线高度B= 2m / / |m=1= 2 / / 不变，占有频带内所含不变，占有频带内所含谱线个数谱线个数T/ / 增多增多，即即谱线分量谱线分量增多增多，若若T ，则间则间隔隔0，连续频谱连续频谱。( (图图3-7)3-7) 二、任意周期信号频谱的特点二、任意周期信号频谱的特点 （1 1）离散性离散性 频谱是谱线，称为离散频谱或线谱频谱是谱线，称为离散

19、频谱或线谱； （2 2）谐波性谐波性 各分量频率都是基波频率的整数倍，各分量频率都是基波频率的整数倍，谱线间隔均匀；谱线间隔均匀； （3 3）收敛性收敛性 谱线幅度随谱线幅度随 n 而衰减到零而衰减到零。 三、周期信号的功率谱三、周期信号的功率谱 nnTTntnnTTFtFTttfTP22 22j2 22de1d)(1 /功率功率( (频频) )谱谱 |Fn|2 n 的关系，也是一离散谱。的关系，也是一离散谱。 周期信号在时域的平均功率周期信号在时域的平均功率等于等于频域中的直流功率频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。分量和各次谐波平均功率分量之和。 3 33 3 非周期信号的频谱

20、非周期信号的频谱一、傅里叶级数到傅里叶变换一、傅里叶级数到傅里叶变换 周期信号周期信号 ntnnTFtf j e)(其中其中 2 2jde )(1 /TTtnTnttfTF非周期信号非周期信号 )(lim)(tftfTT 2d21 d2 nTT此时此时： j j j2 2jdede)(21ede)(1lim)( ttntnTTtnTTttfttfTtf/则有则有： jde )j (21 tFF( j ) 傅里叶正变换傅里叶正变换 jde )()j (ttfFt傅里叶反变换傅里叶反变换 jde)j (21)( tFtf对应关系记为对应关系记为 f(t)F( j) 二、非周期信号的频谱二、非周期信

21、号的频谱(密度密度)函数函数 ntnnTFtf j e)(F( j) =F f(t)f (t) =F-1 F(j)tntnTTTnTttfTtfjj2/2/ede)(1)(tntnTTTnttfjj2/2/ede)(2tnnFje )j(2tntnTttfTtfjje de)(2)( F( j)为一个密度的概念，其量纲为单位频率的振为一个密度的概念，其量纲为单位频率的振幅，因而称其为幅，因而称其为频谱频谱( (密度密度) )函数函数简称为简称为频谱函数。频谱函数。 ntnnTFtf j e)(FFFFnTnT2lim)j ()j (2lim)(je)j()j(FF 频谱函数频谱函数F( j)一

22、般是复函数，记为一般是复函数，记为：1频谱密度函数的物理意义频谱密度函数的物理意义 求非周期信号的求非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换与求其与求其频谱频谱( (密度密度) )函数函数是是等同等同的的 。2、频谱密度函数的数学特点：、频谱密度函数的数学特点： jdsin)(jdcos)( de )()j (tttftttfttfFt jde )j (21)( tFtf2） 非周期信号可以由无数个指数函数之和来表示，每个非周期信号可以由无数个指数函数之和来表示，每个指数函数分量的大小为指数函数分量的大小为F( j) 。 jde )()j (ttfFt1）)( j)()()j ()j (XRFF )(

23、)(arctg)( , )()()j (22RXXRF )(sin)j ()( )(cos)j ()(FXFR )(je)j ()j (FF )( j jde )j (21de )j (21)( ttFFtf d)( sin)j (21j d)( cos)j (21 tFtF d)( cos)j (1 tF非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换表示式表示式也可写成三角函数形式也可写成三角函数形式 非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量。非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量。与周期信号相比较，只不过其基波频率趋于无穷小量，从与周期信号相比较，只不过其基波频率趋于无穷小量，从而

24、包含了所有的频率分量；而各个正弦分量的振幅而包含了所有的频率分量；而各个正弦分量的振幅|F( j )| d / 趋于无穷小，从而只能用密度函数趋于无穷小，从而只能用密度函数F( j)来表述各分量的相对大小。来表述各分量的相对大小。 三、典型信号的傅里叶变换三、典型信号的傅里叶变换 时域信号通过傅里叶时域信号通过傅里叶正变换正变换其频谱函数其频谱函数 ; ;有了频谱函数可通过傅里叶有了频谱函数可通过傅里叶反变换反变换对应的时对应的时间函数间函数。荻里赫利条件是变换的前提荻里赫利条件是变换的前提, ,不满足完不满足完全可积条件的时间函数引入冲激函数也可有相应全可积条件的时间函数引入冲激函数也可有相

25、应的变换的变换。1 1、单位冲激信号单位冲激信号 )()(ttf 1ede )()j (00 0 j ttFt f(t)t0(1)01|F( j)| 单位冲激信号单位冲激信号(t)的频谱是常数的频谱是常数1，(t)中包含了所中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。2 2、单边指数信号、单边指数信号 0 ),(e)( ttftf(t)0t1arctg1 j1) j(edeede)()j (220) j( 0 j j tttttttfF|F( j)|01/幅度频谱函数幅度频谱函数()0/2-/2相位频谱函数相位频谱函数3 3、偶双边指数信号

26、、偶双边指数信号 f(t)0t1e-tet02 j1 j1deedee)j (22 0 j0 j ttFtttt) 0(00ee)(tttftt|F( j)|02/4 4、奇双边指数信号、奇双边指数信号 f(t)0t1e-t-et-122 0 j0 j2j j1 j1deedee)j ( ttFtttt|F( j)|01/- ()0/2-/2)0(00ee)(tttftt)(2)j (F0)(f(t)0t1|F ( j)|0(2)f(t)0t1e-tet 直流信号直流信号1为偶双边指数信号取为偶双边指数信号取 0的极限，可用偶的极限，可用偶双边指数信号的频谱取双边指数信号的频谱取 0的极限来求

27、得傅里叶变换的极限来求得傅里叶变换。2d2220002lim)j (220F)(1)(ttf5、单位直流信号、单位直流信号6 6、单位阶跃信号、单位阶跃信号 )()(ttf f(t)0t1|F( j)|0()()0-/2)(j1)j (F90)(1arctg)(j1)()(Sgn2121)(tt7 7、符号函数信号符号函数信号 )sgn()(ttf f(t)0t1-1符号函数符号函数不满足不满足绝对可积条件，它可看作绝对可积条件，它可看作奇双边指数信号奇双边指数信号在在 0的极限值。可以用的极限值。可以用求求f(t)的频谱函数的频谱函数F( j)取取 0极限的方法极限的方法来求来求Sgn(t)

28、的频谱函数的频谱函数。|F( j)|0()0/2-/2f(t)0t1e-t-et-1000j22jlim)j (220F|F( j)|0 2 4 6 2 4 6 8 8、门信号门信号( (矩形脉冲信号矩形脉冲信号) ) 2 | 02 | 1)()(/tttGtf)2(Sa22sinde)j ( 2 2 j /tFt0)2(Sa 0)2(Sa 0)( ; 22sin)j (/FG(t)t102 2 0() 2 4 2 4 -记住一些基本信号的变换记住一些基本信号的变换( (P73表表3-1) ) 复杂的信号化为这复杂的信号化为这些信号的些信号的组合组合与与延时延时，利用傅里叶变换的，利用傅里叶变

29、换的性质性质便可求便可求 。34 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 一、一、线性线性 设设f1(t)F1(j )，f2(t)F2(j )；a1、a2为实数为实数，则则：a1 f1(t) + + a2 f2(t)a1F1(j) + a2 F2(j) 例例1. 求下列信号的频谱函数求下列信号的频谱函数。j1j1)(j1)(21)j (2F)()(21)(2tttf j2)(Sgnj1)()(tt)(Sgn21)()2()()() 1 (21ttfttf)(Sgn)()(1tttf解解：j1)(j2j1)()j (1F二、二、对称性对称性 设：设：f(t)F(j )则：则：F(jt)2 f(- -

30、) 证明证明 ： de )j (21)( j tFtf jde )j (21)( tFtf jde )j (21)( ttFftt换为换为 ， 换为换为t jde )j ()(2 ttFft正变换正变换例例：)(2)( 11)(tt例例2. 2. 求求SaSa( (t t) )的傅氏变换。的傅氏变换。则有则有：)(2)2(Sa Gt再令再令 2 )()(Sa 2Gt)2(Sa 解解：已知已知 G (t)(2)(Sa 22Gt则有则有)()(22GG)()(Sa 2Gt 说明说明: （1）时间函数时间函数F( jt)与原信号与原信号f(t)的频谱函数的频谱函数F( j)有相同的形式，频谱函数有相

31、同的形式，频谱函数2 f(-)（除系数外）与原信号除系数外）与原信号f(t)有有相同的形式相同的形式。 偶函数偶函数（2） F(jt)2 f(- ) 是一对新的傅里叶变换式、傅是一对新的傅里叶变换式、傅里叶变换对之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱里叶变换对之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2 。0.5G2 2(t)t0.50110Sa()1 10t tSa(t t)1 1 G2 2() 011 三、三、尺度变换尺度变换 设设：f(t)F(j )0( )j (|1)(的实数则：aaFaatf

32、信号持续信号持续时间时间与与占有频带占有频带成成反比反比 ，即时域内扩展频，即时域内扩展频域内压缩，即时域内压缩频域内扩展。域内压缩，即时域内压缩频域内扩展。f(- -t) F(- -j ) 推论推论( (折叠性折叠性) ) 四、四、时移性时移性 设设：f(t)F(j )时域内时域内时移时移，频域内为，频域内为相移相移。)(0ttf )j (e0jFt 则则： 时域中信号沿时间轴右移时域中信号沿时间轴右移(即延时即延时)t0，其在频域中所有频其在频域中所有频率率“分量分量”相应落后相位相应落后相位 t0,而幅度保持不变而幅度保持不变。 旋转因子，意味着相位的改变旋转因子，意味着相位的改变。0j

33、et例例3. 利用利用对称性对称性和和时移性时移性,求下列傅里叶变换的时间函求下列傅里叶变换的时间函数数f(t)。)(Sa2)(0020tG)(2)j ()()()(00ftFtf)()()()j (0200tGtttF)()()j () 2()()j () 1 (000FF)(2)j()()(0ftFtf)()j (0ttF0j0e1)(t0je)(2f0je21)(fttf0je21)(解解（1）（2）)(Sa)(Sa)(0000tttf)(Sa2)(200f)(Sa)(00fttf0je)( )( j0F调调制制定定理理 )ee)(21cos)(00jj0tttfttf)( j)( j2

34、100FF)( j)( j j2100FF)ee)(j21sin)(00jj0tttfttf五、五、频移性频移性: 时域内时域内相移相移，频域内为反向频域内为反向频移频移。设设：f(t)F(j ) 则则六、六、时域卷积时域卷积： f1(t)* * f2(t) F1(j )F2(j ) j 2121 ded)()()()(ttfftftft- F证明证明 j21 dde )()( ttfft-)j()j(de)()j(de)j()( 1 2 j1 2 j 21 -FFfFFf 时域卷积的重要应用时域卷积的重要应用 求零状态响应的求零状态响应的频域法频域法 时域时域yf(t) = f(t)* *

35、h(t) 频域频域Yf(j ) = F(j )H(j )时域卷积，频域乘积。时域卷积，频域乘积。设设：f1(t)F1(j ) ，f2(t)F2(j )，则则成立成立条件条件: 两个相卷积的函数不能都是非脉冲函数两个相卷积的函数不能都是非脉冲函数例例4. 求求f(t)的频谱函数的频谱函数F( j)。)2()2()(22 tGtGtf2j2e )(Sa2)2(tG)(Sa2)(2tG2j2e )(Sa2)2(tG)(Sa2cos4e)(Sa2e)(Sa2)j (2j2jF2ee2cos2j2j2j2je)2(e)2(tt)2(*)()2(*)()2()2()(2222 ttGttGtGtGtf 解

36、法解法1： 应用线性和应用线性和时移性时移性解法解法2： 应用线性和应用线性和时域卷积时域卷积)2(Sa G (t)(Sa2cos4e)(Sa2e)(Sa2)j (2j2jF七、七、频域卷积频域卷积 八、八、时域微分性时域微分性 设设：f(t)F(j )，则则：)j (jd)(dFttf推论推论： )j ()j (d)(dFttfnnn例如例如： j)(1)(tt设设：f1(t)F1(j ) ，f2(t)F2(j )，则则)j ()j (21)()(2121FFtftfttfd )(条件条件：九、九、时域积分性时域积分性 j)j ()()0( d )(-FFft 设设：f(t)F(j )，则则

37、：时域微分性时域微分性设：设：f(t)F(j )，则：，则：)(jjd)(dFttfttfd)(条件：条件：十、频域微分性十、频域微分性： 十一、频域积分性十一、频域积分性 )jj)(F ttf)(j(j)(Ftft(n)nn设设：f(t)F(j )，则则：ttftfj)()()0( d)j( F设设：f(t)F(j )，则则：十二、帕塞瓦尔定理十二、帕塞瓦尔定理： 02 2 2 d)j(1d)j(21d)(FFttfW 时域中求得的能量与频域中求得的能量相等时域中求得的能量与频域中求得的能量相等 若若 f(t)为实函数为实函数 ，则，则设设：f(t)F(j )，j1)()(t4jej1)()

38、4(t)2()(4 tGtf2je)2(Sa4)j(F)e1(j1)()j (4jF)e1 (j1)e1)(4 j4 j)e1(j14j2j2j2j2je)2(Sa4e)ee(j1)4()()( tttf 例例7. 求求f(t)的频谱函数的频谱函数F( j) ,解法解法1解法解法21 1复指数信号复指数信号 )( 2e1)( 0 -j0ttf)( 2e1)( 0 j0 ttf )( 21 |F( j)|0(2)o2余弦、正弦信号余弦、正弦信号 )e(e21cos)( j j0100 ttttf )()(00 F1( j)0()o()-o)()( j)ej(e21sin)(00 j j0200

39、ttttfImF2( j)0(-)o()-o3 35 5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换 ttft ,e)(0j3 3单位冲激序列信号单位冲激序列信号 nTnTtttf)()()( f(t)t0(1)(1)(1)(1)(1)T2T-T-2TF( j)0()- ()()()()2 -2 nnnnTF)()( 2)j( ntnTTt je1)( 结论结论：周期信号的傅里叶：周期信号的傅里叶级数是级数是离散的离散的( (谱线谱线) )，其，其傅里叶傅里叶变换变换是是离散的离散的( (冲激序列冲激序列) )tnnnFtfje)(2 22

40、/2/j j1de)(1de)(1 /TTTTtntnTnTttTttTF二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换nnnFF)(2)j ( 22 jde )(1TTtnnttfTFee)(jjtnnntnnnFFFFtfF方法方法1：tnnnFtfje)( 周期信号的傅里叶变换（频谱函数）是由无穷多个冲周期信号的傅里叶变换（频谱函数）是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处。激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处。方法方法2：0)(0tf12TT23T02T T 23T )(tfT1 周期信号周期信号fT(t)，fT(t)中位于第一个周期的信号若为中

41、位于第一个周期的信号若为f0(t)，则则nTTntfFtFtfFtfF)()()()()(00 nTTnTttfttftf)()()()()(00 第一个周期的信号第一个周期的信号f0(t)在时间范围内为一非周期信号，在时间范围内为一非周期信号，易求得其傅里叶变换，应用傅里叶变换的卷积性质，得易求得其傅里叶变换，应用傅里叶变换的卷积性质，得3 36 6 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 一、限带信号和抽样信号一、限带信号和抽样信号 1限带信号限带信号：频谱宽度有限的信号频谱宽度有限的信号 |F( j )|=0, ,（| | m） m为为信号信号f( (t t) )的的最高频率最高频率 F(

42、 j)0m-m 例如：脉冲信号可以近似为频率为例如：脉冲信号可以近似为频率为2 2 / / 的限带信号：的限带信号：G(t）t102 20)2(Sa 2二二抽样信号抽样信号fs(t)的频谱的频谱 f(t)fS(t)s(t)连续信号连续信号抽样序列抽样序列( (冲激串，矩形窄脉冲串等冲激串，矩形窄脉冲串等) )抽样信号抽样信号若序列等间隔，为若序列等间隔，为TS ，则为则为均匀抽样均匀抽样抽样周期抽样周期 设抽样周期为设抽样周期为TS ( (抽样角频率为抽样角频率为S) ) )()()(tstftfs 2 2. .抽样信号抽样信号: :1 1、均匀冲激抽样、均匀冲激抽样( (理想抽样理想抽样)

43、)：nSSnSSnFTnF)( j 1)()j ( 21)()()()()(ttftstftfSTS抽样序列抽样序列s(t)是周期冲激函数序列，即是周期冲激函数序列，即设设：f(t)F(j )，根据频域卷积定理，抽样信号根据频域卷积定理，抽样信号fs(t)的频的频谱函数为谱函数为)j ()j (21)j (SFFsf(t)t0s(t)t0(1)TS2TS-TS-2TSS ( j)0S-S(S)(S)(S) =*=fS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TSfS(2TS)FS( j)0S-SmS -m 当当 S 2 m时时，FS(j )是是F(j j )的的周期延拓，周期延拓，从抽样信号从抽

44、样信号fS(t)可以可以恢复恢复原信号原信号f(t)。 当当 S m）, m为为信号信号f( (t t) )的最高角频率的最高角频率 )()()(j00 S)(j)(j002121)j(FFY)j ()j (21)j (SFYf(t)t20cos0tt10f(t) cos0tt20-20m- -mF( j)F( 0)Fcos( 0t)0( )o( )- -oY( j)0o- -o)(210 jF)(210 jF)0(21F2m2m二、二、同步解调同步解调 从已调的高频信号从已调的高频信号y(t)中恢复原调制信号中恢复原调制信号f(t)的过程称的过程称为解调为解调。 高频信号高频信号cos0t称

45、本机振荡（或本地振荡），它与原调称本机振荡（或本地振荡），它与原调幅的载波信号必须严格同频率同相位，保持严格同步，即幅的载波信号必须严格同频率同相位，保持严格同步，即同步解调。同步解调。y(t)s(t)=cos0ty(t)s(t)H(j)f(t)H( j)C- -Ccc01)j (Hm0cm21Y( j)0o- -o)( j 210F)( j 210F)0(21F2m2mG( j)0)0(41F)0(21F- -m2o2m- -2om2mc- -c)0(41F理想低通滤波器理想低通滤波器y(t)s(t)=cos0tg(t)=y(t)s(t)H(j)低通低通f(t)2cos)()(21cos)(

46、)()(002ttftfttftsty )2( j 41)2( j 41)j (21)j (00FFG38 频分复用与时分复用频分复用与时分复用 信道信道-信号从一点传输到另一点要借助于媒介，信号从一点传输到另一点要借助于媒介，该媒介称为信道。该媒介称为信道。现代通信现代通信复用复用同一信道而传送多路信号。同一信道而传送多路信号。一、一、频分频分复复用用 在通信系统中，信道所提供的在通信系统中，信道所提供的带宽带宽往往比传送一路信往往比传送一路信号所需的带宽宽得多，这样就可以将信道的带宽分割成号所需的带宽宽得多，这样就可以将信道的带宽分割成不同的不同的频段频段，每一频段传送一路信号，这就是频分

47、复用，每一频段传送一路信号，这就是频分复用。 复用复用-指将若干个彼此独立的信号合并成可在同指将若干个彼此独立的信号合并成可在同一信道上传输的复合信号的方法。一信道上传输的复合信号的方法。0m- -mF1( j)0m- -mF2( j)0m- -mFn( j)信信道道f2(t)cosbtf1(t)cosatfn(t)cosntf2(t)cosbtcosbtf2(t)带带通通2 2低低通通2 2f1(t)cosatcosatf1(t)带带通通1 1低低通通1 1fn(t)cosntcosntfn(t)带带通通3 3低低通通3 30a- -aFg(t)b- -bn- -n二、二、时分复用时分复用

48、时分多路复用的基础是抽样定理。多路的连续时时分多路复用的基础是抽样定理。多路的连续时间信号抽样后，得到了离散的抽样值，把各路信号的间信号抽样后，得到了离散的抽样值，把各路信号的抽样值有序地排列起来，就可以实现时分复用。抽样值有序地排列起来，就可以实现时分复用。 时分复用是将所有的信号分配在不同的时间区域。时分复用是将所有的信号分配在不同的时间区域。f2(t)f1(t)f3(t)t合路合路转转换开关换开关调制调制器器低通低通1 1f1(t)f2(t)f3(t)f1(t)f2(t)f3(t)解调解调器器信道信道同步同步分路分路转转换开关换开关低通低通2 2低通低通3 3tf1f3f20tf1f3f

49、20f1f2频分复用和时分复用在频分复用和时分复用在时间时间与与频率频率通信空间的通信空间的关系图关系图 频分复用频分复用是表示每路信号在所有时间里都存在于信道是表示每路信号在所有时间里都存在于信道中，混在一起，但是每路信号独自占据有限的不同频率区中，混在一起，但是每路信号独自占据有限的不同频率区间。间。时分复用时分复用是表示每路信号占据不同的时间区间，但所是表示每路信号占据不同的时间区间，但所有信号的频谱可以具有同一频率区间的分量。有信号的频谱可以具有同一频率区间的分量。3 39 9 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 jde )()j (ttfFtH( p)f(t)yf(t)H( j)F

50、( j)Yf ( j)()()(ftfthty)j ()j ()j (fFHY时域卷积性质时域卷积性质时域时域： 频域频域： jde )j (21)( tFtf 任意信号可以由无数个虚指数信号之和来表示，每个任意信号可以由无数个虚指数信号之和来表示，每个指数信号分量的大小为指数信号分量的大小为F( j) d /2 。欲求信号欲求信号f(t)激激励下的零状态响应，可先分析励下的零状态响应，可先分析基本信号基本信号e jt激励下的激励下的零状零状态响应态响应。一、基本信号一、基本信号e jt 激励下的零状态响应激励下的零状态响应 设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，则在虚指数信号则

51、在虚指数信号e jt (- - t ) 激励下的零状态响应为激励下的零状态响应为： )j (ede)(ede)()(e)(j jj )(j j fHhhthtytttt)( )j ()j (e)(j ftHHtyt结论：结论： e jt (- - t ) 激励下的零状态响应只含激励下的零状态响应只含稳稳态响应分量态响应分量，且等于，且等于e jt乘以乘以h(t)的傅里叶变换的傅里叶变换H( j) - (称为称为频域系统函数频域系统函数) 二、正弦周期信号二、正弦周期信号A Acos(cos( t+t+ ) ) (- (- t ) )激励下的激励下的零状态响应零状态响应ee2)cos()()(

52、j)( j ttAtAtf)(cos)j (ee2)j ()j(e)j (e2)( )( j)( j )( j)( j ftHAAHHHAtytttt 结论结论： Acos( t t+ ) (- t )激励下的零状态响应激励下的零状态响应只含只含同频率同频率的的正弦稳态响应分量正弦稳态响应分量，且振幅为，且振幅为A|H(j )|，初初相位为相位为 +( )。 频域频域求正弦稳态响应求正弦稳态响应的的方法方法: :先先求出求出H( j )，由由结论结论直接写出正弦稳态响应。直接写出正弦稳态响应。 三、三、非非正弦周期信号激励下的正弦周期信号激励下的零状态零状态响应响应 nnTTtnnntnnFt

53、tfTFFtf de )(1 , e)(2 2j j /其其中中ntnnnHFty j f e ) j ()( 1 0)( cos) j( 2)0(nnnntnnHFHF nnntnnnHF)( j e) j( 结论结论：非正弦周期信号激励下的零状态响应只含周期性非正弦周期信号激励下的零状态响应只含周期性的稳态响应的稳态响应( (直流稳态响应与各次谐波正弦稳态响应之和直流稳态响应与各次谐波正弦稳态响应之和) )分量分量 。 e)( j ntnnFtfntnnnHFty j f e) j()(周期信号频谱函数为周期信号频谱函数为 nnnFF)(2)j ( 周期响应信号的频谱函数为周期响应信号的频

54、谱函数为nnnnHFY)()j(2)j( f 结论：结论： 响应频谱的强度被响应频谱的强度被H(jn )加权加权输入的频谱输入的频谱输出信号的频谱输出信号的频谱例例1： ( P105 例例3-17 ) (1) 求系统函数求系统函数H(j );1 + +u(t)- -i(t t)1H H(a)u(t)t / /2 20- 2 2 - - /2/2(b)(2)求其响应求其响应i(t); (3)确定頻谱函数确定頻谱函数I(j ),画出其频谱图画出其频谱图。解解（1）求系统函数）求系统函数H(j )()1()(tiptu11)()()(ptutipHrad/s1222Tj11)()j (jppHH（2

55、）傅里叶级数展开求：）傅里叶级数展开求：FntnnnFtuje)(de2de221de )(1j2/32/j2/2/2/2/jttttfTFtntnTTtnnjeje41232j22jnntntnjeje41232j22jnntntn2sin1eej212j2jnnnnn2)(2sin1nnnnFntnnnntuje2sin1)(.5cos523cos32cos2)(ttttu三角函数形式三角函数形式（推荐！推荐！）指数形式（计算较复杂！）指数形式（计算较复杂！）2arctgcos112sin1221nnntnnnn 1 0)()( cos) j( 2)0()(nnnntnnHFHFti )a

56、rctgcos(2sin11212nntnnnn)5arctg5cos(1551) 3arctg3cos(1331) 1arctgcos(21 222ttt )7 .785cos(08. 0)6 .713cos(21. 0)45cos(414. 1ttt求求：响应响应i(t)法二：用三角函数分解形式求解法二：用三角函数分解形式求解法一：用虚指数函数分解形式求解法一：用虚指数函数分解形式求解（3） nnnnHFI)()j(2)j( )(j112sin12nnnnn, 4, 2, 0, 3, 10)(2sin) 1j (2nnnnnn|I(j ) )|( (1.41 ) )-3 3210-1(C)

57、 (0.21 ) )频谱图频谱图四、四、非非周期信号周期信号f(t) (- t )激励下的激励下的零状态零状态响应响应 从时域与频域的相互关系已知从时域与频域的相互关系已知 )j ()j ()j ( )()()(ffFHYtfthty用频域法求用频域法求LTI系统零状态响应的一般步骤为：系统零状态响应的一般步骤为： i ) 由由f(t)求求F( j)； ii) 由系统频率为由系统频率为的频域模型的频域模型( (或下面要介绍的其他或下面要介绍的其他方法方法) )求系统函数求系统函数H( j)；iii) 求：求： )j ()j ()j (fFHYiv) 求求： )j ()j ()( 1 fHFty

58、FC+ +u uC C( (t t) )-+ +u us s( (t t) )-R例例2. 图示电路，激励电压图示电路，激励电压 ，试用试用频域分析法频域分析法求零状求零状态响应态响应uc(t)。)()(sttuRCCRCUUHCj11j1j1)j (Sj1)()j ()j (CUFj1)(j11)j ()j ()j ()j (RCFHYUCRCRCRCj1j1)()j1 (j1)()()e1 ()(e)()(j)(1tttUFtuRCtRCtCC解：解：五、频域系统函数五、频域系统函数H( j) 1定义定义 H( j)的的物理意义物理意义 1) 冲激响应冲激响应h(t)的频谱密度函数的频谱密

59、度函数2H( j )的的求法（求法（4种）种）教材教材P1082) 2) 周期激励时零状态响应频谱的加权函数周期激励时零状态响应频谱的加权函数nnnnHFY)()j (2)j ( f )( )j ()()j ()j ()j (fHthFYHF 例例231)(2 pppH已已知知：则则：)()(2)(3)(tftytyty 方程两边取付氏变换方程两边取付氏变换：)j ()j (2)j (j3)j ()j (2FYYY3 j212j3)j (1)j ()(j)j (22FYH实际上是将实际上是将 “L jL , C 1/ jC ”的的 “相量法相量法”例例. 系统如图所示，已知激励信号的频谱，试求

60、系统如图所示，已知激励信号的频谱，试求输出信号输出信号y(t)的频谱的频谱。H1(j)H2(j)(tf)5cos(0t )3cos(0t )(ty)j (F02 02 1003 03 )j (2H10 05 03 05 03 )j (1H10 解解：)5()5()j (21)5cos()()()j (00011FttfFtfFF)(1tf)5( j )5( j 2100FF)(1ty)(2tf)(1 jF03 03 21007 07 05 03 05 03 )(1 jH10 )j ()j ()j (111HFY)(1 jY03 03 21005 05 )3()3()j (21)3cos()()