平面单元等效结点荷载计算ppt课件

1、xy123u1v1u2v2u3v3(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3) 112233123456veuvuavuvuxyxy节点的位移向量：六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以取这样的位移函数。该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移方式很简单。其中1-6为广义坐标或待定系数，可据节点1、2、3的位移值和坐标值求出。112131145 161212232245262312333345363112314212325312336612uxyvxyuxyvxyuxyvxyaaaubbbuAcccu 将节点位移带入：最终确定 个待定系数：123112321233

2、12aaavbbbvAcccv112233123321231321111222233331111222233331211 1,2,31()()()21()()()2xyAxyxyax yx ybyycxxuab xc y uab xc y uab xc y uAvab xc y vab xc y vab xc y vA其中：轮换为为2A第第1行各行各个元素的代个元素的代数余子式数余子式1231.(,),1,2,32.13.ijjijiN xyi jNNNN插值函数的性质：的阶数与假设的 位移函数阶数相同4. 数值在01之间 1111222233331112321232331231()211()

3、()22000000eiNab xc yANab xc yNab xc yAAuvNNNuuuNaNNNvvuvNININININ 若令：其中为二阶单位矩阵： 插值函数（形状函数）插值函数矩阵或形函数矩阵xy1 (a,0)2 (0,a)3 (0,0)例题：图示等腰三角形单元，求其插值函数矩阵N。1233212313200ax yx ybyyacxx23 11 323121300ax yx ybyycxxa231221312321ax yx yabyyacxxa21111222222233332211()(00)211()(00)211()()1200100001aAxNab xc yaxAaa

4、yNab xc yayAaaxyNab xc yaaxayAaaaxyxyaaaaNxyxyaaaa 三角形的面积：延续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体接受的恣意分布的载延续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体接受的恣意分布的载荷都向节点转移，而成为节点等效载荷或节点等效能。假设弹性荷都向节点转移，而成为节点等效载荷或节点等效能。假设弹性体接受的载荷全都是集中力，那么将一切集中力的作用点取为节点，体接受的载荷全都是集中力，那么将一切集中力的作用点取为节点，就不存在转移的问题，集中力就是节点等效载荷。但实践问题往往受就不存在转移的问题，集中力就是节点等效载荷。但实践问题往往受有分布的面力和膂

5、力，都不能够只作用在节点上。因此，必需进展载有分布的面力和膂力，都不能够只作用在节点上。因此，必需进展载荷转移。假设集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转荷转移。假设集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转移。移。将载荷转移到节点上，必需遵照静力等效的原那么。静力等效是指将载荷转移到节点上，必需遵照静力等效的原那么。静力等效是指原载荷与节点载荷在恣意虚位移上做的虚功相等。前面推导时运用的原载荷与节点载荷在恣意虚位移上做的虚功相等。前面推导时运用的能量泛函能量泛函p对对ae进展变分之后产生的进展变分之后产生的ae实践上就是虚位移，以上实践上就是虚位移，以上公式可以适用于恣意复杂

6、的荷载情况。公式可以适用于恣意复杂的荷载情况。假设单元为线性单元如，本章的三节点三角形单元，那么可以假设单元为线性单元如，本章的三节点三角形单元，那么可以采用直接的静力等效法和虚功等效法。采用直接的静力等效法和虚功等效法。图示构造的网格共有四个单元和六个节点。在节点1、4、6共有四个支杆支承。构造的载荷曾经转换为节点载荷。 整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修正整体刚度矩阵；3、解方程组，求节点位移；4、根据节点位移求出应力。2P3yP3x31456P2xP1yaaaa133221112233 1,11,21,111,12112,12,22,112,122211,111

7、,211,1111,12111112,112,212,1112,121212KaPkkkkaPkkkkaPkkkkaPkkkkaP即： 1、建立整体刚度矩阵 上图中的构造有六个节点，共有12个节点位移分量(自在度)和12个节点力分量，它们之间的关系为：11111122661111661212xyxyPuaPPvaPPuaPPvaP总体刚度方程中的自在度与节点位移之间的对应关系 2、根据支承条件修正整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量对待，没有思索详细的支承情况，因此进展整体分析时还要针对支承条件加以处置。 在上图的构造中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四个支杆处

8、相应位移知为零：u1=u4=v4=v6=0 建立节点平衡方程时，应根据上述边境条件进展处置。 3、解方程组，求出节点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。 4、根据节点位移求出应力。1、总刚构成的物理背景： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单刚Ke中，Kije表示第j个位移(自在度)给一单位位移，其它位移为零时，单元在第i位移方向上引起的节点力；类似，在整体刚阵中，Ki,j表示第j个自在度给一单位位移，其它自在度为零时，整体构造在第i个自在度上引起的节点力即一切与第i、j个自在度相关的单元在第i个自在度上引起的节点力之和。 如上图构造，计算K3,5时第3和5个自在度分别

9、对应第2和3号节点的u,即x向位移，与节点2和3相关的单元有单元和，当节点3发生x向单位位移时，相关单元和同时在节点2的x向引起节点力，将这两个力相加，就得出 K3,5 = K511 + K153 。由此看出，总刚的刚度系数是相关单刚的刚度系数的集成。2、刚度矩阵的集成规那么：1在整体离散构造变形后，应保证各单元在节点处依然协调地相互衔接，即在该节点处一切单元在该节点上有一样位移。2整体离散构造各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的一切单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri。12i 3412i Ri341、对称性。由、对称性。由Kij的物理意义和互易定理可以很容易得到此的物

10、理意义和互易定理可以很容易得到此结论。结论。 利用对称性可以只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半利用对称性可以只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。的存贮容量。2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。231456节点1只与周围的两个节点(2、3)用三角形单元相连，它们是1的相关节点。在矩阵K中，第1行的非零元素只需6个(对应于相关节点的x,y向自在度)。问题的规模越大，矩阵中的非零元素所占的比例就越小3、带形分布规律。、带形分布规律。 右图中，矩阵右图中，矩阵K的非零元素分的非零元素分布在以对角线为中心的带形

11、区域内，布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内包括对角线元素在内)，每行具有，每行具有的元素个数叫做半带宽，用的元素个数叫做半带宽，用d表示。表示。半带宽的普通计算公式是：半带宽的普通计算公式是： 半带宽半带宽 d = (相邻结点码的最大相邻结点码的最大差值差值 + 1) * 2 左图中相邻节点码的最大差值为左图中相邻节点码的最大差值为4，故，故d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。假设每行都取不同的半带带存贮

12、。假设每行都取不同的半带宽那么称作轮廓线存储。宽那么称作轮廓线存储。1110987654321098765432 图图(a)(a)中的矩阵中的矩阵KK为为n n行行n n列矩阵，半带宽为列矩阵，半带宽为d d。半带存贮。半带存贮时从时从KK中取出上半带元素，按图中取出上半带元素，按图(b)(b)中的矩阵中的矩阵KK的陈列方式的陈列方式进展存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量进展存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n n* *d d，存贮量与，存贮量与KK中元素总数之比为中元素总数之比为d/nd/n，d d值越小，那么存贮量约省。值越小，那么存贮量约省。矩阵矩阵K K 矩阵矩阵KK* * 对角线

13、对角线 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜线度斜线r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素dn(a)Knnd(b) K* 同一网格中，假设采用不同的节点编码，那么相应的半带宽d也能够不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，该当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。1610987432518765439210141098763254 4、Kii0Kii05 5、带入边条件之前，总刚各行列元素之和等于、带入边条件之前，总刚各行列元素之和等

14、于0 06 6、带入边条件之前，总刚奇特、带入边条件之前，总刚奇特 无约束构造的整体刚度矩阵是奇特的，即整体平衡方程的解不独一。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。 由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷构成后进展也有在此之前进展的，如直接删除法，即此时K、R中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱K、R的储存顺序。 引入约束的方法常有：1直接带入法2对角元素置1法3大数法4直接删除法降阶法5罚单元法1直接带入法降阶法 bbaaaaabbbabbbaaaaabbabbaabbbaPaPKKaKKPKaPKaaPKaKa为已知位移组成的列向

15、量，为对应的支座反力求得之后可按下式求得支座反力：改动了原方程的顺序，只适用于一些简单的问题2对角元素置1法 处置ai=b方式的边条件。111111100100niinnnnnnikkaRk babkkaRk b11111111iniiiiniinninnnnkkkaPkkkaPkkkaP 图示构造，对边境支承条件处置后，整体刚度矩阵修正图示构造，对边境支承条件处置后，整体刚度矩阵修正为：为：2P3yP3x31456P2xP1yaaaa133221112233100000000000*00*0*00*0*00*0*00*0*00*010000010000*0*0*01对称3大数法适宜于计算机处

16、置111111111iniiiiniiinninnnnkkkaPkkkak bkkkaP1 11 111111()iiiiinniiiiiiiiiinniiiiiik ak ak ak bk akakak ak ak babi第 行展开之后：两边同除以 ：近似满足的条件4直接删除法 只能处置ai=0的情况。在单刚集成总刚时，对应与自在度ai的元素不进入 总刚，即在建立节点自在度与方程号之间的对照表时，把对应自在度的ID设成0。 这种方法降低了总刚的阶数。5罚单元法：适于处置自在度耦合的约束 11212mTiiiTTmmTTAuauSuuuuAaaaSAAuS AAAS A耦合约束方程：为某一实

17、数采用大数法，同时保证对称性：为大数把看成单刚，看成单元荷载列向量以同样的方法集成到总刚中记 L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/AP点对应的面积坐标(L1, L2, L3)面积坐标相互不完全独立：L1+L2+L3=1显然 Li(xi,yi)=ij (i,j=1,2,3)123pA2A3A1xyA三角形的高次单元假设依然直角坐标系来定义插值函数Ni，其公式将变得很复杂，假设采用面积坐标那么很简单12211133123321231321111()221xyAxyab xc yxyax yx ybyycxx其中1,2,3下标轮转L1、L2、L3实践上就是推导三节点三角形平面单元时的N1、N

18、2、N3面积坐标与直角坐标之间的变换关系：11111222212323331233331212312312312111111121()2LLabcLabcxxxxxLAabcyyyyyLLLLLbbbxxLxLxLALLLLLyyLy 和导数关系：3123231231()2LcccLyLALLL121121212310121212! !()(1( , )(2)!abcApbcb cLLD x yxxJIL L L dxdyb cxpx dxpbJJLLdxdyJ dLdLAdLLD L LyyLdLc 为推导公式：以 和作为独立变量，推导过程中需利用公式：求可先求,110011011()()1

19、1()1pcpbcbpbcd pxxpxxdxbbdxcxpxdxb分部积分 1112321100111110122()! !2(1)(1)! ! !2(2)! !(1)!Lbcaab cablIAL L dL L dLb cALLdLbca b cAabca bL L dslab 若在一条边上积分（例，在1-2边上）：利用此式可以重新计算线性三角形单元侧边均布压力的节点等效能12! !(1)!abla bL L dslab利用公式：例：q为线荷载密度，利用面积坐标计算节点1、2的等效节点力。xy2q3111312123113112213233()0000()000000 xxesllyyyy

20、yTqqbyyyybLq yybNNTNL q yyPdsdsbTNNN线荷载可写成：其中112211112111122333211122111223331 2()()()2366()()()2633llllyL yL yLq yyyyyqqlqldsL yL yL y dsbbbL q yyyyyqqlqldsLyL yL y dsbbb在边上：所以三角形线荷载在1,2号节点的节点等效能分别为：6300qlql和完全二次多项式。完全二次多项式。一次项保证了完备性。一次项保证了完备性。单元边境为二次变化，单元边境为二次变化，完全边境节点决议，完全边境节点决议，保证了协调性保证了协调性1(1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)221234562278910111212uxyxxyyvxyxxyy有个自由度，假设位移函数： 1166123456123456123456(21)(1,2,3)4(4,5,6,)000000000000TeiiiimneauvuvNLLiNL Lim niuNavNNNNNNNNNNNNNININININ