中学高中数学真题与经典题一题多解解法与解析

1、函数篇【试题1】（2016全国新课标II卷理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 【标准答案】解法一：设直线与曲线和切点分别是和则切线分别为：，解得 解得 解法二：设直线与曲线和切点分别是和曲线通过向量平移得到曲线两曲线公切线的斜率，即，所以【试题2】【2015新课标12题】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )A.BC.D.解法一：由题意可知存在唯一的整数使得，设由，可知在上单调递减，在上单调递增，故得解法二：由题意可得当时，不成立；当时，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增所以，即，与题目中的矛盾，舍去。当时，令同理可得：当时，单调递增，当时，单调递减所以，即，

2、满足题意。又因为存在唯一的整数，则此时综上所述，的取值范围是解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。当时，可知在递减，在递增，又，不符合题意，故不成立，排除答案A、B.当时，因为为增函数，且，所以存在，使得，则在递减，在递增，又，易判断存在唯一的整数0，使得，故成立，排除答案C.解法四：带入中可以得到，由题意可知，所以，满足题目中存在唯一的整数，使得，所以只需要即可，得到【试题3】（2016年全国卷文科第12题）若函数在单调递增，则的取值范围是（）解法一：函数的导数为由题意可得恒成立，即为即有设，即有0，当时，不等式显然成立；当时，由在递增，可得时，取得最大值，可得，即；

3、当时，由在递增，可得时，取得最小值，可得，即综上可得的范围是故选：解法二：函数的导数为由题意可得恒成立，即为即有0，设，即有0，由于二次函数的开口方向向上,因此只需要解得,即,故选：解法三：应用结论“奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数”由题可得,因为函数的定义域为且,所以是奇函数.根据结论可得,是偶函数.又因为函数在单调递增则在上恒成立因而必须满足因而根据选项,只有符合题意故选【试题6】（2014年全国课标1理科数学第11题） 已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）解法一:求导得，若，则，不合题意，舍去；若，令解

4、得或。当时，易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合的图像，只需有，解得。当时，易知在上单调递增，由，知在上有零点，不合题意，舍去；综上所述，的取值范围为，选B。解法二:由题意知，方程有唯一正根，显然，则，令，等价于方程（）有唯一正根，作出（）的图像，数形结合，的取值范围为，选B。解法三:取，检验知不合题意，排除A，C；取，检验知不合题意，排除D，故选B。【试题7】：（2015江苏高考13）已知函数，则方程实根的个数为 解法1：，所以方程方程实根的个数即为曲线和曲线的公共点个数之和。曲线 和曲线显然有2个公共点，又因为，所以曲线 和曲线也有2个公共点，如图2所示所以方程实根的个数为4

5、个。解法2：（1）当时，原方程即为，所以当时，原方程有一个实根；（2）当时，原方程即为令，所以上单调递减，得，得只有一个实根。（3）当时，原方程即为。令上单调递增，所以，因此各有一个实根。综上，方程实根的个数为4。解法3：首先去掉绝对值符号,有故对,应该分3种情况讨论.（1）时,有：（与不符,舍去）;（2）时,有：时,显然适合;时,而 如解图,两曲线在区间内有1个交点; （3）时, ,故前者有一解而后者无解.综上,原方程实根的个数为4.【试题1】（2012年重庆卷文科第12题）函数为偶函数，则实数_ 解法1：从偶函数的定义出发，并结合特殊值，这样运算量很小，尤其对一些运算量较大的问题特别有效偶

6、函数对任意恒成立（）解法2：因为函数是二次函数且为偶函数，所以函数图像的对称轴是，即解法3：从另一个角度来看待偶函数的图像：既然图像关于轴对称，说明该函数在处取得极值，因此是该函数的极值点，由导数性质可得，即 解法4：自从将导数引入高中教材，使得我们可以站在更高、更宽的视野来处理问题，同时导数作为一种强有力的工具，使得很多看似难以解决的问题得以轻松解答我们知道在可导的前提下，偶函数的导函数必为奇函数，因此为偶函数为奇函数（这是一次函数）必为正比例函数【试题1】（2012年高考数学天津卷（理科）14题）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .解法1：函数，当时，;当时, ;

7、当时，.所以,.做出函数的图像.直线恒过定点,要使两函数图像有两个不同的交点，将直线绕点按逆时针方向从旋转到的过程中,除,和外,均满足. 所以,实数的取值范围是:或.解法2：由题意可得，有两个不同实根，即有两个非1的实根，当，即时，原方程即，根为；当，即时，原方程即，根为由可得，【试题1】（2015北京理科第14题）设函数若，则的最小值为_；若恰有2个零点，则实数的取值范围是_。解：略；解法1：在内是增函数，当时，在内恒成立，故无零点。则在内恰有两个零点，故，无解；当时，易知在内有一个零点。则在内有且仅有一个零点，故，得；当时，易知在内无零点。则在内恰有两个零点，故。综上，实数的取值范围为或。

8、解法2：易知最多有三个零点、2。恰有两个零点或或。所以。【试题1】2015年安徽卷文科第14题：在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为。解法1：直线与函数的图像只有一个交点，等价于方程有且仅有一个实根，显然，即符合题意。解法2：由题意，只有一个根，即，所以，解得或，因为只有一个根，所以，解得。解法3：同解法2得到：，即只有一个根，即，解得。解法4：在同一坐标系下分别作出函数和的大致图像（图1）。可以看出，要使直线与函数的图像只有一个交点，则必须满足，解得。【试题1】2015年安徽卷理科第15题：设，其中、均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是。（写出所有正确

9、条件的编号）、； 、 ； 、； 、； 、。解法1：令，求导得。 当时，所以在上单调递增，且时，；时，。所以必有一个零点，即方程仅有一个实根，故正确； 若，由三次函数图像特点，在及上是增函数，在上是减函数。要使在上只有一个零点，则只需和有一个成立即可。故正确，于是填。【试题1】（2012年浙江卷理科第17题）设aR，若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则a_解法1：当时，不合题意，故因为一次函数和二次函数的图象均过定点，如图，当x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，所以这两个函数的图象在轴的右边且同时在轴的上方或同时在轴的下方，因为M(，0)在y1(a1)x1上，所以函数y2x

10、2ax1的图象一定也过点M(，0)，代入得，解得（舍去a=0）赏析1：此解法的优美之处在于把一个一元高次不等式问题转化为函数的图象来解决，使解题过程运算简单，思路简捷，充分体现数形结合思想的强大魅力。赏析2：不等式问题涉及到恒成立方面的知识，数形结合，简洁明快赏析3：把握动函数图象过定点，利用一次函数和二次函数的图像性质，且它们的函数值同号进行解题赏析4：把握不等式的特点：一个一次函数与一个二次函数的函数值同号。结合函数图像，将问题转化为两个函数图像的另一个交点在x轴上的问题进行求解。解法2：设，由且，即，则=检验，当=，时，成立。赏析1：试题内涵丰富，考查函数性质和不等式的综合运用，突出了思

11、维的灵活性与广阔性，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。赏析2：解填空题不妨试试特殊值法。赏析3：恒成立问题中求参数的值，取特殊值也是一个好方法解法3： 在时均成立，所以在时均成立.而当时，因为，所以，又因为当时不等式恒成立，考虑到在上单调递增，在上单调递减，又，所以，得到.当时，因为，所以，当时恒成立，考虑到在上单调递增，在上单调递减，又，所以，得到.综上可知： 符合题意。赏析1：分离参数法是求参数问题的一般性方法（不等式问题转化为恒成立问题求解）解法4：结合三次函数的图象，由韦达定理得出对应的两根为一正一负。当a=1时代入显然不成立，因此对应方程

12、的第三根是，要使对x>0均有关于x的一元三次函数值非负，又，对应函数只能是如右图的图象，即要求，且对应方程的第三根与前面一元二次方程的正根是重根。将第三根代入二次方程，解得满足条件的（舍去a=0）。赏析1：几何对代数的辅助作用，代数对几何的确定作用。涉及函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想。赏析2：函数与方程、化归与转化的数学思想，体现了 “多考点想，少考点算”的命题理念。【试题1】2015年湖南高考文科第14题【题目】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.【基本解法1】由函数有两个零点，可得方程有两个解，则函数与函数的图像有两个交点，结合图像可得的取值范围是.【基本解法2】由函数

13、有两个零点，可知方程有两个相异的根.原方程可转化为，令，则方程可转化为.要使该方程有两个相异的根，则应满足如下条件解得.因此的取值范围是.【试题1】2015年湖北文科第17题：为实数，函数在区间上的最大值为，当时的值最小。解法1：当时，在上的最大值为；当时，在上单调递增，故，此时；当时，在上递减，上递增，上递减，上递增。（1）、若，即时，此时；（2）、若，即时，此时；（3）、若时，。当，即时，此时；当，即时，此时；综上，当且仅当时取等号。即当时，的值最小。解法2、因为函数的图像与轴交点为，函数的图像的对称轴为，所以当或时，在上是增函数，。当时，。综上，当时，；当时，；当时，。所以，当时，有最小

14、值。解法3：依题意。在同一坐标系下画出函数和（图2）。由，得。故当时，即图像中的点处，取最小值。【试题1】（2015江苏13）已知函数，则方程实根的个数为 解法一：，所以方程方程实根的个数即为曲线的公共点个数之和.曲线 和曲线显然有2个公共点，又因为，所以曲线 和曲线也有2个公共点，如图2所示所以方程实根的个数为4个.解法2：（1）当时，原方程即为，所以当时，原方程有一个实根；（2）当时，原方程即为令，所以上单调递减，得，得只有一个实根.（3）当时，原方程即为.令上单调递增，所以，因此各有一个实根.综上，方程实根的个数为4.【试题1】已知函数则方程实根的个数为 【解析】首先去掉绝对值符号,有故

15、对,应该分3种情况讨论.（1）0<x1时,有：（与x1不符,舍去）;（2）1x2时,有：时,显然x=1适合;时,如解图,两曲线在区间1,2内有1个交点; （3）x>2时, x>2,故前者有一解而后者无解.综上,原方程实根的个数为4.【试题1】2015年陕西理15设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_.解法1：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率.设的坐标为，则，因为，所以，故曲线在点处的切线的斜率.因此，所以，即，解得.因为，所以，得，故点的坐标是.解法2：易知曲线在点处的切线方程为，将反比例函数转换成等轴双曲线，即将当作轴（原点不变，第一象限部分为正半轴）

16、，则曲线转换为，切线转换为，与其垂直的直线的斜率不存在，且要与双曲线相切，符合条件的切线应为.所以在新坐标系下的坐标为，还原到原坐标系中的坐标为.【试题1】2015年北京理科第18题 已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，（）设实数使得对恒成立，求的最大值.解：（），所以切线方程为.（）解法1:当时，而记，要证，只需证明记，因为当时，所以在上单调递增.当时，；当时，.当时，即当时，恒成立.（）解法2:（2）原命题等价于设函数故在单调递增的，因此，当时，（）解法1 由（）知当时，故当时，成立；当时，另=，因为另，解得.当时，单调递减，当时，单调递增.故当时，与对恒成立矛盾.综上所

17、述，可知，故的最大值为2.解法2 因为对恒成立对恒成立对恒成立.令，则因为另，则与同号又，所以函数在上单调递增.所以（洛必达法则）所以的最大值为2.解法3 记，当时，恒成立当时，.记，则当时，所以满足题意.当时，所以满足题意.当时，因为，所以存在使得在上单调递减，所以时，不满足题意.综上，即的最大值为2.【试题1】2015年湖北文科第题 设函数、的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中为自然对数的底数。（）求的解析式，并证明：当时，;()设，证明：当时，。解：（）由的奇偶性及得 联立解得， 当时，,故（）先证明不等式左边。因为，所以故只需证当时，,即。设，因为，所以在上递增。从而，即当时，。所

18、以当时，。再证不等式右边。因为，故。故只需证当时，即。设，因为，所以在上递增。从而，即当时，。所以当时，。综上，若，则当时，【试题1】2015年重庆卷【理科第20题】 设函数。（）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（）若在上为减函数，求的取值范围。【解】：（）由在处取得极值，又由，所以因此，则有,因此,则由直线的点斜式方程，有曲线在点处的切线方程为：。（），令，所以在恒成立。【解法1】 转化为在恒成立。令，则。所以在上单调递减，故。所以，即的取值范围是。【解法2】 对称轴为，所以有，解得，即的取值范围是。【试题1】2012年浙江卷理科第22题：已知，函数.()证明：当时，

19、（）函数的最大值是；（）+；（）若对任意的恒成立，求的取值范围.解法1：（）（）证明：，令，当时，又， （）证法1：只需证,当b0时，0在0x1上恒成立，此时,成立当b0时， 当,即时，函数在上单调递减，成立；当,即时，此时函数在单调递减，在 上单调递增，此时的最小值为；当时，即证；令则，即证，而显然成立。当时，即证令则，即证，令，则，所以函数在上单调递减，所以综上所述：+ （）证法2： 当时，若，则显然成立；倘若，则=； 当时，令，原不等式等价于，令，对每一确定的，是不减函数，故.而.综上所述，不等式+成立.（）解法1：由题设及()的证明结论可得，因为，则显然有，由（）知所以对任意的恒成立的

20、充要条件是令，则不等式转化为，即，于是有，即的取值范围是。赏析：综合三次函数性质、绝对值、分类讨论思想、导数的简单应用和线性规划的应用等知识于一题.题设简洁常规，设问方式新颖，体现了整张试卷中的把关功能.解答题()（）的证明，利用及的条件，巧妙地用放缩法，把三次函数转化为一个二次函数的最值问题，合理规避了三次函数的求导，解答独辟蹊径，颇具新意。（）的证法1，淡化了技巧，更多的是通性通法的考查。虽然与参考答案及证法2比较起来较烦，但它更符合学生的实际。并且可以利用（）中参考答案给出的解法中的相关步骤，节约时间。证法2，与参考答案给出的解法类似，简洁明了。但对学生不等式性质的应用、不等式证明和放缩

21、技巧的要求颇高。证明中（）的求解过程也绕开了线性规划和分类讨论的难点，而是根据隐含条件，利用换元法，通过求解绝对值不等式，转化为求函数的值域问题，得到的范围.此解法的亮点是把求二元函数的取值范围问题(当已知其中一个变量的取值范围时)，转化为一元函数的值域问题，是等价转化数学思想的精华所在。平面向量【试题1】.2014湖南卷理科第16题：在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，则的最大值为_解法1：设动点，则，所以，从而的最大值为解法2: 设，则由，得，因此动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而是与点距离，利用圆的性质得解法3：，当且仅当与同向时取等号，所以的最大值是解法4：设，由，得，又，则=

22、令，其最大值在直线与圆相切时取得，由得，则，所以=解法5：同解法4，令，由柯西不等式，(当且仅当时，等号成立)，得，即的最大值【试题1】2014新课标卷 理科第15题已知是圆上的三点，则与的夹角为 .解法一：【统一起点1】由,得，即，三点共线.故为圆的直径，.解法二：【统一起点2】由解法一知，故.解法三：【加法法则】取中点，则，两点重合.故为圆的直径，.解法四：【几何性质】延长交圆于点，则，故四边形为平行四边形，又，.解法五：【投影1】由，得，故，.解法六：【投影2】由，得，故，.解法七：【平方法】由及得，平方得，.解法八：【坐标化】设，由，得，.解法九：【回路法】由，得，三点共线，故为圆的直

23、径，.解法十：【外心向量式】因为外心，故，由已知，得，即.【试题1】（2015年四川理科7）设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（A）20 （B）15 （C）9 （D）6解法一：转化为特殊的四边形-矩形以AB为轴，以AD为轴，则可得如下坐标所以9解法二：基底大法： , ，.（1）本题考查向量的基本知识，如平面向量的基本定理、共线向量、向量的加减法、内积等.（2）平面向量的基本定理容易被忽略，要引起注意.运用向量的基本定理解题关键是选择基底，本题的基底应该是.【试题1】20(2015年浙江文科第13题):已知是平面单位向量,且若平面向量满足则解法一：由，得,所以不妨设,.则由得：

24、,故,即解得。解法二：不妨设由及得：，解得。所以。解法三：由题意可设由，得，可设再由，得向量与成等角.设即,所以,解得.故.【试题1】2012年浙江理科第15题：在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_解法1：因为=赏析1：转化为互为相反的两个向量的和是零向量进行解题。赏析2：将所求向量运算转化为基本向量加减乘运算来解决。赏解3：向量运算的几何形式，通过向量间的线性表示来转化欣赏4：主要考查向量的线性运算，数量积应用能力，解题蕴含化归思想，目标意识。解法2：假设ABC是等腰三角形，由AM3，BC10，得ABAC所以cosBAC，。赏析1：填空题只要结果，无需过程，用特例解决，变动为静

25、，本来可以做到“简单快捷，不易出错”的效果。但是，该解法有“小题大做”的感觉，请看解法3和解法4解法3：取，则，因为，所以赏解1：把握直角三角形中三角函数的定义，利用特殊图形法，简洁明快解法4：因为，,所以16.赏解1：把握互相垂直的向量的数量积为零的特点，利用特殊图形法，简单明了解法5：由题意，AM3，MBMC5，所以16.赏析1：向量运算的三角形法则，平面向量基本定理的灵活应用。解法6：由题意，6，所以， 10，所以， 得43610064，所以16.赏析1：平面向量加减运算的平行四边形法则，整体思想和方程思想的灵活应用。赏析2：利用任何一个向量都可以表示为若干个向量的和或差的形式进行解答。

26、解法7：以点M为原点，MC所在直线为轴的正方向，建立平面直角坐标系。设A，C(5,0),B(-5,0)则，所以。赏析1：坐标法是解决向量问题的常用方法。解法8：以M为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，则B（5，0），C（5，0），设，则A（3，3 ），所以（53，3 ）·（53，3 ）925+916.赏析1：坐标法是把向量问题转化为代数问题的桥梁和纽带。赏解2：向量运算的代数形式，将向量关系坐标化【试题1】2015年上海理科第14题：在锐角中，D为BC边上的一点，与面积分别为2和4，过D作，垂足为E，垂足为F，则_。解法1：在四边形AEDF中易知，由得，故。过C作，垂足为H

27、，设|CH|=，由与面积分别为2和4，可知，故。在中，由得，故，由的面积为4，得。所以，。解法2：，故。令中边上的高长为，边上的高长为，则由可知，从而，于是。解法3：由已知得，又，故。所以，。【试题1】2015年安徽卷理科第16题：在中，点在边上，求的长.解法：由余弦定理，在中，所以.则.在中，解得.解法：在中，由余弦定理得.设，则在中，；在中，.又，所以可求得，故.解法：如图，过点作边所在直线的垂线，垂足为，过点作，垂足为.由，得.则，.又，在中，故.所以.解法：如图，以为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立直角坐标系.由题意易得出、，所以直线的方程为，从而可设。由可得，进而得出.【试题1】20

28、15年安徽理科第21题：设函数.（）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（）记，求函数在上的最大值；（）在（）中，取，求满足条件时的最大值.解：（）令，易知内层函数在内单调递增，接下来我们研究外层函数在上的单调性，对称轴为.当，即时，在内单调递减，此时在内单调递减，无极值；当，即时，在内单调递增，此时在内单调递增，无极值；当，即时，在内单调递减，在内单调递增，此时在内先单调递减后单调递增，在处取得极小值.（）令，.所以，在上的最大值.因为.当时，最大值；当时，最大值.由此可知，函数在上的最大值.（）线性规划思想求最值.取，.问题等价转化为：已知，求的最大值.作出可行域，目标函

29、数的图象（图7）是抛物线，经过点时，取得最大值为1.【试题1】2015年重庆卷 理科第13题：在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.解法1：在ABD中，得，得，易得ABC为等腰三角形，得，得解法2：过点B作AC的平行线与AD的延长线交于点E，如图1，由解法一得，在BED中，由正弦定理得，有，代入数值得解法3：过点A作BC的垂线与CB的延长线交于点E，如图2，由ABD内角和为180°，得，进而°，得解法4：如图3，以B点为原点，以BA所在的直线为x轴，则A，直线BC的方程为：，设点D，由，解得，则的效率为，于是，故AC的方程为，与BC的方程联立得C，故解法

30、5：由及，两边平方，解得，设，由角平分线定理得解得，解得，由,两边平方得即解法6：设，则，. 在ABD中，得，得.在ACD中，所以【试题1】2015浙江理科解法2、把的起点都移到，则在由确定的平面内的投影在内，设终点为，则。如图4，过作，则，过作，垂足分别为，则。在中，在中，所以，所以。解法3、题中条件可以转化为的终点到所在平面的距离为1，（的夹角为），构造如图5所示的六面体（单位向量与所在平面垂直），有，根据，在式两边同乘分别得到解得代入式两边平方得到。【试题1】2015年山东卷文科第13题：过点，作圆的两条切线，切点分别为，则_.解法1：如图1，联结， 在中，所以，.而，则.解法2：在四边

31、形中，点，即. ，. .解法3：切点弦:，与交于，两点，可得.解法4：设切点为，由于半径与切线垂直，则根据向量数量积得.解得或.即是切点为，.解法5：如图2所示，过点作圆的两条切线、，由图形对称性求转化为，而，易得，所以.不等式【试题1】【2015重庆高考，文14】设,则的最大值为 .解法一：由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立），故填：.解法三：因为，所以， 当时，故，故填解法四:柯西不等式法:所以【试题1】(2015年重庆卷文科第14题)设，则的最大值为 解法一：，当且仅当且，即，取等号，所以的最大值为.解法二：设，则（）依题意可得

32、问题等价于求的最大值，令，直线与圆有公共点，当直线与圆相切时，所以的最大值为.解法三：设， ，当且仅当，取等号，所以的最大值为.解法四：， 当时，取到最大值，所以取到最大值为，此时，.解法五：由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立），故填：.解法六：因为，所以， 当时，故，故填解法七:柯西不等式法:所以【试题1】（2016浙江卷理8）已知实数则（ ）A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解法1】令，排除选项A；令，排除选项B；令，排除选项C； 【解法2】选项A,取则，此时由于可任取，则无界，显然无法得到；选项B,取则，

33、此时由于可任取，则无界，显然无法得到；选项C,取则，此时由于可任取，则无界，显然无法得到； 选项D, ，而，则【解法3】关于D选项的证明二，【试题1】(2014年高考山东理9题)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为A5 B.4 C. D.2【答案】B解法一：联立，得交点坐标，则，即圆心（0,0）到直线的距离的平方.解法二：联立，得交点坐标，则，代入得：当时，的最小值为4.【试题1】（2014年浙江高考卷）已知实数，满足，则的最大值是以下从不等式角度研究解法1：由，得，将式子两边平方得，再把代入可得，此时用不等式放缩可得，解得，所以的最大值是解法2：由移项平方，得，代

34、入，得，即由基本不等式得，解得故的最大值是解法3：将两边平方后得，由得继续消元，将代入化简，并将含有的式子分离到一边，得，而，即，得（此时等号成立的条件是）所以的最大值是解法4：将两边平方后得，由得将代入化简，得，即，解得，故当时，的最大值是解法5：由柯西不等式得，即，解得，故的最大值是解法6：将代入，得，令则由柯西不等式得，故得，故的最大值是【试题1】2015年上海卷理科第13题：已知函数，若存在，满足，且（），则的取值范围是_。解法1：由知，需尽可能多的取到2，在上共3个周期，故可取，满足，所以的最小值为8。解法2：当=8时，令，则，且，故的最小值不大于8。又对任意的，等号成立当且仅当，特

35、别的。因此，从而。如果m=7，那么有，故，。但是在中只有6个不同的能使，矛盾。故的最小值等于8。【试题1】（2012年浙江卷理科第9题）设，.若，则 .若，则.若，则 .若，则解法1：由整理得到，令，显然是单调递增函数，由可得.所以选择. 解法2：（反证法）对于A选项。 假设，为增函数，又 ，这与已知条件矛盾， 选择A。赏析1：本题题干简洁、形式对称而优美.从表面看，本题涉及的是两个方程式，事实上是关于两个函数值与的大小比较问题。首先运用转化的思想，将方程问题转化为函数问题，然后用函数思想，构造函数，利用函数的单调性解决问题.构思巧妙、干净利落.赏析2：对于解法1和解法2，如果从、选项入手，很

36、快就能得到答案，作为选择题，解题已经结束，无需留恋。而事实上，如果从、选项入手，虽然做法类似，但难度必然加大，而且会做无意义的劳动（因为、都是错的）。因此，这里还有“选择”的味道，考查了对选择题的敏感性，认清选项，快速解题，这是考查观察力、判断力等能力的根本.下面给出、选项的判断方法： 由整理可得：， 令，则， 因为， 所以，而，所以、错误. 赏析3：有利于培养学生分析问题和解决问题的逻辑推理能力。【试题1】2015年重庆理16若函数的最小值为，则实数_。解法1：的几何含义是数所对应的点到数的点的距离，与到点距离的倍之和。要使有最小值，则表示数的点与表示数的点集合。此时，解得或。解法2：（1）

37、当时，所以符合题意；（2）当时，不符合题意；(3)当时， 所以，所以符合题意。综上，实数的取值为或解法3：由绝对值的性质知的最小值在或处取得。若，或，经检验不符合题意；若，则，或，经检验符合题意，因此或。解法4：，可看成数轴上点到3个刻度、的距离之和，当在中间刻度时取最小值，解得或解法5：，当且仅当时上式等号成立，所以，由题意可知，所以或。【试题1】2015年重庆文科第14题：设的最大值为 .解法1：由，得，所以，当且仅当且，即时取等号，故的最大值为.（江苏省睢宁县古邳中学 苗 勇；江苏省扬州市第一中学 李春龙；陕西省西安市田家炳中学 田向红；安徽省合肥市第六中学 周天明；江苏省常熟市中学 查

38、正开）解法2：由，得，所以当且仅当且，即时取等号，故的最大值为.解法3：根据柯西不等式，所以，所以当且仅当且，即时取等号，故的最大值为.解法4：设，则，依题意即求目标函数的最大值，令，直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，所以，相切时，故的最大值为.（苗 勇；罗文军；陈志华；查正开）解法5：由，得，设，则，当时取等号，此时，所以的最大值为.（苗 勇；洪汪宝；陈志华；虞 懿；查正开）解法6：，当时，的最大值为，所以的最大值为，即的最大值为.解法7：由，得，令则，令得，令得，令得，故是函数的唯一极值点且是极大值点，所以，的最大值为.【试题1】（2012年四川卷文科第16题）设a，b为正实数，现有

39、下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1其中的真命题有_（写出所有真命题的编号）Oxy解法1：构造幂函数f1(x)x2，f2(x)，f3(x)，f4(x)x3，则问题变为由f1(a)f1(b)1；f2(b)f2(a)1；f3(a)f3(b)1(不妨设ab)；f4(a)f4(b)1(不妨设ab)中哪些可以推出ab1在同一直角坐标系中作出四个函数的图象，如图，因为对幂函数有f(1)1，所以四个函数都有a1，否则有b0不合题意当x1时，、所对函数图象在直线yx的上方，即y的变化量大于x的变化量，即函数值增加1，自变量的增量不足1；而、所对

40、函数图象在直线yx的下方，即y的变化量小于x的变化量，即函数值增加1，自变量的增量超过1；所以填赏析：尽管幂函数在必修1中所占篇幅很小，也掩盖不了它一类非常常见而重要的函数，本题的命题思路非常巧，以不等式为载体考查函数性质，若用不等式的性质分析研究，则比较困难解法2：对于，由可知，因为为正实数，所以，则 而，可得故正确；对于，可取，则满足，而，故错误；对于，显然，不妨设，则，即：， 所以，则；故错误；对于，显然，不妨设，则即：，则， 而，所以， 即，故正确赏析：本题作为四川文科卷填空题的压轴题，形式简洁新颖、工整对称、思想深刻、内涵丰富，是一道优美的高考试题本题的本质是根据与的不定方程来判断不

41、等式的正确性很明显，列举不定方程的根有利于找反例，而不能证明正确性，命题即是通过举反例解决的命题与命题都是采取的等式变形的方法，通过因式分解，说明另一个因式的范围来解决所求因式的范围命题则是采用的消元法来进行判断的而命题还同时使用了“不妨设”的技巧，来去掉了绝对值，达到了化简的效果可见本题判断方法的多样化，对知识点与能力的考察是非常到位的三角函数【试题1】（2016江苏第14题）在锐角三角形中，若，则的最小值为 .解法一：由已知得， ，故，有结论：知，即：，平方得，当且仅当 ，取等号.解法二：同方法一，得到，有结论：知，即，当且仅当 ，取等号.解法三：同方法一，得到，故.将上式代入结论：，得到

42、：，故，得到，当且仅当，即取等号.解法四：由已知，令，则÷得到：，有得到：，即，得，故，当且仅当，即（即）取等号.方法五：【试题1】（全国课标1理科8） 设，且，则. . . .解法一：解法二：又【试题1】2013年全国新课标卷（文科）填空题第16题：设当时，函数取得最大值，则 解法一：因为.其中所以所以，此时即所以解法二：因为所以，又因为当时，取最大值，故，即，解得，故 解法三：由柯西不等式有当且仅当，即当时，等号成立，即当时，取得最大值.故 解法四：由已知，令则，如图当直线与圆相切时，取最大值. 当时，取得最大值.故解法五：因为，其中所以由已知，其中所以所以化简，所以，所以.解法

43、六：因为，其中，依题意有，所以，所以，所以【试题1】2015江苏14设向量，则的值为 解法1：因为所以得注意到：的周期均为6，易得，又。所以得=解法2：故=而函数的图象分别关于（1,0）和（7,0）对称，函数图象关于点对称，因此所以得=解法三：设则，所以 所以=.【试题1】（2012年浙江卷理科第4题）把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 解法1：把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y1cosx1，向左平移1个单位长度得到y2cos(x1)1，再向下平移1

44、个单位长度得到y3cos(x1)令x0，得到y30；x，得到y30；结合图像，选择答案A赏析1：用三角函数图像变换的思想解题，好！但还是没有把握图像变换之根本，请看解法2。 解法2：（利用求曲线方程的方法）设为所求曲线上的任意一点，则向上平移1个单位长度得到点，再向右平移1个单位长度得到点，最后把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到点，该点满足方程ycos2x1，代入得到即为所求。因为；，所以选择答案A. 赏析1：三角函数图像的变换问题，本质上就是函数图像的组成单位点的变换问题（注意相对运动），这是图像变换之根本，变换教学之本质。【试题1】2012年四川卷理科第4题：如图，正方

45、形的边长为1，延长至，使，连接、，则（ ） 解法1： 解法2：在中，运用正弦定理可得：解法3：在中，运用余弦定理可得：解法4：设线段AD与CE相交于点F，在中，运用正弦定理可得：解法5：设线段AD与CE相交于点F，在中，运用余弦定理可得解法6：设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有解法7：设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有解法8：以为原点，所在直线为轴来建系，可得，则EDCBAFyX解法9：如解法8所建系，则，于是故本题答案为赏析：【试题1】2015年北京理科第15题 已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最

46、小值.解：（）设的最小正周期为，则对任意的，都有，即 两边化简得 即恒成立，所以. （）因为 所以 令，因为，所以 解得；解得 所以在上单调递减，在上单调递增 可得在处取得最小值 故在上的最小值为.【试题1】：求的值.解法1：因为40°30°10°，所以原式.解法2原式.解法3令得则原式=.解法4设，则所以，故.解法5由余弦定理，得，又由正弦定理，得，于是， 得故.【试题1】解法1： 得，平方得2=， ，原式=解法2：=,由已知得，原式=解法3：=coscossinsin=又=，=7, 原式=【试题1】在中，内角所对的边分别是已知，边上的中线长为4() 若，求； () 求面积的最大值解 () 由及正弦定理得， 所以，故， 所以，由余弦定理得，解得() 【解法1】由知，及，解得 所以的面积 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立所以面积的最大值为【解法2】设,【解法3】ABDC如图建系，设则中点则中线长所以【解法4】如图，G为的重心，则设【解法5】由，知C的轨迹为阿波罗尼斯圆，圆心在直线AD上，半径为，则【试题1】，求函数的最大值_.解法1 ， ， 所以函数在为减函数， 所以存在唯一实数使得且满足， 所以在上为增函数，在上为减函