全国中等职业技术学校通用教材数学(上)2

1、第2章 集合与函数2.1 2.1 集合集合2.2 2.2 函数的概念及性质函数的概念及性质2.3 2.3 反函数反函数2.4 2.4 指数函数指数函数2.5 2.5 对数函数对数函数2.1 集合集合一个家庭一个家庭一篮鲜花一次考试的科目共同点：共同点：组成它们的事物（整体的成员）是被指定的。集合的概念集合的概念 在数学里，我们用集合集合（简称集集）这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的元素元素。 通常，事物a是集合M的一个元素记作aM ，读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素记作a M ，读作a不属于M。 在数学中，由数字组成的集合称为数集数集、由方程或不等式

2、的解组成的集合称为解集解集。 把含有有限个元素的集合称为有限集有限集。 把含有无限个元素的集合称为无限集无限集。 把没有任何元素的集合称为空集空集，记作。一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示 集集 合合 表表 述述集集 合合 名名 称称集集 合合 符符 号号自然数（即非负整数）的全体自然数集自然数集（非负整数非负整数集集）正整数的全体正整数集正整数集 整数的全体整数集整数集有理数的全体有理数集有理数集实数的全体实数集实数集正实数的全体正实数集正实数集 负实数的全体负实数集负实数集 1、将符号或 填入空格中。 7 ， 7.2 ， 11.4 ， ， 3.7 ， 。22、课本P39 知识巩固1集

3、合的表示方法集合的表示方法列举法 通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列列举法举法。李明、张静、李俊、李虹 数学、物理、语文、英语、机械设计、金属加工 2、4、6、8 请同学们用身边的事物举例请同学们用身边的事物举例描述法 用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做描述法描述法。xx是本节“导入”所举例中花束内的花 xx5 例题解析例题解析例例 用适当的方法表示下列集合：用适当的方法表示下列集合： （1）地球上的四大洋组成的集合。单击鼠标继续单击鼠标继续 例题解析例题解析 （2）所有大于或等于3的整数组成的集合。单击鼠标继续单击鼠标继续 例题解析例题解析 （3）使分式 有意义的所有

4、x组成的集合。单击鼠标继续单击鼠标继续321x 例题解析例题解析 （4）一次函数 的图像上所有的点组成的集合。单击鼠标继续单击鼠标继续32 xy 例题解析例题解析 （5）所有的平行四边形组成的集合。单击鼠标继续单击鼠标继续提高练习提高练习 单击鼠标继续单击鼠标继续 1用列举法表示下列集合：（1）大于3小于10的整数的全体。（2）方程2x-3=0的解集。 2用描述法表示下列集合 ：（1）不等式x2的解集。（2）大于0小于1的实数的全体。 课本P41 知识巩固2 1、（1）（2）（3）（6）集合与集合的关系集合与集合的关系 通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元素都是B的元素，那么两者的关系

5、就是集合A包含于包含于集合B（或集合B包含包含集合A），记作 A B（或B A） 集合A包含于集合B也可说成集合A是集合B的子集子集。 集合与集合之间还存在相等相等的关系。如 xx21=0=-1，12、4、6、84、2、6、8 例题解析例题解析 例例 分别写出下列各题中两个集合之间的关系： （1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5， Bx | (x)(x)解解 （2）集合B的元素是方程(x5)(x2)=0的解，应该是5，2。可见，集合B的每个元素都属于集合A；反之，集合A的每一个元素都属于集合B。所以这两个集合的关系是A = B （1）因为集合A的每一个元素都是集合B的元素

6、，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以两者的关系是A B单击鼠标继续单击鼠标继续 用适当的符号 填入空格 。 Q R， Z， a b、c、d 22 x | x293、3 ()、 、区间的概念区间的概念设服务员身高为x米，根据上表，这四家饭店提出的要求可表示为饭店A：1.65x1.75 ； 饭店C：1.65x1.75 ；饭店B：1.65x1.75 ； 饭店D：1.65x1.75 。 四家饭店（A、B、C、D）招聘女服务员对身高的要求：饭店饭店1.65米米1.75米米A包括包括B不包括不包括C包括不包括D不包括包括 将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限为a米，身高的上限为

7、b米（ab），则这四种要求可表示为axb axb axb axb 上述四种不等式可以对应实数x的四种集合。这四种集合都可用区间区间来表示，实数a和b称为相应区间的端端点点。我们对这四种集合的具体规定如下： 除上面提到的四种集合外，符合不等式xa，xb， xa，xb的实数x的集合也可用区间表示，其表示方法与上面四种区间类似。 需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。 为此，我们规定：符号“”表示无穷大，“+”表示正无穷大，“”表示负无穷大。 用区间的形式表示下列各集合： （1）x5x2 （2）x | 3x8 （3）xx1 （4）xx52.2 函数的概念及性质函数的概念及性质水

8、的高度表示体积水的高度表示体积 水的上表面面积表示半径水的上表面面积表示半径V15h (圆柱的体积等于底面积乘以高)h的取值范围就是0，10 Sr2r的取值范围就是4，7 函数的概念函数的概念 一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f ，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量是自变量，y是变量是变量x的函数的函数，数集D是这个函数的定义域定义域。 通常将y是x的函数记作yf（x），xD 当自变量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的函数值记作f (a)所有函数值组成的集合叫做函数的值域。值域。 如果一个函数的定义域没有

9、被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。 例题解析例题解析 例例1 设f(x)x22x3，求f (0)、f(3)、f (3)、f(a)。 解解f(0)022033 f(3)322336f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 单击鼠标继续单击鼠标继续 例例2 求函数f(x) 的定义域 。 解解2x要使函数f(x)有意义，则 x20即 x2 因此，f (x)的定义域是2，） 单击鼠标继续单击鼠标继续 1设f (x)2x21，求：f(1)、f(1)，f(0)、f(b)。 2求函数f(x) 的定义域。 4x函数的表示方法函数的表示方法表示一个函

10、数的方法有：解析法解析法、列表法列表法和图像法图像法。解析法 用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做解析法解析法。如，yx2，y2x，y 。x列表法 所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，学期学期序号序号123456789101112成绩成绩959088928783948593899496 上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同学期序号对应的成绩。 图像法 所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。 从图中可看出玉米单价（即每吨玉米的价格）随着时间的的变化而不断起伏；任意时刻都对应着唯一的玉米单价。所以，在这里玉米单价是时间的函数。 例题解析例

11、题解析 例例 画出函数y6x（x(0，10）的图像。 解解 y6x是一次函数，而定义域是（0，10，由此可知图像是一条直线段。所以只要描出函数y6x图像上的两个端点，然后用直尺将这两个端点连接起来即可。 列表列表 y010 x060 描点描点：描出以（0，0）为坐标的点，再描出以（10，60）为坐标的点。 连线连线：通过点和点画出一条直线段。这条直线段AB就是函数y6x ， x(0，10的图像。应特别注意的是，由于图像中不包括点（，），因此，点用空心点表示。单击鼠标继续单击鼠标继续 1试举出一个用列表法表示函数的例子。 2画函数yx3（x(，)）的图像。 函数的单调性函数的单调性观察yx2的图

12、像，总结函数值随自变量取值的变化规律。 1y轴左侧，即在区间（，0上，自变量越大函数值越小。 2y轴右侧，即区间0，）上，自变量越大函数值越大。 一般地，在函数f（x）定义域内某个给定区间 I上，任选两个自变量的取值x1、x2 ，如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间 I上是增增函数函数； 如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是减函数减函数。 如果函数yf（x）在区间I上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在区间I上具有单调性单调性，区间I叫做函数yf（x）的单调区间单调区间。 单调区间上，增函数的图像是上升的，减函

13、数的图像是下降的。类类 型型（区间I上的）增函数（区间I上的）减函数条条 件件当x2x1时，有f（x2）f（x1）当x2x1时，有f（x2）f（x1）图像特图像特征征沿x轴正方向图像上升沿x轴正方向图像下降图图 例例 例题解析例题解析 例例 函数yf（x）的定义域是10，10，下图是它的图像，根据图像指出函数yf（x）的单调区间，以及在每一个单调区间上函数yf（x）是增函数还是减函数？解解 函数yf（x）的单调区间有10，4)、4，1)、1，2)、2，8)、8，10。 其中函数yf（x）在区间 10，4)、1，2)、8，10上是减函数； 在区间4，1)、2，8)上是增函数。 1画出下列函数的草

14、图，指出下列函数的单调区间，并判别它们在各单调区间的增减性。 （1） （2） （3） （4）1( )63f xx 5( )f xx 2( )6f xx2( )(2)f xx 2.3 反函数反函数研究水位高随体积变化的规律研究水位高随体积变化的规律V15h（h0，10）15Vh （V0，150）反函数研究水面半径随水面面积变化研究水面半径随水面面积变化的规律的规律Sr2 （r4，7）Sr （S16，49）反函数图形图形函数关系函数关系式式自变量自变量定义域定义域值域值域V15hh0，100，150V0，1500，10Sr2r4，716，9S16，494，715Vh Sr 通常，在函数yf(x)（

15、x）中，设它的值域为，根据该函数中x、y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一个函数，那么就把函数xg(y)（y）叫做函数yf(x)（x）的反函数反函数，记作xf1(y) 一般情况下，将函数xf1(y)改写成yf1(x) 函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数。 函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；函数yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域。 例题解析例题解析 例例 求下列函数的反函数，并画出题（1）中函数和反函数的图像，观察它们的对称性。 （1）y2x1（xR） （2）yx21（x） （3） （x1）解解21xyx （1）

16、由y2x1，解得 ，所以，函数y2x1的反函数是 12yx12xy（xR） 通过描点法可画出函数图像。 （2）由yx21（x），解得 x2=y1由此推出 1xy这里，一定有y+1，从而推出y1。所以，函数yx21（x）的反函数是 （x1）1yx （3）解得 ，所以所求反函数为 （x2） 2yxy2xyx单击鼠标继续单击鼠标继续 一般地，在平面直角坐标系xOy中，函数yf（x）的图像和它的反函数yf1（x）的图像关于直线关于直线 yx 对称对称。 1求函数y2x4（xR）的反函数，并且在同一个平面直角坐标系中画出函数y2x4（xR）和它的反函数的图像。 2求下列函数的反函数： （1） （xR）

17、（2） 132yx13()232xyxx2.4 指数函数指数函数 细胞分裂的个数细胞分裂的个数 某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成两个细胞。 一个这样的细胞经过 x 次分裂后，得到 y 个与它本身相同的细胞，那么细胞个数 y与分裂次数x的关系是怎样的呢？关于细胞分裂问题，分析如下： 初始细胞个数是1，此时经过的分裂次数是0，即201个； 经过第1次分裂后细胞的总数是212个； 经过第2次分裂后细胞的总数是224个； 经过第3次分裂后细胞的总数是238个； 经过第4次分裂后细胞的总数是2416个； 经过第x次分裂后细胞的总数是个2x。 设细胞总数为y，有y2x。 一般地，我们把形如yax（

18、a0，a1）的函数叫做指数函数指数函数。 由实数指数幂的运算性质可知：当a0时，对于每一个实数x的值，都有唯一确定的实数值ax与它对应。因此，指数函数yax的定义域是实数集。两函数相同的性质有两函数相同的性质有： 1两个图像都在x轴上方，即值域都是。 2 两个图像都经过点（0，1），可见当x0时，对这两个函数都有y1。 两函数不同的性质两函数不同的性质： 函数y2x的图像沿x增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函数； 函数 的图像沿x增大的方向是下降的，所以它在（，）上是减函数。1( )2xy 一般地，指数函数yax（a0，a1）的图像和性质如下：函函数数yax，xRa10a1图图像像性性

19、质质（1）定义域是R ，值域是正实数集 （2）当x0时，y1（3）在（，）内是增函数（3）在（，）内是减函数 例题解析例题解析 例例1 利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小： （1）33.6与32.8 （2） 与解解2.51( )231( )2 （1）指数函数y3x是增函数。因为3.62.8，所以33.632.8 （2）指数函数 是减函数。因为2.53，所以1( )2xy 2.5311( )( )22单击鼠标继续单击鼠标继续 一年后到期取出，连本带息共有 100010002.25(120)1000(12.2580)10001.018 元 如果到期自动转存，两年后到期本息共有 (100

20、01.018)(10001.018)2.25(120)10001.018(12.2580)10001.0182 元 依此类推，x年后到期取出，本息的和（单位：元）用y表示，y与x的关系是y10001.018x 将x=5代入上式，可得5年后取出，连本带息共有10001.01851093.30 元 例例2 假设银行中一年定期的存款利率是2.25，利息的税率是20。若把你的压岁钱1000元存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，那么x 年后到期取出，连本带息共有多少元？由此推算5年后应取出多少钱？（精确到0.01）解解单击鼠标继续单击鼠标继续 1指出下列指数函数在(，)内是增

21、函数还是减函数： （1）y3x （2） （3）yx （4）y0.3x 2比较下列各题中两个实数的大小 （1）45.2与45.5（2）44与43 （3）0.72与0.37 （4）0.72与0.73 3某市现有人口500万，人口的年自然增长率为1.2%，10年后这个城市的人口预计有多少万？x年后这个城市的人口预计是多少万？（精确到0.01）1( )3xy 2.5 对数函数对数函数 细胞分裂的次数细胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成2个。1个细胞经第1次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？第几次分裂后恰好出现128个细胞？ 设这样的细胞经过x次

22、分裂后，得到的细胞个数是y。以分裂次数x为自变量就可以得到指数函数y2x 显然，只要求出这个函数的反函数，上面的问题就可以解决了。 根据对数的定义，指数函数式y2x可以写成对数的形式xlog2y显然，给定一个y值，由上式可以得到唯一的x值，因此，xlog2y表示的是指数函数y2x的反函数。按照习惯，我们用x表示自变量，用y表示函数，这个函数就应写成ylog2x 一般地，函数ylogax（a0，a1）与指数函数y=ax互为反函数。因为y=ax 的值域是（0，），所以函数ylogax的定义域是（0，）；y=ax 的定义域是R，所以函数ylogax 的值域是R 。我们把函数ylogax（a0，a1）

23、叫做对数函数对数函数。ylog2x的图像特征：1图像经过点（1，0）；2图像在y轴右侧；3图像沿x增大的方向是上升的，即在区间（0，+）上是增函数。 图像特征：1图像经过点（1，0）；2图像在y轴右侧；3图像沿x增大的方向是下降的，即在区间（0，）上函数是减函数。xy21log函函数数ylogax，x0a10a1图图像像性性质质 （1）定义域是 ，值域是R （2）当x1时，y0在（0，）内是增函数在（0，）内是减函数 例题解析例题解析 例例1 指出下列对数函数在区间（0，+）内是增函数还是减函数？ （1）y=log3x （2） （3）ylog10 x （4）解解13logyx110logyx （1）因为a31，所以y在区间（0，+）内是增函数。 （3）因为a101，所以y在区间（0，+）内是增函数。 （