第三章_DFT定义及性质2016S

1、1第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFTDFT及快速算法及快速算法n DFT（离散傅里叶变换）（离散傅里叶变换）n定义定义 nDFT与与Z变换以及变换以及DTFT的关系的关系n性质性质2DFS提供了一种对离散时间傅氏变换作数值计算提供了一种对离散时间傅氏变换作数值计算的技巧，它在时域和频域都是周期的的技巧，它在时域和频域都是周期的，但在实际但在实际中大多数信号不具有周期性，它们很可能具有有中大多数信号不具有周期性，它们很可能具有有限持续时间限持续时间对这些信号，怎样探讨一种可数值计算的傅氏表对这些信号，怎样探讨一种可数值计算的傅氏表达式？达式？理论上，可通过理论上，可通过构造一周期信

2、号构造一周期信号，其基本形状其基本形状为有限持续时间信号，然后计算此周期信号的为有限持续时间信号，然后计算此周期信号的 DFS实际上，这也就是定义了一种新的变换，称为实际上，这也就是定义了一种新的变换，称为离散傅氏变换（离散傅氏变换（DFT），它是），它是 DFS 的主周期的主周期DFT 是对任意有限持续时间序列可数值计算是对任意有限持续时间序列可数值计算的傅氏变换的傅氏变换3.3 3.3 问题的提出问题的提出 3( )()( )Nrx nx nrNx n( )( )( ) Nx nx n Rn( )( )Nx nNx n长度为的有限长序列周期为的周期序列( ) x n的主值序列( ) x n

3、 的周期延拓关系关系 ?其中其中,3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义周期序列的表示求模运算求模运算:n = n1 + n2 N ，且且 0n1N-1, n2 整数整数( )NnnN表表示示模模43.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义若 n=n1+n2N 成立，且 n1 满足 0n1N-1，则把 n1 称做 n 对N的模数，用符号 (n)N 表示，即：n 模 N=(n)N=n1，也就是 n 对 N 取余数。例如例如 是周期为 N=6 的序列，求 n=19及 n= -2 两数对N的余数。解： n=19=1+36 ， (19)6=1n=-2=(-1)6+4 ，(-2)6=4即

4、：( )x n 6(19)(19)(1)xxx 6( 2)( 2)(4)xxx 012354215(21) = (1)(25) = (5)xxxx3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义 p89p89( )()( )nrNNxnxxrInn周期延拓序列周期延拓序列再如，再如，N=20( )( )( )NX kX k Rk( )()( )rNNX kX krXkkI同样：同样：X(k)也是一个也是一个N点的有限长序列点的有限长序列6Matlab 求模值：求模值：函数函数 rem(n,N) 确定确定 n 对对 N 的模数的模数当 n0时，此函数可用来实现模 N 运算；但 n0 时，为得到正

5、确值，需要对结果进行修正，这由下面的 m=mod(n,N) 函数完成。在此函数中，n 可以是任意整数数组，数组 m 返回 n 的模 N 值 Function m=mod(n,N) % 计算 n 对 N 的模 m=(n mod N) m = rem(n,N); m = m + N; m = rem(m,N);3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义7在无混迭的情况下，如何把在无混迭的情况下，如何把 DFS 变成变成 DFT ?1010()()1()()NknNnNknNkXkx n Wx nXk WN DFS:3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义2jNNWe 因无混迭，则时域

6、中一个周期的主值序列对应因无混迭，则时域中一个周期的主值序列对应于频域中一个周期的主值序列于频域中一个周期的主值序列从从DFS的时域和频域中各取出一个周期，即的时域和频域中各取出一个周期，即得得到有限长度离散序列的时域和频域傅氏变换到有限长度离散序列的时域和频域傅氏变换8 有限长序列的有限长序列的 DFT 正变换和反变换：正变换和反变换：1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN 2jNNWe其中：其中：1010( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )NnkNNN

7、nNnkNNNkX kx n WRkX k Rkx nX k WRnx n RnN DFT3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义或或注意：注意：从工程角度看，从工程角度看，DFS 和和 DFT 的表达式没有本质区别的表达式没有本质区别 9 不仅浓缩了不仅浓缩了 的全部内容，同时也浓的全部内容，同时也浓缩了缩了 的全部内容的全部内容 能够如实、全面地表示能够如实、全面地表示 的频域特征，的频域特征，所以所以 DFT DFT 具备明确的物理含义具备明确的物理含义 ( )X k1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkN

8、x nIDFT X kX k WnNN ()jX e( )X k( )x n( )X k3.3.1 DFT 定义定义DFT DFT 意义意义10 001 0(1) 00 11 1(1) 10(1)1 (1)(1) (1)(0),(1),(1)(0),(1),(1)TTNNNNNNNNNNNNNNNxxxx NXXXXNWWWWWWWWWW n DFT的矩阵表示形式的矩阵表示形式若令：若令：*111TXW xWxxWXWXNN 则：则：3.3.1 DFT 3.3.1 DFT 定义定义11由上面的讨论可知，由上面的讨论可知，在在 0nN-1 上，上，DFS 和和 DFT 相同相同因此，可用类似的方

9、法实现因此，可用类似的方法实现 DFT。把原先名为把原先名为 dfs 和和 idfs 的的 Matlab 函数改名为函数改名为 dft 和和 idft 函数，函数，即可实现离散傅氏变换即可实现离散傅氏变换 DFT实际中，我们用的更多的是实际中，我们用的更多的是 DFT 的快速算法的快速算法 FFT，见后续内容，见后续内容3.3.1 DFT 定义：定义：Matlab 实现实现12序列序列 x(n)的的 Z 变换在单位圆上进行变换在单位圆上进行 N 等分，即等分，即 2 /N，就是序列的，就是序列的DFT变变换。换。( (取样）取样）Z 变换和变换和 DFT的关系是的关系是取样和内插取样和内插的关

10、的关系，这在实际应用中很重要。系，这在实际应用中很重要。3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插13nDFTDFT为单位圆上的取样为单位圆上的取样 Z Z 变换变换n设设 x(n) 为一个长度为为一个长度为N的有限长序列，则有：的有限长序列，则有：10( )()()NnnnnXzx n zx n z 10()( )( )NjjnnX ex n eDTFT x n 2021( )( )( )()( )jkkNNkzNnkNnjWeNX kx n WX zX eDFT x n 0,1,1kN 3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插14R

11、 Re eI Im m2 kN2N2jkNe2jNe1Z Z平面n 从从 DTFT 的角度看：的角度看：有限长序列的有限长序列的 DFT 结果包结果包含了含了 N 个离散频率点处的个离散频率点处的 DTFT 结果，这个离散结果，这个离散频率点等间隔地分布在区间频率点等间隔地分布在区间 0，2) 内；内；n 从从 Z 变换的角度看：变换的角度看： DFT结果包含了结果包含了 z 平面上平面上 N 个离散点处的个离散点处的 Z 变换结变换结果，这果，这 N 个离散点均匀地个离散点均匀地分布在单位圆上，由此也分布在单位圆上，由此也称称DFT为单位圆上的取样为单位圆上的取样 Z 变换。变换。 3.3.

12、2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插15频域取样定理：若序列长度为 M，则只有当频域采样点数 N 满足 NM 时，才有:即可由频域取样 X(k) 不失真地恢复原信号 x(n)，否则产生时域混叠现象。此时可由 N 个取样值 X(k) 内插恢复出 X(z)或 X(ejw)。( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X k Rnx n 3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插时域取样定理：时域取样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时在满足奈奎斯特定理条件下，时域取样信号可以不失真地还原原连续信号。域取样信号可以不失真地还原原连续信号

13、。频域取样频域取样情况如何？取样条件？内插公式？情况如何？取样条件？内插公式？161100111001101010101( )( )1( )(1( )11)11( )1( )( )1()NNnnnnNNknNknNNkkNNnkNkNkNkNkNkNNkNX zx n zzX kWzNzX kNWzX kX kX k WNzWNzW zW Z 域内插公式域内插公式：由 DFT X(k) 可以确定 z平面上任一点处的 X(z)3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插z 平面平面内插内插公式公式 11 1( )1NNzzz 内插函数内插函数 17内插函数的零极点分布内

14、插函数的零极点分布极点：极点：(N-1)阶极点阶极点z = 0； 一阶极点一阶极点 z=1； 零点：零点：N 个一阶零点个一阶零点: 抵消：抵消：z=1 处的一阶极点和一阶处的一阶极点和一阶零点互相抵消零点互相抵消，一阶零点数量变一阶零点数量变为为 （N-1）个。）个。 3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插(z) 的零、极点分布的零、极点分布 111 111( )1(1)NNNzzzNzN zz 2 , 0,1,2,(1)ljNlzelN 零、极点零、极点互相抵消互相抵消1811012012220222212211()( )111( )( 1)( 111( )

15、 sin()12( ) 12sin()()2jNNjkkNz ejNNkjkjNNNNjjjNkkkjjjjjkkjkNNNNjkjNzX eX kNWzeX kNeeeeeX kNeeeeeeNeX kkNeN 10Nk 3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插频域内插公式频域内插公式：由频域取样 DFT X(k) 表示 DTFT X(ejw)1922112012()22102sin()12( )12sin2sin()212()21( )sin()2NkjNNNkjkNNkkjNNkeNX kkNeNX kNNkNekN 11002()()()()kNNjkkk

16、X eX kX kN 12sin12( )( )sin2jNjz eNezN 即即:其中其中:频域内插函数频域内插函数 频域内插公式频域内插公式 3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插20(z) 的零、极点分布的零、极点分布 零、极点零、极点互相抵消互相抵消3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插频域内插函数的零极点分布根据(z) 的零极点分布规律可知：(零极点对系统频率响应的影响)极点：ej 到极点 z=0 的距离恒为1，对 幅频特性没有影响零点：在区间 0, 2 内，|()| 存在(N-1)个零点存在存在 (N-1)个个极值点极

17、值点，分别为：0 (21), 1,2,(2)kkNN 2, 1,2,(1)kkNN 213.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：变换的关系： 频域内插频域内插22频域内插的物理含义频域内插的物理含义 k0N-N 2()|jkNX kXe nN0 ( )rx nx nnrN -Nnx(n) 0()jX e 22 ()()()Nx nx nRn ()()()jNX eDTFTx nDTFTRn n 只有当只有当频域取样点数频域取样点数 N 大于序列长度大于序列长度 M 时，时， 中不会出现混迭中不会出现混迭现象，这时能够从现象，这时能够从 中如实恢复中如实恢复 x(n)，即能够由，即能够由 X(

18、k) 准确重建准确重建 X(z) 和和 X(ejw)。n 对序列作对序列作 DFT 变换点数不应低于序列的长度。变换点数不应低于序列的长度。n X(k) 浓缩了浓缩了 x(n) 在变换域中的全部特性。在变换域中的全部特性。( )x n ()x n3.3.2 DFT 与与 Z 变换的关系：频域内插变换的关系：频域内插23DTFT是单位圆上的是单位圆上的 Z 变换变换DFT为单位圆上的取样为单位圆上的取样 Z 变换变换24n 这里，序列长度及这里，序列长度及 DFT 点数均为点数均为 Nn 若不等，分别为若不等，分别为 N1、N2，则需补零使两序列长度相等，均，则需补零使两序列长度相等，均为为 N

19、，且，且12max,NNN 11( )( )X kDFT x n 22( )( )XkDFT x n 若两序列若两序列 x1(n) 和和 x2(n) 的长度均为的长度均为 N，且其，且其 N 点点 DFT 分别为：分别为：1212( )( )( )( )DFT ax nbx naXkbXk 则：则：3.3.3 DFT 3.3.3 DFT 的性质：的性质：线性线性a, b 为任意常数为任意常数25 循环反转循环反转：如果如果 x(n) 是长度为是长度为 N 的序列的序列，则称，则称 x(-n)N 为为 x(n) 的的循环反转运算(0) ()() 1,. .,1 0 Nxnxnx NnnN 3.3

20、.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：反转定理反转定理 循环反转运算是有限长序列所特有的一种运算，其结果仍然是集合循环反转运算是有限长序列所特有的一种运算，其结果仍然是集合 0, 1, ., (N-1) 上的有限长序列，上的有限长序列，特别注意特别注意 n=0 n=0 时情况时情况 一种计算方法：一种计算方法： 1）补零为）补零为 N； 2）周期延拓；）周期延拓；3）纵轴镜像；）纵轴镜像；4）取主值序列）取主值序列5()xn 26()101()011()0010)()(),01() ( )( )( )()NNnkNNNnNlNr kNNrNNrkrkNNrrNrNNrkDFT xnxn

21、WrNx lNrWx r Wx r WnlNrx r WXk 令令()()DFTNNxnXk 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：反转定理反转定理 循环反转的循环反转的DFTDFT若若( )( )DFTx nX k 则则证明：证明：K=0,N-127( )( )()()Nx nx nx n mx n m 周期移位取主值延拓序列3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位称其为循环移位的原因在于，当称其为循环移位的原因在于，当序列序列从从一端移出范围一端移出范围时，移出的部分又会时，移出的部分又会从从另一端移入该范围另一端移入该范围线性移位线性

22、移位：若若 N 点序列沿一方向点序列沿一方向线性移位线性移位，它将不再，它将不再位于区间位于区间 0nN-1 上上 ()( )x n mNx n 是是的的称称循环移位运算循环移位运算283.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位又称为又称为圆周移位：圆周移位：把把x(n)x(n)看作排列在看作排列在N N等分的圆周上，循环移位就相当等分的圆周上，循环移位就相当于序列于序列 x(n) x(n) 在圆周上移动，故称为圆周移位（左移在圆周上移动，故称为圆周移位（左移- -顺时针，逆时针顺时针，逆时针读数）。实际上重复观察几周时，看到的就是周期序列读数）。实际上重

23、复观察几周时，看到的就是周期序列 29例例 设设 x(n) = 10(0.8)n， 0n10 为为 11 点序列点序列a) 画出 x(n+4)11， 也就是向左循环移位 4 个样本的序列；b) 画出 x(n-3)15， 也就是假定 x(n) 为 15 点序列，向右循环移位 3 个样本解： a)3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位-50510150246810Original x(n)n-50510150246810Periodic extentionn-50510150246810Periodic shiftn-50510150246810Circu

24、lar shiftn12330首先给首先给 x(n) 后后填充填充 4 个零个零，将其看作一个，将其看作一个 15 点序列点序列 序列的周期N是非常重要的一个参数3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位010200246810Original x(n)n010200246810Periodic extentionn010200246810Periodic shiftn010200246810Circular shiftn12331Matlab 循环移位函数循环移位函数为了实现循环移位，可以在时域中对变量为了实现循环移位，可以在时域中对变量 (n-m) 实

25、行取模实行取模 N 运算运算function y = cirshftt(x, m, N)% Circular shift of m samples wrt size N in sequence x: (time domain)% -% y = cirshftt(x,m,N)% y = output sequence containing the circular shift% x = input sequence of length N error(N must be = the length of x)endx = x zeros(1,N-length(x); 在序列在序列 x(n) 后面补

26、零后面补零n = 0:1:N-1;n = mod(n-m,N); 对变量对变量 （n-M）进行模）进行模 N 运算运算y = x(n+1);3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位32例例 给定给定 11 点序列点序列 x(n) = 10(0.8)n， 0n10 ，求出并画出，求出并画出 x(n-6)153.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：序列的循环移位序列的循环移位0510150246810Original sequencenx(n)0510150246810Circularly shifted sequence, N=15nx(n-6

27、) mod 15)n = 0:10; x = 10*(0.8) . n;y = cirshftt(x, 6, 15); n = 0:14; x = x, zeros(1,4);subplot(2,1,1); stem(n,x); title(Original sequence)xlabel(n); ylabel(x(n); axis(-1,15,-1,11)subplot(2,1,2); stem(n,y); title(Circularly shifted sequence, N=15)xlabel(n); ylabel(x(n-6) mod 15); axis(-1,15,-1,11)33

28、结论：结论： 有限长序列的循环移位，在离散频域中只引入了一个有限长序列的循环移位，在离散频域中只引入了一个和频率成正比的线性相移和频率成正比的线性相移 ，对幅频特性没对幅频特性没有影响有影响()( )( )DFTmkNNNx nmRnWX k ()( ) ()( ) ()( )( )( )( )NNNNmkNNmkNDFT x nmRnDFT x nm RnDFS x nm RkWX k RkWX k 循环移位后的循环移位后的DFTDFT若若( )( )DFTx nX k，则，则证明：证明：2jmkmkNNWe 34时域序列的调制对应于频域的循环移位时域序列的调制对应于频域的循环移位()( )

29、( )IDFTnlNNNXklRkWx n ()( )()( )()( )( )( )( )NNNNnlNNnlNIDFT XklRkIDFT X kl RkIDFS X kl RnWx n RnWx n 频域循环移位后的频域循环移位后的IDFTIDFT 频域循环移位后的频域循环移位后的 IDFT（调制特性调制特性）：由 DFT 所具有的对偶特性对偶特性不难看出，在频域内循环移位时，将有类似的结果，即：证明：证明：3521( )cos()()2NNnlDFTx nXklXklN 21( )sin()()2NNnlDFTx nXklXklNj 221()()21( )( )( )222( )si

30、nNNjnljnlNNnlnlNNIDFTXklXkljeeWx nWx nx njjnlx nN 证明：证明：3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：频域循环移位后的频域循环移位后的IDFTIDFT36对于周期序列，我们有：对于周期序列，我们有： 其中：其中： 共轭偶对称共轭偶对称 共轭奇对称共轭奇对称( )( )( )eox nx nx n)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo( )( )( )( )(Noeoex nx nx nx nRx nnx n3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：对称性对称性1( )( )()2oNNx nx nxn

31、对于有限长序列，则作类似分解：对于有限长序列，则作类似分解： 共轭偶对称共轭偶对称 共轭奇对称共轭奇对称1( )( )()2eNNx nx nxn0,.,1nN37( )( )( )eoX kXkXk3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：对称性对称性1( )( )()2oNNXnXkXk1( )( )()2eNNX kX kXk0,.,1kN同理：同理： 383.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：对称性对称性 1( )()2()( )3 Re ( )( )( ) XIm( )( ) X( )Re( )6( )Im( )NNeoeoDFTxnXkxnXkxx nXnX

32、kjx nXkx nX kx njXkk ） ( (k k) )的的共共轭轭偶偶对对称称部部分分4 4） ( (k k) )的的共共轭轭奇奇对对称称部部分分5 5）若若，则则 *7( )()Re( )Re( )Im( )Im()arg( )arg()() (NNNNX kXkX kXkX kXkX kXkx n 若若为为实实序序）8 8列列，）则则9 9）1010）39利用共轭对称性，可以用利用共轭对称性，可以用一次一次DFTDFT运算来计算两个实运算来计算两个实序列的序列的DFTDFT，减少计算量减少计算量例例设 、 都是实序列，试求：都是实序列，试求： )(1nx)(2nx)()()()(

33、2211kXnxDFTkXnxDFT)()()(21njxnxnw解：先利用此两序列构成一个复序列解：先利用此两序列构成一个复序列12( )( )( )( )DFT w nW kDFT x njxn)()()()(2121kjXkXnxjDFTnxDFT40 同理同理)(Im)(2nnx211( )( )( )() 2oNNXkWkWkWkjj 所以用一次所以用一次DFT求出求出 后，按上述公式就可以求得后，按上述公式就可以求得 、( )W k)(1kX)(2kX 又)(Re)(1nwnx 故故1( )Re ( )( )eX kDFTw nW k1( )() 2NNWkWk41 有限长序列的有

34、限长序列的 DFT 变换对：变换对：0101( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NNnkNNnknkx nX kDFT x nx n WkIDFT X kX k WNnNN 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质的性质: : 能量能量1122001( )( )NNnkx nX kN 42112012( )( )( )()( )NmcNx m xy nx nn mx nRn 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积 循环卷积定义：循环卷积定义：设设 x1(n) 和和 x2(n) 都是长度为都是长度为 N 的有限长序列，的有限长序列，把它们分别拓展为

35、周期序列把它们分别拓展为周期序列 和和 ，定义循，定义循环卷积为：环卷积为： 周期序列卷积后取主值周期序列卷积后取主值1x 2x 43因为上式的求和范围是因为上式的求和范围是 m 由由 0 到到 N-1，因此，因此第一个序列第一个序列 x1(m) 可以不作周期拓展可以不作周期拓展，即循环卷积将区间限制在循环卷积将区间限制在 0nN-1，结果仍为，结果仍为 N 点序列点序列它与线性卷积的不同点在于它与线性卷积的不同点在于求和范围求和范围和和 N 点循点循环移位环移位它与它与 N 有关，也叫做有关，也叫做 N 点循环卷积点循环卷积1120( )()()( )NcNNmy nx mxnmRn 有有限

36、限长长序序列列对对应应周周期期序序列列用 或表示循环卷积N窗函数限定窗函数限定了循环卷积了循环卷积的范围的范围3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积44(0)(0)(1)(1)(1)(1)(0)(2)(0)(1)(1)(1)(1)(2)(0)cccyhh Nhyhhhxxx Ny Nh Nh Nh10( )( ) ()NcNmy nx m h n m 可见，可见， 仍然是集合仍然是集合 上的有限长序列上的有限长序列 ( )cy n0,1,(1)N 45循环卷积过程：循环卷积过程： 1）补零，等长）补零，等长 2）周期延拓）周期延拓 3）反转，取主值序列）反转，取主

37、值序列 （循环反转）（循环反转） 4）对应位相乘，然后求和，）对应位相乘，然后求和， 得到得到n=0时的卷积结果时的卷积结果 5）向右）向右循环移位循环移位 6）重复，）重复，n=1(N-1)mx2(m)mx1(m)00NNmx2(0-m)N0Nmx2(1-m)N0Nn0N12()()()cynxnxn注意注意 n=0 时的循环反转时的循环反转1120( )()()NcNmy nx m xnm 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积46循环卷积的时频映射关系循环卷积的时频映射关系由由 DTFT 的性质可知，两个序列时域上的的性质可知，两个序列时域上的线性卷积线性卷

38、积运算在频域上表现为两个序列运算在频域上表现为两个序列 DTFT 结果的乘积结果的乘积 同样的，同样的，若若则 即 当在频域中进行两个当在频域中进行两个 N 点点 DFT 相乘时，相乘时， 在时域中映射为循环卷积！在时域中映射为循环卷积！)()(, )()(2211kXnxkXnxDFTDFT1212( )( )( )( )DFTx nx nX k X k 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积47101112001112001120112012( )( )()()()()()( )()( )( )( )NknckNNknNnmNNknNmnNmkmNmkmY k

39、yn Wxm xnmWxmxnmWxmWXkxm WXkXk Xk 证明：证明：3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积48利用时域、频域的对偶性可得利用时域、频域的对偶性可得频域循环卷积频域循环卷积1210121( )()1( )( )NNlXl XklNX kXkN 12( )( )( )y nx nx n 若若10( ) ( )( )NnkNnY kDFT y ny n W 则则3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积循环卷积！49n 时域循环卷积可在频域中完成时域循环卷积可在频域中完成3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循

40、环卷积循环卷积由于由于DFTDFT和和IDFTIDFT所具有的快速计算方法，图中所具有的快速计算方法，图中给出的处理过程具有较小的运算量给出的处理过程具有较小的运算量 501) 同心圆法同心圆法2) 利用求周期卷积的作图法利用求周期卷积的作图法3) 解析式法解析式法4) Matlab 方法方法循环卷积计算方法循环卷积计算方法51同心圆法可用两个同心圆来表示：可用两个同心圆来表示：x1(n) ：内圆顺时针内圆顺时针方向排列方向排列 x2(n) ：外圆逆时针外圆逆时针方向排列方向排列x1(0) 与与 x2(0) 对齐对齐3121120( )( )( )( ) ()NNmx nx nx nx m x

41、n m 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积计算方法循环卷积计算方法11 ( )x10( )x12( )x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)x2(2)xN 2(1)xN 52两圆上对应数两两相乘两圆上对应数两两相乘后求和，得后求和，得 x3(0) 将将x2(n-m)移位一位，移位一位，即即外圆顺时针转动一位外圆顺时针转动一位，重复（重复（1）步骤，得）步骤，得x3(1) 依次下去，求得依次下去，求得 3( ),01x nnN 3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积计算方法循环卷积计算方法11 ( )x10( )x12( )x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)x2(2)xN 2(1)xN 2(4)x53作图法作图法 1）x1(m) 和和 x2(m) 在在 m 轴上周期延拓轴上周期延拓，成，成 周期为周期为N 2）将）将 反转反转 3）计算）计算周期卷积周期卷积 4）取）取 一个周期，得到一个周期，得到12(),()x m x m2()x m 2()xm 13120( )()()Nmxnxm xnm 3( )x n 3( )x n3.3.3 DFT3.3.3 DFT的性质：的性质：循环卷积计算方法循环卷积计算方法541524 ( )(5)( )