北航有限元第5讲__结构单元

1、北京航空航天大学 第5讲 结构单元金朝海北京航空航天大学第5讲 结构单元5.1 结构力学问题结构力学问题5.2 杆件单元杆件单元轴力杆单元轴力杆单元弯曲梁单元弯曲梁单元一般杆件单元一般杆件单元5.3 板壳单元板壳单元板单元板单元壳单元壳单元北京航空航天大学5.1 结构力学问题l杆件和板壳结构在工程中广泛应用。l特点：杆件两个方向的尺度比其它方向小得多板壳一个方向的尺度比其它方向小得多l杆件和板壳结构在分析时可以根据其特性进行一定的简化。当然，简化后仍然包括三大类基本方程和两类边界条件，只是表达形式一般与通用表达式有所不同。以平面细长梁的弹性纯弯曲为例进行说明。北京航空航天大学其它应力分量很小，

2、忽略不计平面细长梁的弹性纯弯曲梁的形状与尺寸由其轴线与横截面确定。梁的变形可用横截面形心的线位移及截面的转角（角位移）描述。北京航空航天大学三大类基本变量位移： 轴线的挠度轴向应力：轴向应变：( ,0)v x y xxv (x)y注：中面上没有弯曲应力北京航空航天大学FQy +dFQyFQy Fy=0: FQy+q dx- FQy -d FQy =0Mc=0: -Mz+(Mz+dMz)- FQy dx-q dx .dx /2=0 平衡方程北京航空航天大学几何方程v (x)y1dddsdxdvtgdx 22ydyyydxd vydx 横截面的转角dvdx细长梁北京航空航天大学EEy Ay dAM

3、1MEIMyI 221dd vdxdx22dd vMEIEIdxdx物理方程北京航空航天大学结构力学问题的有限元分析l原则上，可以使用2D、3D实体单元分析杆件和板壳结构问题，但存在一定的困难。为了获得一定的计算精度，单元划分时必须保持单元在各个方向上尺度相近，这样导致单元总数过分庞大，计算效率过低。l关于杆件和板壳结构，如前所述，通常是根据结构的特点在应变和应力方面引入一定的假定，对问题进行简化，从而构造适合杆件和板壳结构分析的单元。l结构单元是杆件单元和板壳单元的总称。北京航空航天大学5.2 杆件单元l轴力杆单元l弯曲梁单元l一般杆件单元北京航空航天大学轴力杆单元（2节点）12ePPP几何

4、方程：物理方程：( ( )( )eu x Nq( )( )ex Nx12euuq北京航空航天大学111 1( /2)( )( )1 1TeEALEAdLKBB11( ) LL B( ) EELL S( )( )TTeepexxSb dVp dAPNN( )(1)/2 (1)/2N北京航空航天大学弯曲梁单元（2节点）l基于Kirchhoff假设的经典梁单元 （不考虑剪切变形的细长梁单元）l考虑剪切变形的梁单元经典梁理论基础上引入剪切变形 截面转动和挠度仍然相关（C1）Timoshenko梁单元 挠度和截面转动独立插值（C0）北京航空航天大学两种梁弯曲理论的比较不同点： 经典梁理论 考虑剪切变形的

5、梁理论dvdx dvdx dvdx共同点：平面假定北京航空航天大学经典梁单元(细长梁)22d vydx MyI 1122evvq1122eFMFMP北京航空航天大学231234( )v xaa xa xa x位移插值函数位移插值函数节点位移条件节点位移条件1122(0)(0) ( )( )vvvv Lvv L112221213321214333222avavvLLaLLLvvaL( )ev x Nq1122evvq北京航空航天大学11123422( ) evv xNNNNvNq北京航空航天大学梁的曲率式中B矩阵22221eed vddxdxNqBq北京航空航天大学单元应变能0002222000

6、1112211122112212eeTTLeTSTLLTTLLTeeLeTeMyMyUdVdAdxIEIddMMdxEIdxEIdxdxd vd vEIdxEIdxdxdxEI dx BqBqqBBq22dd vMEIEIdxdx北京航空航天大学单元刚阵0LeTEI dxKBB北京航空航天大学考虑剪切变形的梁单元（非细长梁）l只有当梁的高度远小于跨度时（只有当梁的高度远小于跨度时（一般一般l/h5为细长梁，为细长梁，其计算误差满足工程精度其计算误差满足工程精度 ），才能忽略横向剪切变，才能忽略横向剪切变形的影响。而高粱的情况下，梁内的横向剪切力将形的影响。而高粱的情况下，梁内的横向剪切力将产生

7、剪切变形并引起梁的附加挠度，使原来垂直于产生剪切变形并引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，但仍假定截面中面的截面变形后不再和中面垂直，但仍假定截面保持平面。保持平面。经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元（经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元（C1）挠度和转角独立插值的挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元（梁单元（C0）20201 221LLeUGAdvdxkdxxEIddxd修正系数北京航空航天大学经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元11121222 bbbebbvdvdvdxdxvq( )bebbvx N q对于弯曲引起的挠度，采用经典梁的三次多项式插值函

8、数：参见经典梁的表达形式北京航空航天大学12( )svxaa x位移插值函数位移插值函数节点位移条件节点位移条件12(0)( )ssvvv Lv11212sssavvvaL( )sessvx N q12sessvvq1 sxxLLN对于剪切引起的附加挠度，采用线性插值函数：sdvdvdxdx剪应变北京航空航天大学20021212LeLUEIdGAdxkxddx根据 可以 导出单元刚阵剪切变形使梁的刚度减弱当梁的高度h远远小于梁的跨度l 时，剪切变形的影响可以忽略2232212 6 12 66 (4+ ) 6 (2)12 6 12 6(1)6 (2) 6 (4)eLLLb LLb LEILLb

9、LLb LLb LK北京航空航天大学挠度和转角独立插值的挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元梁单元11121222 vvNNNNv采用线性插值函数，可以得到：121211(1)esdvxxvvdxLLLL B q剪应变12 1 xxNNLLN梁的曲率1211ebddxLL B q11 (1) sxxLLLL B110 0 bLLB1122evvq北京航空航天大学单元刚阵形式111122eeeTTbsbbssEILkGALddKKKB BB B0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1ebEILK22221 1 22 23261 1 22 2623esLLLLLLGALL

10、kLLLLLK2020112 2LeLGAdUEIdxdxkdx2()2LxL令北京航空航天大学l当 h/l 趋于0时（即梁很薄）时，希望剪应变为零121221112111(1)()()0dvxxxvvvvdxLLLLLL 要使该式在梁单元内恒成立，不仅常数项为零，还必须一次项为零，因此要求121122( )1 xxxLL从而这意味着梁不能发生弯曲，与真实情况相违背，这种现象称为剪切锁死(shear locking)。北京航空航天大学在剪切应变的表达式中， 和 的函数表达式不是相同的阶次，无法恒满足细长梁的约束条件0dvdxdvdx关于剪切锁死换句话说，在梁很薄的情况下，不适当地夸大换句话说，

11、在梁很薄的情况下，不适当地夸大了剪切应变能的量级造成了剪切锁死现象。了剪切应变能的量级造成了剪切锁死现象。克服“剪切锁死”，可以采用的方案 减缩积分（reduced integration） 假设剪切应变（assumed shear strains）北京航空航天大学关于减缩积分111122eeeTTbsbbssEILkGALddKKKB BB B在计算 的积分时，不采用精确积分，而用一点积分（单元的中心）来计算，这样相当于将原来的线性变化关系改为常数(中点平均值)，使得 和 保持同阶，就有可能做到使细长梁的约束条件 恒得到满足。esKdvdx0dvdx如此，考虑剪切变形的如此，考虑剪切变形的T

12、imoshenko梁单元也梁单元也可以用于细长梁的分析。可以用于细长梁的分析。北京航空航天大学剪切应变能项刚度矩阵减缩积分22221 1 22 23261 1 22 2623esLLLLLLGALLkLLLLLK22221 1 22 24241 1 22 2424esLLLLLLGALLkLLLLLK北京航空航天大学一般杆件单元111222euvuvq111222ePFMPFMP轴力杆单元+弯曲梁单元北京航空航天大学弯曲单元采用经典梁单元的情况eK211122北京航空航天大学应用举例：平面杆件系统思路：单元特性分析基于局部坐标系；组装时基于 整体坐标系（经坐标变换）北京航空航天大学平面梁单元的

13、坐标变换111222 Teuvuvq111222 Teuvuvq局部坐标系下节点位移列阵整体坐标系下节点位移列阵注：转角在两个坐标系下相同111111222222cossinsincoscossinsincosuuvvuvuuvvuv =eeqTq同样：=eePTP北京航空航天大学1TTTT正交矩阵=eeqTq=eePTP变换矩阵T=eePTP=eTePT P北京航空航天大学eTeeTeKT K TPT P()eeeeeeTeeTeeTeeeeeeK qPK TqPT K TqT PPT K T qPK qP=eeqTq=eePTP局部整体局部到整体的变换公式北京航空航天大学5.3 板壳单元l

14、板单元两类板弯曲理论基于Kirchhoff理论的板单元基于Mindlin理论的板单元l壳单元壳弯曲理论平板壳元曲面壳元北京航空航天大学板弯曲理论单位长度上的弯矩、扭矩、剪力满足：北京航空航天大学Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）yzwxwyxzwywxxywywx 中面法线绕x轴的转动：中面法线绕y轴的转动：薄板中面的挠度：( , )( , ,0)ww x yw x y z北京航空航天大学直法线假定忽略厚度方向的应力中面无横向变形0 xzyz0z( , ,0)( , ,0)0u x y zv x y z进一步结合直法线假定，可以推论出：( , , )( , , )yxwu x y z

15、zzxwv x y zzzy 0z且直法线保持长度不变北京航空航天大学zxyxyuxvyuvyx222222xyxywzxwzywzx y 几何方程222222wxwywx y 北京航空航天大学PPzD D 物理方程z平面应力问题的弹性矩阵北京航空航天大学xzMindlin板理论 (考虑剪切变形的影响)w ()yywx xz法线保持直线，但不再垂直中面。挠度和转角是各自独立的场函数。北京航空航天大学基于Kirchhoff薄板理论的板单元（4节点） , ,ixiyiw节点参数：xiiyiiwywx 41( , )eiixiyiiiiwww x yN wNNyxNq位移函数：22312345672

16、233389101112( , ) w x yaa xa ya xa xya ya xa x ya xya ya x ya xy北京航空航天大学211221()()21212eeeeeeTTPTPTPTSUdVdVzzdVz dVdxdy D D D D312PtDD北京航空航天大学2222222222( , )22eexxw x yyyx yx y NqBq111 222TTeeeTeTeeeeSSUdxdydxdy DqB DBqq K q刚度矩阵Ke的表达式非常冗长！转角是挠度的导数，要求C1连续性。可以证明这种单元是非协调单元，但能通过分片试验。北京航空航天大学基于Mindlin板理论

17、的板单元（4节点）,ixiyiw节点参数：414141( , )( , )( , )iiixixiiyiyiiw x yN wx yNx yN挠度和转角独立插值，只要求C0连续性推导过程和考虑剪切变形的Timoshenko梁单元相同（省略） 。这种单元也可以用于薄板问题的分析。北京航空航天大学两类板单元的比较lKirchhoff板单元只适合薄板问题的分析lMindlin板单元不仅适合中厚板的分析，经过适当的处理也可以对薄板问题进行分析。北京航空航天大学壳弯曲理论l和板弯曲理论基本一致：Kirchhoff壳理论薄壳Mindlin壳理论中厚壳l不同点：板弯曲不考虑中面的面内变形壳弯曲考虑中面的面内

18、变形壳弯曲例如：北京航空航天大学平板壳元北京航空航天大学 在局部坐标系内建立单元的刚度矩阵，并求出等效节点载荷在局部坐标系内建立单元的刚度矩阵，并求出等效节点载荷 将单元的刚度矩阵和等效节点载荷向整体坐标系转换，并集成将单元的刚度矩阵和等效节点载荷向整体坐标系转换，并集成 求出整体坐标系下的位移向量求出整体坐标系下的位移向量 转换到局部坐标系下的位移向量转换到局部坐标系下的位移向量 局部坐标系下计算应变应力局部坐标系下计算应变应力11121314212223243132333441424344 KKKKKKKKKKKKKKKKK()( ) 0mijbijijKKK()()()()Tmmmmij

19、iidxdyKBDB( )( )( )( )TbbbbijiidxdyKBDB北京航空航天大学关于平板壳元l平板壳元是平面应力单元和平板弯曲单元的组合。平板弯曲单元稍加扩充就可以应用于壳体分析。l然而用折板代替壳体，网格需要合理的密度才能得到满足实际要求的计算精度。l采用曲面壳元能够更好地反映壳体的真实几何形状，通常可以得到比平板壳元更好的结果。曲面壳元北京航空航天大学曲面壳元l基于薄壳理论的曲面壳元需要构造具有C1连续性同时满足完备性要求的插值函数是非常困难的。l基于Mindlin壳理论，构造位移和转动独立插值的曲面壳元，只要求满足C0连续性，自然要容易的多，而且这类壳单元经过适当的处理也可

20、以进行薄壳分析（注意剪切锁死）。l下面介绍一类从三维实体单元退化而来的超参数壳元（最简单的4节点单元） 。北京航空航天大学退化的Mindlin超参壳元1243在三维实体中引入壳体理论假设，将壳体上下表面上一对节点的6个自由度退化为壳体中面上一个节点的5个自由度。北京航空航天大学12iiiiiiiiiiUpDownxxxyyyzzzX33331iiiiiiiiiiiUpDownlxxmyytnzzV节点坐标：节点坐标：节点中面法线单位向量：节点中面法线单位向量：坐标插值函数的构造北京航空航天大学节点中面法线任意点坐标：32iiitXV单元内任意点坐标：431, ,2iiiiitN XXV132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN北京航空航天大学位移函数的构造131131iiiiiilmniVViV222312iiiiiilmnVVV33331iiiiiiiiiiiUpDownlxxmyytnz