自动控制原理教案3

1、第3章 线性系统的时域分析法本章主要内容与重点 典型响应的性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据稳态误差的分析和计算本章主要内容本章主要内容 本章介绍了控制本章介绍了控制系统时域性能分析法系统时域性能分析法的相关概念和原理。的相关概念和原理。包括各种典型输入信包括各种典型输入信号的特征、控制系统号的特征、控制系统常用性能指标、一阶常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系定性及稳定判据、系统稳态误差等。统稳态误差等。本章重点本章重点 通过本章学习，应通过本章学

2、习，应重点掌握典型输入信号重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。差系数的求取等内容。.1 典型响应和性能指标典型响应和性能指标0)0(0()0() ccc一一. .典型初状态典型初状态二典型外作用二典型外作用 1 单位阶跃1（t）)(1 t图3.1 典型外作用 stL1)(11

3、 t=0 0 t=00 t1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根。=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-n01称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特征根=0.75%误差带四 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应s1,2= -nssssscnn1)(1)()(22tnnetscLth)1 (1)()(1欠阻尼二阶系统的动态性能分析欠阻尼二阶系统的动态性能分析n21nn0jcos在图中称为阻尼角无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式（1）延迟时间 的计算dt) 0()1sin(11)(22ttethntn5 . 0

4、)(dth221)cos1sin(2ln1arcttdndn在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合方法，当阻尼比在欠阻尼时ndt22 . 06 . 01ndt7 . 01或（2）上升时间 的计算rt21ndrt0)1sin(1)1sin(11)(222rnrntrttethrn（3）峰值时间 的计算pt0sin0sin1)(2pdpdtnttttedttdhpnp,2, 0pdt21,ndppdtt（4）超调量 的计算%221/221/221)(1)sin()sin(11)1sin(11)(ethetethppntppn%100%21/e根据超调量的定义，并考虑到1)(h%5 .

5、1%4 .25%8 . 04 . 0P.83 图3-13 给出了欠阻尼二阶系统阻尼比与超调量之间的关系。（5）调节时间 的计算 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。st在 ，误差带 时，可用以下近似估算公式：8 . 0%505. 0nst5 . 3也可以用以下公式估算：%511ln31%211ln4122nnst) 9 . 00 (%53%24nnst二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：ndt22 . 06 . 01ndt7 . 01或21ndrt21ndpt%100%21/e) 9 . 00 (%53%24nnst实际上，上述各项性能指标之间的存在矛盾，例如上

6、升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）)(1%,20%stppKsrdttt)(sC)(sR) 1( ssKs1KsKsKsRsCs)1 ()()()() 1 (2KKKn21) 2 (456.0)1(ln)/1ln(%,100%)3(221/2pppe)/(53.31)4(2sradtpn178. 01246.12) 5(2KKnn)/(14. 31)(097. 1cos) 6(2sradradarcnd)(374. 07 . 01stnd)(651. 012stndr%5)(864. 13%2)(485. 24sstnns过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析

7、 过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。1过阻尼)0(1/1/1)(21/12/21tTTeTTethTtTt动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式ndt22 . 06 . 011（1）延迟时间 计算dt21212122/2)/(1,112TTTTTsTsssnn（2）上升时间 计算 p.86

8、 图3-16 rtnrt25 . 111211TTTts（3）调节时间 计算 p.86 图3-17st12175. 41/1TtTTs)(sc)(sr) 1(TssK例：角度随动系统如图所示，设 K 为开环增益，T=0.1 (s)为伺服电动机的时间常数。若要求：单位阶跃响应无超调，而且 ，求K的取值、系统的延迟时间和上升时间)(1 sts解：因为考虑系统尽量快的无超调响应，则可选阻尼比为临界阻尼1175. 4Tts01)(1/)(222TKsTssDTKsTsTKKsTsKs5 . 2,2510,10)/(5, 1,1012, 1 . 02KKKTKsradTTnnn21221212211,1

9、1111TTTTsTTsTsTsn2 . 051121TT)(95. 02 . 075. 475. 41sTts)(36. 058 . 12 . 06 . 012stnd)(70. 055 . 35 . 112stnr22222222222) 12 (2)(/2/2112)(nnnnnnnnnnsssssssssssC二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应) 0()2sin(112)(2ttettcdtnnn（1）欠阻尼单位斜坡响应dptdttde0)(nssttc2)()2sin(112)()()(2tetctrtedtnnn)2sin(11)(2tetcdtnttnnsssssstc

10、ttctrte2)()()()()211 (21112sin112)2sin(112)(2222pnpnpnpntntnntnntnnpeeeete%)5(3nstnssttc2)(tnnttnettc2112)(tnnnnettctte21122)()() 0(21122)(tetttctnnnn（2）临界阻尼单位斜坡响应%)5(1 . 4nst（3）过阻尼单位斜坡响应) 0(1212121212122)() 1(222) 1(22222teettctntnnnn) 0(1212121212122)()()() 1(222) 1(22222teetctrtetntnnnnnsse2P.89

11、例3-3)2() 5 .34(5)(2nnAssssKsG1500,200,5 .13,5,5/25.17AAnAKKK（1）改变开环增益就相当于改变了系统阻尼比，单位阶跃响应的超调量和单位斜坡响应稳态误差对阻尼比的要求正好相反，难以折衷；（2）若能选择某个开环增益，满足稳态与动态要求，但难以满足扰动作用下的稳态误差要求；（3）在有些系统不能降低系统的开环增益来换取较小的超调量。二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制 测速反馈控制（1）比例-微分控制)(sC)(sR)2(2nnss1sTd)(sE)(th1t2t5t4t3t1t2t5t4t3t)(te)

12、(te 以角度随动系统为例(a)比例控制0，t1) 系统阻尼小，修正转矩过大；输出超调t1 , t3) 转矩反向，起制动作用，但惯性与制动转矩不够大，仍超调t3 ,t5) 误差又为正，修正转矩又为正，力图使输出趋势减小(b)控制措施：附加误差的微分量 0，t2) 内减小正向修正转矩，增大反向制动转矩； t2 , t4) 内减小反向制动转矩，增大正向修正转矩理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响2/,) 12/() 1()(nndKsssTKsG)2() 1()(2ndnsssTsGzTzsszsTzszszsTzsTsTsTsTssTsGsGsnddnndndnnnnndnnndndndnn

13、dndn212)()2/( 2)() 2/( 2)/ 1() 2/( 2) 1()(1)()(22222222222222有零点二阶系统zTzsszsTzsGsGsnddnndndn212)()(1)()(2222比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系统的阻尼比。适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。1d)/1(arg)/(1arg22ddnddntgztgsssszsssssszszsRsGsGsCnndnnndnnndn1211)2(12)()()(1)()(222222222) 0()1sin(121)(2222tte

14、zzthdntdnndndP.92 给出了：（1）求上升时间的关系曲线；（2）峰值时间；（3）超调量；（4）调节时间 结论：（1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；（2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；（3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。 1)2/(12)(2ntnntnKssKsGntKK2（2）测速反馈控制)(sE)(sC)(sR)2(2nnsssKt开环增益2222)(nntnsssnttK21结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例

15、-微分控制是不一样的；（3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。P.94 例 3-5 给出无测速反馈和有测速反馈控制的性能指标P.95 给出比例-微分控制与测速反馈控制的各自的优缺点3-4 控制系统的稳定性和代数判据控制系统的稳定性和代数判据一一.稳定性的定义稳定性的定义 如小球平衡位置如小球平衡位置b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b点到点到 点，外力作用去掉后点，外力作用去掉后,小球围绕小球围绕b点点作几次反复振荡作几次反复振荡,最后又回到最后又回到b点点,这时小球这时小球的运动是稳定的。的运动是稳定的。abcb b 如小球的位置在如小球的位置

16、在a或或c点点,在微小扰动下在微小扰动下,一旦偏一旦偏离平衡位置离平衡位置,则无论怎样则无论怎样,小球再也回不到原来小球再也回不到原来位置位置,则是不稳定的。则是不稳定的。 定义定义:若系统在初始偏差作用下若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随其过渡过程随时间的推移时间的推移,逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡具有恢复平衡状态的性能状态的性能,则称该系统为渐近稳定则称该系统为渐近稳定,简称稳定。简称稳定。反之为不稳定。反之为不稳定。 我们把扰动消失时我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。作是系统的初始偏差。 线性系统的稳定性只取决于系统本身

17、的结构参线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数数,而与外作用及初始条件无关而与外作用及初始条件无关,是系统的固有是系统的固有特性。特性。二二.稳定的充要条件稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为:)()()()()()()()()()()(1110111011101110sRsDsMsCasasasasDbsbsbsbsMsDsMasasasabsbsbsbsRsCsnnnnmmmmnnnnmmmm则输出 由于系统的初始条件为零由于系统的初始条件为零,当输入一个理想当输入一个理想的单位脉冲的单位脉冲(t)时时,则系统的输出便是单位则系统的输出便是单位脉冲过渡函数脉冲过

18、渡函数k(t),如果如果 ,则系统则系统稳定。稳定。 若若 是线性系统特征是线性系统特征方程方程 的根的根,且互不相等且互不相等,则上式可则上式可分解为分解为0)(limtkt)()()(, 1)(sDsMsCtL), 2 , 1(nissi0)(sDniiissCsDsMsC1)()()( 式中式中 则通过拉式变换则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡求出系统的单位脉冲过渡函数为函数为 欲满足欲满足 ,则必须各个分量都趋则必须各个分量都趋于零。式中于零。式中 为常数为常数,即只有当系统的全即只有当系统的全部特征根部特征根 都具有负实部才满足。都具有负实部才满足。issiisssDsMC)()

19、()(nitsiieCtctk1)()(0)(limtktiCis稳定的稳定的充要条件是充要条件是:系统特征方程的全部根系统特征方程的全部根都具有负实部都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极或者闭环传递函数的全部极点均在点均在s平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。特征方程有重根时特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。上述充要条件完全适用。i0 0it tk k( (t t) )c ci i0 00 00 0c ci ic ci it tt t稳稳定定临临界界稳稳定定发发散散实实根根情情况况下下系系统统的的稳稳定定性性0 0t tk(t)k(t)0 00 00 0t tt t衰减振荡稳定衰减振荡稳

20、定等幅振荡临界稳定等幅振荡临界稳定发散振荡不稳定发散振荡不稳定共轭复根情况下系统的稳定性共轭复根情况下系统的稳定性j jj jj j三三.劳思稳定判据劳思稳定判据 不必求解特征方程的根不必求解特征方程的根,而是直接根据特征而是直接根据特征方程的系数方程的系数,判断系统的稳定性判断系统的稳定性,回避求解高回避求解高次方程的困难。次方程的困难。 1.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件:特征方程中所有项特征方程中所有项的系数均大于的系数均大于0.只要有一项等于或小于只要有一项等于或小于0,则则为不稳定系统。为不稳定系统。 充分条件充分条件:Routh表第一列元素均大于表第一列元素均大于0。 2.R

21、outh表的列写方法表的列写方法 特征方程为特征方程为 则则Routh表为表为(在下页中在下页中)00122334455asasasasasa0011012110112421224051414253434355000241asdcabbcsacbbaabsbaaaaabaaaaasaaasaaas 则系统稳定的充要条件则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元劳思表中第一列元素全部大于素全部大于0。若出现小于。若出现小于0的元素的元素,则系统则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。于系统正实部根的个数。 例例:50651425310543

22、201234234sssssssss 则系统不稳定则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有且有两个正实部根。（即有2个根在个根在S的右半平面。的右半平面。一次方程一次方程:a1,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。二次方程二次方程:a1,a2,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。三次方程三次方程:a0,a1,a2,a3均大于均大于0,且且a1a2a3a0,则系统稳定。则系统稳定。001asa00122asasa0012233asasasa3 劳思判据应用（1）劳思表不但可判断系统的稳定性，）劳思表不但可判断系统的稳定性，而且可以选择使系统稳定的调节器参数而且可以选择使系统稳定的调节器参数的数值的

23、数值(分析参数对稳定性的影响分析参数对稳定性的影响)。（2）利用劳思表能判断特征根的位置）利用劳思表能判断特征根的位置分布情况。分布情况。例1 试分析系统结构参数对稳定性的影响,系统的闭环传递函数为 式中，Kk为系统的开环放大系数。 123111KBKKWsTsT sT sK解：解：系统特征方程为系统特征方程为 321 2 31 21 32 312310KTT T sTTTTT TsTTTsK 列劳斯表，整理得假设假设T T1 1=T=T2 2 =T =T3 3 ，则使系统稳定的临界放大系数则使系统稳定的临界放大系数K Kk k为为=8。如果取如果取T T2 2=T=T3 3 ，T T1 1=

24、 10T= 10T2 2 ， 则使系统稳定的临界放大系数变为则使系统稳定的临界放大系数变为K Kk k=24.2。由此可见，由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。大的开环放大系数。 33122123112302KTTTTTTKTTTTTT例例2:结构图如图所示结构图如图所示,试分析试分析取何值能保证系统稳定取何值能保证系统稳定. SS 1 ) 1(10SS )(sR )(sC 解解:求系统特征方程求系统特征方程0) 1(1011)(1SSSSSWb0101023SSS建立劳思表建立劳思表: 根据劳思判据根据劳思判据,要保证系统稳定要保证

25、系统稳定,劳思表第一列的系数应大劳思表第一列的系数应大于于0.1例例3:系统结构如下图所示系统结构如下图所示,求能保证系统稳定的局部反馈系求能保证系统稳定的局部反馈系数数kf的数值。的数值。 )(sR S11 ) 1(10SS SKf )(sC 系统结构图方法方法1: 特征方程特征方程: 0) 1(10)101(2SKSSf即即:01010)101 (23SSKSf根据劳思判据根据劳思判据kf0 另一种方法另一种方法: 系统特征方程系统特征方程:01010)101 (23SSKSf根据劳思判据根据劳思判据 kf 0例例4 确定系统稳定的K、T值。解: 系统的特征方程为列出劳斯表要使系统稳定，第

26、一列元素的符号均应大于零。由此得则稳定条件为： , 0 K 0) 1()2(223KsKsTTs0022) 1)(2(2120123KsTTKKTsKTsKTs, 02 , 0TK02) 1)(2(TKKT0T22TT 11 ss013512131sss1s0210823sss1s02075. 9281010123ssss0108 . 2153101112131ssss 例例6:已知系统的特征已知系统的特征为为: 试判断使系统稳定的试判断使系统稳定的k值范围值范围,如果要求特征如果要求特征值均位于值均位于s=-1垂线之左。问垂线之左。问k值应如何调整值应如何调整?0325. 0025. 023

27、ksss解解:特征方程化为特征方程化为: 列劳思表列劳思表:040401323ksss130401340401340134010123kkkskskss及 所以使系统稳定的所以使系统稳定的k值范围是值范围是 若要求全部特征根在若要求全部特征根在s=-1之左之左,则虚轴向左平则虚轴向左平移一个单位，令移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程代入原特征方程,得得: 整理得整理得:130 k040) 1(40) 1(13) 1(12131ksss0)2840(171012131ksss列劳思表列劳思表:第一列元素均大于第一列元素均大于0,则得则得:284010)2840(17028401017101

28、112131kskskss95.47.0 k4.两种特殊情况两种特殊情况 情况情况1:劳思表中某一行的第一个元素为劳思表中某一行的第一个元素为0,其其它各元素不全为它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为代替某一行第一个为0 0的元素。然后继续的元素。然后继续劳思表计算并判断。劳思表计算并判断。 例例: :160481216)(01231641016124301234234sssssssss 当当很小时很小时, , 则系统不稳定，并有两个正实部根。则系统不稳定，并有两个正实部根。 情况情况2:2:劳思表中第劳思表中第k k行元素全为行元素全为0,0,这说

29、明系这说明系统的特征根或存在两个符号相异统的特征根或存在两个符号相异, ,绝对值相绝对值相同的实根同的实根, ,或存在一对共轭纯虚根或存在一对共轭纯虚根, ,或存在或存在实部符号相异实部符号相异, ,虚虚部数值相同的共轭复根，部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。或上述类型的根兼而有之。048124812 此时系统必然是不稳定的。在这种情况下此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。可作如下处理。 (1).用用k-1行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程. (2).将辅助方程为将辅助方程为s求导求导,其系数作为全零行其系数作为全零行的元素的元素,继续完成劳思表。继续完成劳思表。

30、 例例:系统的特征方程为：系统的特征方程为：01249332345sssss列劳思表列劳思表:列辅助方程列辅助方程0123450001293431ssssss0181201293324ssss求导第一列符号改变一次第一列符号改变一次,有一个正实部根有一个正实部根,系统不稳定。系统不稳定。12050122/9018121293431012345ssssss解辅助方程解辅助方程得：得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根和一对纯虚根 可见其中有一个正可见其中有一个正实根。实根。0129324 ss0)4)(1(432224ssss原式12,1s, 24,

31、 3js3-5 稳态误差的分析和计算稳态误差的分析和计算 稳态性能是控制系统的又一重要特性稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统是衡量系统性能的重要指标。性能的重要指标。一一.误差和稳态误差误差和稳态误差 1.定义定义: e(t)为系统误差为系统误差,Cr(t)为希望输出为希望输出,c(t)为实际为实际输出。输出。)()()(tctCter稳态误差稳态误差: 系统的静态误差与系统的结构有关系统的静态误差与系统的结构有关,还与输还与输入信号的大小及形

32、式有关。而系统的稳定入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。性的只取决于系统的结构。)()(lim)(limtctCteerttss0 0t tC C( (t t) )e es ss sC Cr r( (t t) )2.稳态误差的计算稳态误差的计算(1).拉氏变换的终值定理拉氏变换的终值定理 当输入信号为当输入信号为 时时,可用可用终值定理计算静态误差终值定理计算静态误差,谐波谐波(正弦正弦,余弦余弦)输输入时不能应用此定理。入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数求误差响应传递函数)()(lim)(lim

33、)(lim00sCsCssEsteersstss221,),(1),(tttt)()(sRsEb.误差响应的象函数误差响应的象函数c.误差响应的原函数误差响应的原函数d.求极值求极值 即为稳态误差。即为稳态误差。 如系统同时存在输入信号和扰动信号如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系则系统误差的求法如下：统误差的求法如下：)()()()(sRsRsEsE)( te)(limtetR(s)N(s)E(s)+)(ser)(sen 为系统对输入信号的误差传递函数为系统对输入信号的误差传递函数, 为系统对扰动信号的误差传递函数。为系统对扰动信号的误差传递函数。 则则: 例例:已知系统的结构图如下已知系

34、统的结构图如下,试求系统在输入试求系统在输入信号信号r(t)=t和扰动信号和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下同时作用下系统的稳态误差系统的稳态误差ess)(ser)()()()(lim)(lim00sNssRssssEeenerssss)(sen解解:理想情况偏差信号理想情况偏差信号E(S)0， 则系统在输入信号作用下的希望输出为：则系统在输入信号作用下的希望输出为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)12.01s)1(2ss)()(1)(sRsHsCr)()()(sHsCsRr 对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,理想的情况就是扰动理想的情况就是扰动信号引起的输出

35、为信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。不受扰动的影响。 系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)则则R(s)和和N(s)引起的系统误差引起的系统误差为为:)()()()(1)()()()()()(1)()()(212221211sNsHsGsGsGsCsRsHsGsGsGsGsC)(1)()()(11)()()()()()()(1)()()(1)()()(21212111sHsHsGsGssRssRsHsGsGsGsGsHscsCsEererr

36、 在本题中在本题中,首先要判断系统的稳定性首先要判断系统的稳定性,如果系统如果系统不稳定不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为不可能存在稳态误差。特征方程为:)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(1)()(0)(2121221222sNssRssEsEsEsHsGsGsGssNssNsHsGsGsGsCsEenerenen02) 1(212 . 011)()()(121ssssHsGsG即即:所以系统稳定。所以系统稳定。根据推导出的公式根据推导出的公式:0321238 . 02 . 1042 . 12 . 0aaaasss，即2)1(212 .011)1(2

37、)(212)1(212 .0111)(ssssssssssener 系统的误差与系统的结构有关系统的误差与系统的结构有关,还与外作用还与外作用(输入信号输入信号,扰动扰动)的大小及形式有关。的大小及形式有关。85)()()()(lim)(lim1)()( 1)(1)()(002sNssRssssEessNttnssRttrenerssss二二.输入信号作用下系统稳态误差的分析输入信号作用下系统稳态误差的分析 只有输入信号作用时只有输入信号作用时,系统的误差为系统的误差为: 假设系统为单位反馈假设系统为单位反馈,则则 )()(1)()()(11)(21sRsHsHsGsGsE)()()(11)(

38、21sRsGsGsE1)(,0)()()()(0021sGssGsksGsGsGv时当开环传递函数开环传递函数 当当=0,1,2=0,1,2分别称为分别称为0 0型系统型系统,型系统型系统,型系统型系统( (一般一般不大于不大于2)2) 则则 ) 12() 1() 12() 1()(2222212122210sTsTsTssssG)()(11lim)(lim)()(11)(0000sRsGsksssEesRsGsksEssss将将kp,kv,ka定义定义为稳态误差系数。为稳态误差系数。阶跃输入下用阶跃输入下用kp 表示表示 为位置误差系数。为位置误差系数。速度输入下用速度输入下用kv表示表示

39、为速度误差系数。为速度误差系数。加速度输入下加速度输入下用用ka表示表示 为加速度误差系数。为加速度误差系数。 ,lim)(lim000sksGskkssp,lim)(lim10010sksGskkss,lim)(lim20020sksGskkssa系统系统 静态误差静态误差系数系数稳态误差稳态误差型别型别0型型型型型型)( 1)(0tRtrtVtr0)(2)(20tAtr kR10kV0kA0000000kkkpkvkaksse前提前提:单位反馈单位反馈H(s)=1 提高系统的型别提高系统的型别,增大系统的开环增益增大系统的开环增益,都会都会提高系统的精度提高系统的精度,但这样又会降低稳定性

40、但这样又会降低稳定性,必须必须综合考虑。综合考虑。 例例:某控制系统的结构图为某控制系统的结构图为 试分别求出试分别求出H(s)=1和和H(s)=0.5时系统的稳态时系统的稳态误差。误差。12102ss)(sH)(sC-)( 15)(ttr解解:当当H(s)=1时时,系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为则系统稳态误差则系统稳态误差当当H(s)=0.5时时,0,10,1210)(2ksssG115101510kRess3555 . 015 . 0121011lim)()(lim200sssssRssesersss 若上列在若上列在H(s)=1时时,系统的允许误差为系统的允许误差为0.2,问开

41、环增益问开环增益k应等于多少应等于多少? 当当 时时,上例的上例的稳态误差又是多少稳态误差又是多少? 因为因为0型系统在速度输入和加速度输入下的型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大稳态误差为无穷大,根据叠加原理根据叠加原理,ess=2412 .051,100sssseRkkRe则1)(,21)( 1)(2sHttttr三三.扰动作用下系统稳态误差的分析扰动作用下系统稳态误差的分析 理想情况下理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用系统对于任意形式的扰动作用,其其稳态误差应当为稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。但实际上这是不可能的。 如果输入信号如果输入信号R(s)=0,仅有扰动

42、仅有扰动N(s)作用时作用时,系系统误差为统误差为:)()()()(1)(lim)()()()(1)()(2120212sNsHsGsGsGsesNsHsGsGsGsEsss 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引实质上就是扰动引起的稳态输出的负值起的稳态输出的负值,它与开环传递函数它与开环传递函数 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号及扰动信号N(s)有关有关,还与扰动作用点的位置有关。还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)12Tsk)( 1)(0tMtn0ksk1(a)r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(b)000210

43、210021020)1(1)1(lim:)(0)1(11lim:)(kMsMTsskkkTsskksebsMTsskkkTskseassssss中中 作用点不同作用点不同,稳态误差也不同。稳态误差也不同。 在扰动作用点之前的前向通路中增加一个在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用积分环节用 （比例积分调节器）（比例积分调节器）代替代替)11(00sTk0kr(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn)11 (00sTksk1(b) 提高扰动作用点前的积分环节个数和增益提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可可以减小或消除扰动引起的稳态误差以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会

44、但同样会降低系统的稳定性。降低系统的稳定性。 综上所述综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。益。0)1()11(1)1(lim02100210sMTsskksTkTsskksesss则 为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下