向量代数与空间解析几何教案

1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础,教学重点：1.空间直角坐标系的概念2 .空间两点间的距离公式3 .向量的概念4 .向量的运算教学难点：1.空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1 1 . .向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2 2. .量的表示方法有：a、i、F、OM.等等。3 3.向量相等ab：

2、如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。4 4.量的模：向量的大小，记为a、pM，模为 1 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 5.量平行a/b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6 6. .负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a a二、向量的线性运算1 1.加减法abc：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7 7a一 4 42.abc即a(b)c3 .向量与数的乘法a：设是一个数，向量a与的乘积a规定为(1)0时，a与a同向，|a|a|(2)0

3、时，a0(3)0时，a与a反向，|a|a|其满足的运算规律有：结合率、分配率。设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，那么0aaa定理 1 1：设向量 awaw。，那么，向量 b b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数入，使 b=b=a例1:1:在平行四边形ABCDABCDK K设ABa,ADb,试用a和b b表示向量MA.MB.MC和MD,这里M M是平行四边形对角线的交点。 (见图 7 75)5)图 7 74 4一一一1解：abAC2AM,于是MA-(ab)1.、由于MCMA,于是MC-(ab)1 .又由于abBD2MD,于是MD-(ba)2，一_1由于MBMD,于是MB-(ba)三

4、、空间直角坐标系1. .将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图 7 71,1,其符合右手规则。即以右手握住 Z Z 轴，当右手的四个手指从正向 X X 轴以一角度2转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。2 .间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图 7 72 2 所示。图 7 71 右手规则演示图7 一 2 空间直角坐标系图图 7 73 空间两点M1M2的距离图 3 3.空间点M(X,y,z)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊

5、点的表示a)a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.4.空间两点间的距离。若M1(x1,yi,Zi)、M2(x2,y2,Z2)为空间任意两点，则M1M2的距离(见图73),利用直角三角形勾股定理为：d2M1M21MlM2NM22222M1PpNNM2而M1Px2x1PNMV1NM2ZZ所以dM1M2I7(x2x1)22y1)2%4)2特殊地：若两点分别为M(x,y,z),o(0,0,0)1 1Rr222doMYxyZ例1：求证以M(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明：M1MJ(47)2(31

6、)2(12)214M2M32(57)2(21)2(32)26M3MJ2(54)2(23)2(31)26由于M2M3M3M1,原结论成立。例2：设P在x轴上，它到(072,3)的距离为到点P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P的坐标。解：因为P在x轴上，设 P P 点坐标为(x,0,0)PP1IVx22232Jx211PP2v1x21212vx22PP2PF2Vx2112dx22x1所求点为：(1,0,0),(1,0,0)四、利用坐标系作向量的线性运算1 1 . .向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需

7、要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a a=MiM2是以Mi(xi,yi,zi)为起点、M2(X2,y2,Z2)为终点的向量，i i、j j、k k分别表示图 7 75 5沿 x,y,zx,y,z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7 75,5,并应用向量的加法规则知：MiM2(X2Xi)i i+ +(y2yi)j+ +(Z2zi)k或 a=aa=axi+ai+ayj+aj+azk k上式称为向量 a a 按基本单位向量的分解式。有序数组 a ax、a ay、a az与向量 a a对应，向量 a a 在三条坐标轴上的投影 a ax、a ay、a a 就叫做向量 a

8、a 的坐标，并记为a a=a ax,a ay,a az 。上式叫做向量 a a 的坐标表示式。于是，起点为Mi(xi，yi，zi)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为MiM2x2x1，y2yi,z2乙特别地，点M(x,y,z)对于原点 O O 的向径OMx,y,z注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量 a a 在坐标轴上的投影是三个数 a ax、a ay、a az,向量 a a 在坐标轴上的分向量是三个向量 a axi i、a ayj j、a azk.k.2 2. .向量运算的坐标表示设aax,ay,az,bbx,by,bz即aaxiayjazk,bbxi

9、byjbzk则(i)(i)加法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k减法：ab(axbx)i(ayby)jabz)k乘数：a(ax)i(ay)j(az)k或abaxbx，ayby,azbzabaxbx,ayby,azbzaax,ay,az平行：若 aw0aw0 时，向量ba相当于ba,即bx,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比例即坛三axayaz五、向量的模、方向角、投影设aax，ay,az,可以用它与三个坐标轴的夹角、(均大于等于0,小于等与非零向量 a a 同方向的单位向量为:于)来表示它的方向，称为非零向量 a a 的方向角，见图 7 76,6,其余弦表示形c

10、os、cos、cos称为方向余弦。：222avaxayaz2.2.方向余弦axM1M2cos由性质 1 1 知ayMIM2cosazM1M2cosacosacos，当aaja；a2acos0时，有coscoscosaxax同4a：a：a2ayay同Jajajajazaz同a；a2a2任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21a1一一ax,ay,azcos,cos,cosalaMiM2同向的单位向量。解：MiM2=1-2=1-2, ,3-23-2, ,0-0-ayaz,bbx,by,bz则abaxbxaybyazbzn.投影表示式：abaPrjabbPrjbae)e)例子：已知三点 M

11、1,1,1)M1,1,1)、A(2,2,1)A(2,2,1)和 R2,1,2)R2,1,2),求AMBin.in.两向量夹角可以由cos品式求解a|b提示：先求出向量MA及MA,应用上求夹角的公式。、向量积：a)a)概念：设向量c是由向量 a a 与 b b 按下列方式定义:c的模ca|bsin,式中为向量 a a 与 b b 的夹角。c的方向垂直与 a a 与 b b 的平面，指向按右手规则从 a a 转向bo注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b)b)公式：cabf)f)性质：i.i.aa0n.两个非零向量 a a 与 b b 平行 a/ba/b 的充分必要条件为：ab0m

12、.abbaw.(ab)cacbcV.(a)ca(c)(ac)为数c)c)几个等价公式：i.坐标表示式：设aax,ay,az,bbx,by,bz则ab(aybzazby)iab*axbz)j(a*byaybx)kijkn.行列式表示式：abaxavazxyzbxbybzd)d)例子：已知三角形 ABCABC 勺顶点分别为：A(1,2,3)A(1,2,3)、R3,4,5)R3,4,5)和 C(2,4,7)C(2,4,7)，求三角形 ABCABC 勺面积。由于AB=2,2,2,=2,2,2,AC=1,2,4=1,2,4_ijk因此ABAC2224i6j2k1241*1 1- -nnnn. .A于是S

13、ABC-ABAC-42(6)222V1422解：根据向量积的定义,SABC1IABACsin21 11 1- -* *- -w wC1ABAC小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）作业：即:14x9yz150第三节平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一、平面的点法式方程1 1

14、 . .平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2 2. .平面的点法式方程已知平面上的一点Mo(Xo，y0，Zo)和它的一个法线向量nA,B,C,对平面上的任一点M(x,y,z),有向量M0Mn,即n nM0M0代入坐标式有：A(xXo)B(yyo)C(zz0)0(1)此即平面的点法式方程。例 1:1:求过三点 M1M1(2,(2,- -1,4)1,4)、M M2 2( (1,1,3,3,2)2)和 M M3 3(0,2,3)(0,2,3)的平面方程。解：先找出这平面的法向量n,ijknM1M2M1M334614i9jk231由

15、点法式方程得平面方程为14(x2)9(y1)(z4)0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：AxByCzD0几个平面图形特点:1）D=D=0:0:通过原点的平面。2）A=0:0:法线向量垂直于 x x 轴，表示一个平行于 x x 轴的平面。同理：B=0B=0 或 C=0C=0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。3）A=B=0 0：方程为CZD0,法线向量0,0,C,方程表示一个平行于xoy面的平面。面的法向量为n5,6,7解：设平面为AxByCzD0,由平面过原点知由平面过点（6,3,2）知6A3B2C0,所求平面方程为2x2y3z0三.两平面的夹角定义：两

16、平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。三、几个常用的结论设平面 1 1 和平面 2 2 的法向量依次为n1AB.CJ和n2A2,B2,C2同理：AXD0和BYD0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。4）反之：任何的三兀一次方程，例如：5x6y7z110都表示一个平面，该平例 2 2：设平面过原点及点（6,3,2）,且与平面4xy2z8垂直，求此平面方程。n4,1,24AB2C0ABfC设平面1:AxByCzD10,2:A2xB2yC?zD20niAIBCI,n2A2,B2,C2按照两向量夹角余弦公式有:cos.A2|A1A2B12B1B2C1c2|2A222C1yA2B2C21)1)两平面

17、垂直：A1A2B1B2C1C20（法向量垂直）2)2)两平面平行：A2BICIB2C2（法向量平行）3)3)平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点B（x0,y0,z0）,平面的方程为AxByCzD0,则点到平面的距离为dAx0By0cz0D,A2B2C2例 3:3:研究以下各组里两平面的位置关系:2yz10,y3z102xyz0,4x2y2z2xyz0,4x2y2z解:cos|11)202113|22(1)2,12两平面相交,夹角1arccos.60n12,1,1,4,2,22二42两平面平行M(1,1,0)M(1,1,0)两平面平行但不重合。(3)(3)两平面平行M(1,1,0)1M(1

18、,1,0)所以两平面重合小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业:第四节空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：AixByCizDi0A2XB2yC2ZD20二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点Mo（Xo,y0,Z0）和它的一方向向量sm,n,p），设直线

19、上任一点为M（x,y,z）,那么MoM与 s s 平行，由平行的坐标表示式有：xXoyyozZ0mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设xXoyyzZ0tmnp就可将对称式方程变成参数方程（t t 为参数）xx0mtyyontzzopt三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例1:用对称式方程及参数方程表示直线xyzc1，c2xy3z4o解：在直线上任取一点（xo,yo,z0）,取xo1yoz02coe解得yo3。6oyoo,zo2,即直线上点坐标（1,o,2）因所求直线与两平面的法向量都垂直取sn1n24,1,3）对称式方程为:x14tyt例 2 2 一

20、直线过点A(2,3,4),且和y轴垂直z23tsBA2,0,4),两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线L1和L2的方向向量依次为&mi,n1，P1）和S2m2,1，P2,两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算mm2ngP1P2cos,222,222,m1n1P1,m2n2P2两直线L/口L2垂直：m1m2n1n2P1P20（充分必要条件）两直线L1和L2平行：也业包（充分必要条件）m2n2P2例 3 3：求过点（3,2,5）且与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行的直线方程sm,n,P）,根据题意知直线的方向向量与两个平面的法三、直线与平面的夹角与平面的夹角

21、，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为一2设直线L的方向向量为sm,n,p,平面的法线向量为nA,B,C）,直线与平面的夹角为，那么AmBnCpsin：22c2，222ABCmnp直线与平面垂直:y0z2参数方程:13相交，求其方程解：因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B（0,3,0）所求直线方程：x2二20两直线的夹角解：设所求直线的方向向量为向量都垂直，所以可以取sn1n24,3,1所求直线的方程当直线与平面不垂直时,直线与它在平面上的投影直线的夹角(0）称为直线2ABCsAmBnCpmnp(4i3jk)U一逐J431320 xyz10 xyz00 xyz102.旋转曲面的方程教学难

22、点：旋转曲面教学内容：一、曲面方程的概念1 1 . .实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。2 2. .曲面方程的定义：如果曲面 S S 与三元方程F(x,y,z)0(1)有下述关系：(1)(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)(2)(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)那么，方程(1)1)就叫做曲面 S S 的方程，而曲面 S S 就叫做方程(1)1)的图形。(3)(3)种常见曲面(1)球面例1：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为 R R 的球面的方程。解：设M0(x0，y0,z。)是球面上的任一点，那么M0M(A1xB1yC1zD1

23、)(A2XB2yC2zD2)03(x2)2(y1)(z3)07(71322d13c一,1,37762,1,4)(xyz1)(xyz1)0(1)x(1)y(1)zxyz0(1)1(1)1(11yzi面的方程xyz0或：(xX0)2(yy。)2(zZ0)2R2特别地：如果球心在原点，那么球面方程为(讨论旋转曲面)x2y2z2R2(2)线段的垂直平分面(平面方程)例2：设有点A(1,2,3)和B(2,1,4),求线段AB的垂直平分面的方程。解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M(x,y,z)是所求平面上的任一点，由于|MA|MB|,那么222222,x1y2z3x2y1z4化简得所

24、求方程2x6y2z70研究空间曲面有两个基本问题：(1)(1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。(2)(2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。二、旋转曲面的方程设在 yozyoz 坐标面上有一已知曲线 C C 它的方程为f(y,z)f(y,z)=0=0把这曲线绕 z z 轴旋转一周，就得到一个以 z z 轴为轴的旋转曲面，设M1(0/1，乙)为曲线 C C上的任一点，那么有f(yf(y1,z z。=0(2)0(2)当曲线 C C 绕 z z 轴旋转时，点 M M 也绕 z

25、 z 轴旋转到另一点M(x,y,z),这时 z=zz=z1保持不变，且点 M M 到 z z 轴的距离dx2y2y1将 z z1=z,=z,必Jx2y2代入(2)2)式，就有螺旋曲面的方程为即:,(xX0)2(yy。)2(zZ0)2使用截痕法,先求出它与三个坐标面的交线:2x2az1,22xz122,anc22y-z1,221,这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行bc于坐标面的平面的交线：椭球面与平面zz1的交线为椭圆f（,X2y2,z）0旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0 0。900,0,q q00 时，其形状如图所示。2.2.双曲面单叶双曲面方程为222LL二12,22abc双叶双曲面方程为222xyz12.22abc各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念（母线、准线）。作业:2X-2az22F（czl）czzl2yb2Z22（czl）c1（|z11c）,同理与平面Xx1和yyi的交线也是椭圆