计算水力学--第三章(4).

1、 Leila for 水文09 版权所有回 顾Lax等价定理稳定性证明l 误差传播方程l 级数展开l l 放大因子l 保证误差不放大的条件0iikxkkC eLeila for 水文09 版权所有课 程 内 容 基本概念 偏导数的差商近似 差分方程 截断误差和相容性 收敛性 Lax等价定理稳定性不同格式的稳定性分析不同格式的稳定性分析 差分方程数值效应Leila for 水文09 版权所有马斯京根法的稳定性4 4FTFS格式的稳定性2 2蛙跳格式的稳定性3 3 3FTCS格式的稳定性3 1 1 7. 7. 稳定性不同格式的稳定性分析Leila for 水文09 版权所有 FTCS格式11102

2、jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程： FTCS格式的稳定性3 1 1ijj+1i+1i-1Leila for 水文09 版权所有放大因子G FTCS格式的稳定性3 1 1Leila for 水文09 版权所有 FTFS格式110jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程： FTFS格式的稳定性2 2ijj+1i+1Leila for 水文09 版权所有放大因子G FTFS格式的稳定性2 2Leila for 水文09 版权所有 蛙跳格式1111022jjjjiiiiuuuuCtx误差传递方程： 蛙跳格式的稳定性3 3 3i-1j-1j+1i+1ijLeila for 水文09 版权所有

3、110jjjik xjik xkkkkCCC eC e 蛙跳格式的稳定性3 3 3放大因子|G|11jjkkjjkkCCCC210ik xik xGGee 22sin1sinGik xk x Leila for 水文09 版权所有所以此格式稳定性条件为： 蛙跳格式的稳定性3 3 3(G(G1,21,2) )2 2|G|G1,21,2| |Leila for 水文09 版权所有 马斯京根法11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutx 马斯京根法的稳定性4 411jiQ1jiQjiQ1jiQx2t误差传递方程：11111111102jjjjiiiijjjjiiiit

4、ux Leila for 水文09 版权所有 马斯京根法的稳定性4 411111102jjjik xjik xjik xjik xjjkkkkkkkkCCCeC eCeC eCC22222()()()()abcbdabcbd放大因子|G|2111cossin22abck xdk x 其中：；格式稳定性条件为：Leila for 水文09 版权所有稳 定 性 FTBS格式 FTCS格式： 无法收敛，不稳定格式 FTFS格式： -1 0 蛙跳格式： -1 -1 马斯京根法格式： 0 时：0.5 FTBS格式： 0 11 1 阶偏导数阶偏导数偶次方偶次方奇次方奇次方2424uuxx，.3535uux

5、x，.有耗散有耗散有弥散有弥散 8. 8. 差分方程数值效应数值耗散与弥散Leila for 水文09 版权所有 8. 8. 差分方程数值效应数值耗散与弥散0uuCtx 例 对流方程描述的是既无耗散又无弥散的流体运动 A物理效应B数值效应伪物理效应| 物理耗散| 物理弥散| 数值耗散| 数值弥散Leila for 水文09 版权所有 8. 8. 差分方程数值效应数值耗散与弥散 FTBSFTBS格式的等价方程格式的等价方程 FTFSFTFS格式格式的等价方程 FTCSFTCS格式格式的等价方程 耗散为主耗散为主不稳定Leila for 水文09 版权所有 8. 8. 差分方程数值效应数值耗散与弥

6、散 蛙跳格式的等价方程 弥散为主马斯京根法的等价方程 222212,2MxQQQOtxtxx 0.50.50.5时时时耗散为主不稳定弥散为主Leila for 水文09 版权所有 8. 8. 差分方程数值效应混淆误差fj-1jj+1xLeila for 水文09 版权所有l 考虑可辨认的短波。如考虑可辨认的短波。如 4x，则，则 kx x2x/ =/2，衰减比为，衰减比为 r=2/，这时，这时差商带来了很大的误差。差商带来了很大的误差。l 对于和空间步长对于和空间步长x接近的短波，差商无法近接近的短波，差商无法近似导数。似导数。 8. 8. 差分方程数值效应混淆误差Leila for 水文09

7、 版权所有| 物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为象，称为“逆风逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。效应，是一伪物理现象的数值效应。 8. 8. 差分方程数值效应“逆风”效应“逆风”效应0uuCtxFTCS格式 对流方程11102jjjjiiiiuuuuCtxLeila for 水文09 版权所有 假定在某瞬时j在某一断面k处引入某一物理量u1，1 8. 8. 差分方程数值效应“逆风”效应FTCS格式 Leila for 水文09 版权所有 物理量向上、向下游两个方向传播，出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风”效应。 8. 8. 差分方程数值效应“逆风”效应采用何种格式还与波速的方向有关，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式“逆风”格式1111102jjjjjjjiiii