概率论与数理统计第1.3节-条件概率及独立性

1、1.3.1 1.3.1 条件概率条件概率1.3.3 1.3.3 全概率公式全概率公式1.3.2 1.3.2 事件的独立性事件的独立性1.3 1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1.3.4 1.3.4 贝叶斯贝叶斯公式公式1.3.5 1.3.5 伯努力概型伯努力概型 条件概率是概率论中一个重要而实用的条件概率是概率论中一个重要而实用的概念概念.它所考虑的是事件它所考虑的是事件 B 已经发生的条件下已经发生的条件下事件事件 A 发生的概率，将此概率记作发生的概率，将此概率记作P(A|B).1. 3. 1 条件概率条件概率例 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，

2、每次从盒中取出一球，有放回地取两次则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球设B= 第一次标号为 2 A=两球标号之和为 4 则事件B： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)事件A：(1,3) (2,2) (3,1) 事件AB=第一次标号为2，第二次标号为2： (2,2) P A B若我们考虑在事件B发生的条件下，事件A发生的概率并记此记此概率为概率为:则所求的

3、概率为14PA B注：注：由此例可以看出，事件A在“条件B已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的因此，有必要引入下面的定义：41)(BP163)(AP161)(ABP163)(AP4141161)()(BPABP定义定义1 1 对事件A、 B，若P(B)0，则称为事件A在事件B(条件)发生下的条件概率。相对地，有时就把概率P(A)，P(B) 等称作无条件概率。 P(AB)P(A | B)P(B)vvAAPA样本点数样本点数)(BABvBvABBAP样本点数样本点数)|(方法1： 用原样本空间计算条件概率方法2：用新样本空间B计算条件概率 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件

4、后改变了的情况去算 1) 用定义计算用定义计算:316361)()()|( BPABPBAP 掷骰子掷骰子例例2A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数不难验证条件概率P(A|B)具有概率的三个基本性质，即三条公理：则两两互斥，若, 0)(,21BPAAAn11)|()|(nnnnBAPBAP11)|()|(nnnnBAPBAP条件概率也是概率由此得由此得1PA CPA C0)|(BAP1. 非负性1)|(BP2. 规范性3.完全可加性)

5、|(CBAP)()(CPCBAP)()()(CPBCPACP)()()()(CPABCPBCPACP)()()()()()(CPABCPCPBCPCPACP)|()|()|(CABPCBPCAP同理同理补充)|(BP )()(BPBP 1)()(BPBP)|(BP)()(PBP)()(PBP)(BP)|(AP)(AP)|(AAP)()(APAAP1)()(APAP例例2 设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解年以上能活25B8 . 0)(AP4 . 0)(BP4 . 0)()(BPABP根据条件

6、概率公式可得：设年以上能活20A)()(APABP岁20A岁25B)|(ABP5 . 08 . 04 . 0例例3 3 据历年气象资料，某地4月份刮东风的概率为，既“刮东风”又“下雨”的概率为问“刮东风”与“下雨”有无密切关系？解 设刮东风A下雨B则刮东风又下雨AB根据条件概率公式可得：9 . 098309308)()()|(APABPABP东风下雨)|(ABP)()(APABP根据已知条件可知309)(AP308)(ABP计算结果说明，刮东风时下雨的可能性比较大乘法公式全概率公式贝叶斯公式条件概率的三大公式一袋中装有一袋中装有 10 个球个球, ,先后两次从袋中各取一球先后两次从袋中各取一球

7、 (不放回不放回). .其中其中 3 个黑球个黑球, ,7 个白个白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球, , 求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率; ;已知第二次取出的是黑球已知第二次取出的是黑球, , 求第一次取出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率. .解解例例4(1)在已知在已知1A发生发生, ,第二次取球就在剩下的第二次取球就在剩下的 2 个个根据古典概率计算根据古典概率计算, ,球球, ,1次取到的是黑球次取到的是黑球”记记1A为为“第第黑球、黑球、7 个白球个白球, ,即有即有.9/2)|(12 AAP2次取到的是黑球次取到的是黑球

8、”记记2A为为“第第(2) 在已知在已知2A发生发生, , 即第二次取到的是黑球的条件即第二次取到的是黑球的条件下下, , 求第一次取到黑球的概率求第一次取到黑球的概率. .在第二次取球之前在第二次取球之前, ,第一次取球发生第一次取球发生故问题的结构不像故问题的结构不像 (1) 那么直那么直观观. . 我们可按定义计算我们可按定义计算)|(21AAP更方便一些更方便一些.由由)(21AAP103)(2 AP)|(21AAP92103)()(221APAAP .92 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBA

9、P而而 P(AB)=P(BA)乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率设设A,B,C为事件为事件, , 且且P P( (ABAB)0,)0,则则)()()()(ABCPABPAPABCP 设设nAAA,21为为n n个事件个事件, , 且且, 0)(121 nAAAP则则

10、)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn ).(121 nnAAAAP乘法公式易推广到多个事件的情形乘法公式易推广到多个事件的情形 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” 用乘法公式 乘法公式的应用)(321AAAP)(1AP)|(12AAP)|(213AAAP1009099899810例例5 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷个球迷好不容易才搞到一张入场券好不容易才搞到一张入场券.大家都想去，只好大家都

11、想去，只好用抽签的方法来解决用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场入场券券”，其余的什么也没写，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗将它们放在一起，洗匀，让匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大抽到的机会大.” 到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的

12、概率到底的概率到底有多大有多大?设设Ai = “第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”，i=1, 2, 3, 4, 5.iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5.1A也就是说，第也就是说，第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.由于由于.212AAA 因为若第因为若第2个人抽到了入场券，个人抽到了入场券，第第1个人肯定没抽到个人肯定没抽到.由乘法公式由乘法公式 ).|()()(1212AAPAPAP 计算得计算得 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5.)()(3213AAAPAP 同理，第同理，第3个人要

13、抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此= (4/5)(3/4)(1/3) = 1/5. 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.)|()|()(213121AAAPAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答。也就是说，抽签不必争先恐后。 会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？条件概率 与 的区别 )|(BAP)(AP)(AP是在整个样本空间)|(BAP是在B的样本空间发生A的概率两者概念不同，在数值上一般也不相同A)()(BPABPBA)()(BPAP事件事件A

14、A发生的可能性不受事件发生的可能性不受事件B B的影响的影响A A对于对于B B是独立的是独立的当事件A、B独立时，有 P(A)=P(A |B)()(BPABP根据乘法公式)()()(BPAPABP)(AP1.3.3 1.3.3 事件的独立性事件的独立性若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.不难证明，当不难证明，当P(B)0时，有时，有).()()()()|(BPAPABPAPBAP 1定理显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的

15、概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设61)(AP61)(BP例例6 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”

16、的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）的概率） 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意义根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立. 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取因为第

17、二次抽取的结果受到第一次抽取的影响的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0, 则则A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即定理定理2 2 若四对事

18、件 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的。即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立。：因为A，B事件相互独立，即P(AB)=P(A)P(B) . 所以 相互独立A, B; A, B; A, B; A, BPA BPAPA BPAPAPBPA1PBPAPBA 、B其余的证明采用类似的方法所以 相互独立3 3个事件的独立性个事件的独立性定义定义2 若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C)

19、, （三、三独立三、三独立）则称事件A、B、C相互独立相互独立三个事件若两两独立且三三独立，则相互独立注注: :两两独立未必相互独立两两独立未必相互独立! !例例: :从分别标有从分别标有1,2,3,41,2,3,4四个数字的四个数字的4 4张卡片中随机抽张卡片中随机抽取一张取一张, ,以事件以事件A A表示表示“取到取到1 1或或2 2号卡片号卡片”; ;事件事件B B表表示示“取到取到1 1或或3 3号卡片号卡片”; ;事件事件C C表示表示“取到取到1 1或或4 4号卡号卡片片”. .21)(AP)(BP)(CPAB表示取到1号卡片41)(ABPBC表示取到1号卡片AC表示取到1号卡片4

20、1)(BCP41)(ACPABC表示取到1号卡片41)(ABCP)()(BPAP)()(CPAP)()(CPBP事件事件A,B,CA,B,C两两独立两两独立)()()(CPBPAP事件事件A,B,CA,B,C相互独立相互独立. .定理3： 若事件 ， ， 相互独立，则有 1A2AnA)()()()(2121nnAPAPAPAAAP定理4： 若事件 ， ， 相互独立，则有 1A2AnA)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP 若A、B、C 相互独立，则 AB 与 C 独立, AB 与 C 独立, AB 与 C 独立. 一 些 结 论若A，B，C独立，则AB与C独立()AB CA CB

21、C)(BCACP)()()(ABCPBCPACP)()()()()()()(CPBPAPCPBPCPAP)()()()()(BPAPBPAPCP)()(BAPCPABC与相 互 独 立 。解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) =1 P(AB)=1P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98. 例例8 8 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)

22、= 0.9+0.80.90.8 = 0.98.例例7 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解解：将三人编号为：将三人编号为1，2，3，所求为所求为记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3)(321AAAP)(321AAAP)(1321AAAP )(1321AAAP )()()(1321APAPAP 6 . 0534332541 312例8 （在产品质量管理中应用）某产品的生产分3道工序，设第

23、一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.15，0.1，假设各道工序是互不影响的，求该产品的成品率.解设则由题意知：道工序的产品为正品第iAi3, 2, 1i产品为成品A)()()()()(321321APAPAPAAAPAP)(1)(1)(1 321APAPAP612. 0) 1 . 01)(15. 01)(2 . 01 (题中给出每道工序的次品率虽然不算很高，但最后的成品率还是比较低，由此可见，综合影响的作用还是比较大，所以在事件操作时，做好每一个环节是保证产品质量的有效措施.例9 （在可靠性问题中应用）一个系统由3个部件组成，它们的工作是相互独立的，若它们正常工作的概率都是0.85，在下

24、列各情形下，分别求系统正常工作的概率.（如图所示）（1）3个部件同时工作，系统才工作，称其为系统（1）；（2）3个部件中有一个工作，系统就工作，称其为系统（2）.系统（1）系统（2）解设个部件正常工作第iAi3, 2, 1i)2, 1( iBi依次表示题中两种系统正常工作的事件.6141. 085. 0)()()()()(33213211APAPAPAAAPBP由题意知 ， ， 相互独立 1A2A3A计算结果说明，系统（2）的可靠性高于系统（1），所以在实际中，集成电路大多采用并联形式.)()(3212AAAPBP)()()(1321APAPAP9966. 015. 013例例1010 设有甲

25、、乙两个袋子，甲袋子中装有2个红球和3个白球；乙袋子中装有1个红球和3个白球.今任选一个袋子，然后再从选到的袋子中任取一个球，问取到红球的概率为多少？325. 041215221)(BP上述分析的实质是把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件，再将概率的加法公式和乘法定理结合起来，这就产生了全概率公式.加法公式乘法公式综合应用综合应用1A2A4A3A全概率公式可以形象地看作“由原因推结果”，结果发生的可能性与各种原因有关。就可以用全概率公式表示原因与结果的关系：是原因iA是结果BniiiABPAPBP1)|()()(1. 3. 3 1. 3. 3 全概率公式全概率公式 例例11. 某人去某

26、地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到求他迟到的概率的概率 解：解：设设B1乘火车来乘火车来， B2乘轮船来乘轮船来， B3乘汽车来乘汽车来， B4乘飞机来乘飞机来， A迟到迟到. 易见易见, B1 1, B2 2, B3 3, B, ,是对选择交通工具是对选择交通工具(先行先行)试验样本空间试验样本空间的一个划分，的一个划分，由全概率公式得由全概率公式得41()()(/)iiiP AP BP AB=0.30.25 0.0.3

27、0.0.1 0.40=0.145. 例例12. 设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以则以0.9的概率外出购物，以的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友，设某地下雨的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是的概率是0.3试求那天他外出购物的概率试求那天他外出购物的概率 解：解：令令B1=该天下雨该天下雨， B2=该天不下雨该天不下雨 ， A=某人外出购物某人外出购物 显然显然B1 1，B2 2为对该日天气观察为对该日天气观察(先行

28、先行)试验样本空间的一个试验样本空间的一个划分，由全概率公式得划分，由全概率公式得1221()()(/)()(/)P AP BP ABP BP AB0.3 0.20.7 0.90.69.实际上还有下面一类问题：已知结果求原因已知结果求原因例如：有三个箱子，分别编号为1，2，3， 1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球，问该球是取自1号箱的概率。号箱球取自记iAi3,2,1i取到红球B)|(1BAP)()(1BPBAP)|()()|()()|()()|()(33221111ABPAPABPAPABPAPABPAP利

29、用乘法公式利用乘法公式利用全概率公式利用全概率公式131523151315131将这里的数学公式一般化，就是贝叶斯公式1. 3. 4 1. 3. 4 贝叶斯公式贝叶斯公式)|()()|()()|(1jnjjiiiABPAPABPAPBAP它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。 例例13. .某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%25%，乙厂，乙厂占占35%35%，丙厂占，丙厂占40%40%，且各厂的次品率分别为，且各厂的次品率分别为5%5%，4%4%，2%. 2%. 如果消如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可

30、能性大？费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？ 解：解：设设B1=灯泡是甲厂出产的灯泡是甲厂出产的，B2=灯泡是乙厂出产的灯泡是乙厂出产的， B3=灯泡是丙厂出产的灯泡是丙厂出产的，A=买到一个次品灯泡买到一个次品灯泡. 由题设知由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4，P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，P(A/B3)=0.02，由全概率公式得由全概率公式得31()()(/)iiiP AP BP AB=0.0345 .由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得11141() ( /)(/ )( ) ( /)iiiP B P A BP BAP

31、 B P A B0.25 0.050.3623,0.0345同理可得同理可得23(/)0.4058,(/)0.2319.P BAP BA显然，乙厂出产显然，乙厂出产的可能性大！的可能性大！例例1 14 4 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应地为0.8,0.1和0.1.一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.解 记顾客买下该箱的概率A件残次品箱中恰有iBi）（210i由题意8 . 0)(0BP1 . 0)(1BP1 .

32、0)(2BP1)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP（1）由全概率公式20)()|()(iiiBPBAPAP（2）由贝叶斯公式85. 094. 08 . 0)()()|()|(000APBPBAPABP)()|()()|()()|(221100BPBAPBPBAPBPBAP结果结果原因原因94. 019121 . 0541 . 018 . 01. 3. 5 1. 3. 5 伯努利概型伯努利概型如果随机试验只有两种可能的结果：事件A发生，记为A ,事件A不发生，记为 , 则A称这样的试验为伯努利试验记pAP)(pAP1)(若将伯努利试验在相同条件下独立地若将伯努利试验在相同条件下独立地重复重复进行进行n次次，且