第自动控制原理课件三章

1、3-5 高阶系统的动态响应高阶系统的动态响应两种处理方法：两种处理方法：1.通过因式分解，把高阶系统分解为若干个低通过因式分解，把高阶系统分解为若干个低阶系统的组合，其过渡过程是各分曲线量的叠阶系统的组合，其过渡过程是各分曲线量的叠加；加；2.通过降阶，把高阶系统近似表示为低阶（一、通过降阶，把高阶系统近似表示为低阶（一、二阶加纯滞后）系统。二阶加纯滞后）系统。3.5.1典型三阶系统的瞬态响应传递函数：)1)(2()(222 Tssssnnn 221nnjp当 0 0 时，系统的极点具有时，系统的极点具有负实部负实部，系统过渡过程是，系统过渡过程是衰衰减减的，系统是的，系统是稳定的稳定的；0

2、时，系统极点是时，系统极点是纯虚数纯虚数，过渡过程，过渡过程等幅振荡等幅振荡，系统处于系统处于临界状态临界状态；0 时，系统特征根具有时，系统特征根具有正实部正实部，过渡过程，过渡过程曲线发曲线发散散，系统，系统不稳定不稳定。122, 1 nns推广结论：推广结论：q 解析方法解析方法 求解系统的特征方程求解系统的特征方程q 高阶系统求解困难高阶系统求解困难q 劳斯稳定判据劳斯稳定判据系统稳定的系统稳定的充分必要条件充分必要条件是系统特征根是系统特征根（极点）（极点）全部全部具有负实部。具有负实部。 二、劳斯二、劳斯(E. J. Routh)稳定判据稳定判据已知系统的特征方程式为：已知系统的特

3、征方程式为：)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1)(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正系统特征方程式的系数必须皆为正 必要条件必要条件；(2) 劳斯行列式第一列的系数全为正劳斯行列式第一列的系数全为正 充分条件充分条件；(3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。的个数。0).()(.21001101 nnnnnpspspsaasaasaas)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1)式中 （当 时，可将方程两边同乘以-1）。若该方程的特征根为 （1,2,.n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则式（3

4、-6-1）可改写成为：00 a00 aip将上式展开：将上式展开：)(1321101nnniippppppaa)nnjijijippppppppppaa )()1()1(132110nnnniinnppppppaa )(1321101nnniippppppaa )nnjijijippppppppppaa )()1()1(132110nnnniinnppppppaa 0)32)(32)(3)(2)(1(.001101 jsjssssaasaasaasnnnn l l 根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统根据必要条件，在判别系统的稳

5、定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用可以使用劳斯判据劳斯判据。)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1),2, 1 ,0(0niai l l 由此可见，如果特征方程的根由此可见，如果特征方程的根 都具有负实部都具有负实部，则式（，则式（3-29）的所有系

6、数）的所有系数 必然都大于零。故必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即即naaa,10nppp,21劳斯行列式：劳斯行列式：0432143214321753164204321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnn ,130211aaaaab ,150412aaaaab ,170613aaaaab ,121311bbaabc ,121211ccbbcd ,131512bbaabc ,141713bbaabc ,131312ccbbcd 系统稳定的必要且充分条件是：在系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中系统

7、特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：劳斯稳定判据：0122110 nnnnnasasasasa l l 系数的计算一直进行到其余的系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。用同样的前两值全部等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算行系数交叉相乘的方法，可以计算下面下面c , d, e , f , g各行的系数。各行的系数。 l l 这个计算过程一直进行到这个计算过程一直进行到n+1行为止。为了简化运算，可以用一行为止。为了简化运算，可以用一个正整数去乘或除其一行的各项，个正整数去乘或除其一行的各项，这将不改变稳定

8、性的结论。这将不改变稳定性的结论。例例3-6-1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。 102118712)()(234 ssssssXsY解：解： 它的特征方程式是：它的特征方程式是： 01021187234 ssss特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式：劳斯行列式： 劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的实际上该系统的4个根为：个根为： jsss73. 015. 1,76. 2,94. 14,321 01234sssss0

9、217101810100001010517157105由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。本例中，劳某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计算：斯表可按如下方法计算：劳斯行列式：劳斯行列式： 01234sssss)105()7(010001715070105 由于第一列系数的符号相同

10、，故系统稳定，结论与前面一致。由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致。217181010例例3-6-2 若一系统的特征方程为：若一系统的特征方程为： 05432234 ssss利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解：解：列写劳斯行列式：列写劳斯行列式： 该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。系统不稳定。 系统的系统的4个根为：个根为：jsjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符号改变一次符号改变一次 符号改变一次符号改变一次 01234sssss04253105

11、006051 02120 asasa012sss21200abaaa 0, 0, 0210 aaa0322130 asasasa0123ssss00311302113120acaaaaabaaaa 30213210, 0, 0, 0, 0aaaaaaaa 几种特殊情况几种特殊情况（1）第一列有零值出现）第一列有零值出现q 用一很小的正数用一很小的正数来代替这个零，并继续劳斯行列式来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；的计算；q 当得到完整的劳斯行列式后，令当得到完整的劳斯行列式后，令0，检验第一列的，检验第一列的符号变化次数；符号变化次数；q 若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根若符号

12、没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可可利用辅助方程求出；利用辅助方程求出；q若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。稳定根的个数。例例3-6-3 系统特征方程系统特征方程,02223 sss判断该系统的稳定性。判断该系统的稳定性。解：解：劳斯行列式：劳斯行列式： 01232211ssss上下符号相同，说明系统有一对共轭虚根。上下符号相同，说明系统有一对共轭虚根。,022)(2 ssp通过解辅助方程通过解辅助方程。js 可知，可知， 02例例3-6-4 015106322345 sssss试判定该系统的稳定性，系统特征方程为

13、：试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：解：计算劳斯行列式如下：计算劳斯行列式如下：15621031012345ssssss首列整理为首列整理为:1510/25/521012345 ssssss系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。 方程解为：方程解为： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符号改变一次符号改变一次 符号改变一次符号改变一次 （2）某行的系数都为零）某行的系数都为零l l 表明系统具有成对的实根或共轭复根，这些根表明

14、系统具有成对的实根或共轭复根，这些根 大小相等，符号相反；大小相等，符号相反；l l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由），然后由 的系数代替零行，继续的系数代替零行，继续 劳斯行列式的计算；劳斯行列式的计算；dssdP)(l l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。通过求解辅助方程求出那些对根。例例3-6-5 05025482422345 sssss试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： 解：解：计算劳斯行列式计算劳

15、斯行列式0123455048225241ssssss 辅助方程式为：辅助方程式为： 050482)(24 sssP00求求p(s)对对s 的导数的导数:ssdssdP968)(3 导数方程的系数代入导数方程的系数代入s3 行。行。896507 .1125024 0161620128223456ssssss)2)(5)(5)(1)(1( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 例例3-6-5 可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根： 50482)(24

16、sssP行列式第一列系数符行列式第一列系数符号变化一次，号变化一次，说明系统有一个正实说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。部的根，系统不稳定。0)1)(25(22 ss辅助方程是系统特征方程的一个因子式。辅助方程是系统特征方程的一个因子式。劳斯表出现全零行劳斯表出现全零行: :系统在系统在s s平面有对称分布的根：平面有对称分布的根：大小相等符号相反的实根大小相等符号相反的实根共轭虚根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根 j0 j0 j0三、劳斯稳定判据的应用三、劳斯稳定判据的应用1、判断系统的稳定性、判断系统的稳定性2、分析系统参数对系统稳定性的影响、分析系统参数对系统

17、稳定性的影响例例3-6-6 控制系统方块图如图所示，确定能保证该控制系统方块图如图所示，确定能保证该系统稳定的系统稳定的K值范围。值范围。KssssKsXsY )2)(1()()(2解：解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：X(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其特征方程为：其特征方程为：0233234 Kssss其劳斯行列式为：其劳斯行列式为：02331K为使系统稳定，为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足必须大于零，同时还必须满足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保证系统稳定的因此，保证系统稳定的K值范围是值范围是。9/14

18、0 K(2) 若要求闭环极点全部位于若要求闭环极点全部位于s = -1垂线的左侧，求垂线的左侧，求K的取值范围。的取值范围。例例3-6-7 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )177()(20 sssKsG确定使系统产生持续振荡的确定使系统产生持续振荡的K的取值，并求振荡的取值，并求振荡 频率。频率。分析：分析： (1) 若使系统产生持续振荡，则必有一对虚根存在。系若使系统产生持续振荡，则必有一对虚根存在。系统的振荡频率就是此根的虚部值。统的振荡频率就是此根的虚部值。1 ss (2) 只要把虚部向左平移只要把虚部向左平移1，构成新的，构成新的s 复平面复

19、平面: 用劳斯判据求出所有落在用劳斯判据求出所有落在s平面的根对应的平面的根对应的K值。值。-10确定使系统产生持续振荡的确定使系统产生持续振荡的K的取值，确定振荡频率。的取值，确定振荡频率。解：解： （1）系统闭环传递函数）系统闭环传递函数 )(1)()(00sGsGs KsssK 17723劳斯行列式：劳斯行列式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由全为零的上一行组成辅助方程：由全为零的上一行组成辅助方程：则则K=119。07)(2 KssP可求出：可求出：。17,17,172njss（振荡频率）（振荡频率）)177()(20 sssKsG119 0解解：（

20、：（2） 代入闭环特征方程：代入闭环特征方程： ,1 ss令令, 0)1(17)1(7)1(23 Ksss0116423 Ksss劳斯行列式：劳斯行列式：01104K35114610123 KssKss,011035 kK令令则有则有11K35。当当11K35时，所有闭环极点落在时，所有闭环极点落在s=-1垂线左侧。垂线左侧。 (2) 若要求闭环极点全部位于若要求闭环极点全部位于s = -1垂线的左侧，求垂线的左侧，求K的取值范围。的取值范围。 KsssKs 177)(23 例例3-6-8 粗略画出特征方程粗略画出特征方程05025482422345sssss所对应的阶跃响应曲线所对应的阶跃响

21、应曲线y(t)。分析：此题主要考察对劳斯稳定判据的掌握情况及分析：此题主要考察对劳斯稳定判据的掌握情况及特征方程的特征根的分布与过渡过程的关系。特征方程的特征根的分布与过渡过程的关系。劳斯行列式：劳斯行列式： 05007 .112050240)96(0)8(05048225241012345ssssss根据劳斯判据：根据劳斯判据：劳斯行列式中第一列某行为零，且上下符号相同，劳斯行列式中第一列某行为零，且上下符号相同， 说明有一对虚根存在，输出分量曲线呈等幅振荡。说明有一对虚根存在，输出分量曲线呈等幅振荡。行列式首列中，存在负系数，说明有正实根，系行列式首列中，存在负系数，说明有正实根，系统不稳定。统不稳定。解解:第一列系数符号改变一次，说明有一个正实根存第一列系数符号改变一次，说明有一个正实根存 在，输出分量曲线呈发散振荡状态。在，输出分量曲线呈发散振荡状态。根据以上三条，根据以上三条， 判定系统的阶跃响应曲线为判定系统的阶跃响应曲线为单调单调发散振荡曲线。发散振荡曲线。1ty(t) 在系统的分析中，劳斯判据可以根据系统特