空间向量数量积运算

1、空间向量数量积运算第1页，共23页。1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 , 则叫做 的数量积，记作 , 即 a,b a b cos a,b a ba b = a b cos OABabab向量的夹角：0 Bb第2页，共23页。AOBababab4平面向量的夹角：babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：第3页，共23页。2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）ab ab=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, ab=|a|b|;当a与b反向时, ab=-|a|b|;

2、特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角. 2a a=aa= a a 或或abcos =ab 第4页，共23页。3.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律: a b = b a (a) b = (a b)= a (b) (a+ b) c = a c+ b c (a b)ca (b c ) 数量积不满足结合律,即:第5页，共23页。3.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算第6页，共23页。 1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作:a，bO

3、ABaabb第7页，共23页。1） 空间两个向量的夹角的定义babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考：1、a，b与b，a相等吗？ 2、a，b与a，b相等吗？注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.3空间向量的数量积运算第8页，共23页。2）两个向量的数量积注：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空间两个向量，则叫做向量 的数量积，记作：即零向量与任意向量的数量积等于零。第9页，共23页。3)空间向量的数量积性质: 对于非零向量 ，有：,ab2(1) co

4、s,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)第10页，共23页。4)空间向量的数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考: 第11页，共23页。1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，| b |4，则ab _， a2_， (a2b)(ab)_.第12页，共23页。135 第13页，共23页。 范围:0a，b在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a

5、，b= b，a. 如果a，b= /2，则称a与b互相垂直，并记作ab .第14页，共23页。题型一利用数量积求夹角 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角的余弦值所成角的余弦值【例1】第15页，共23页。 2. 空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即 a,b a b cos a,b a,b a ba b = a b cos a,b 0a,b （）第16页，共23页。 （1）两个向量的数量

6、积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）、.aba b 仍仍是是的的模模第17页，共23页。 若m、n是平面内的两条相交直线，且lm， ln. 则l .glmn4.线面垂直的判定定理（必修2）：第18页，共23页。高考链接 1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最大的是_. 1213P P P PA.B. 1214P P P PC.D. 1215P P P P 1216P P P PA第19页，共23页。解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 则 P2P1P3=/6,12| P P |= a

7、，13| P P |=3a 2121333aP P ,P P = a3a=22，214P PP =2 14| P P |= 2a ，212141P P ,P P =a 2a=a2 ，12151216P P ,P P = 0 P P ,P P 0 数量积中最大的是 1213P P ,P P第20页，共23页。 （1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_.课堂练习 1.填空 1 方法一:发现|a + b|2+|a b |2=2(| a |2+| b |2)带入求得.有其他方法吗？第21页，共23页。方法二:由|a b|2=| a |2 - 2ab + | b |2 带入求得ab=-2. |a + b|2=| a |2+2ab+| b |2 得 |a+b|=1方法三:数