第一节多元函数的基本概念

1、1第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用DxyzOM xyP),(yxfz 2第一节第一节 多元函数多元函数的基本概念的基本概念预备知识预备知识多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性function of many variables3一、预备知识一、预备知识1. 平面点集、平面点集、n 维空间维空间一元函数一元函数1R平面点集平面点集2R实数组实数组(x, y)的全体的全体,即即,),( 2RyxyxRRR 建立了坐标系的平面称为坐标面建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质

2、P的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( PyxyxE具具有有性性质质 二元有序二元有序(1) 平面点集平面点集4邻域邻域 (Neighborhood) 设设P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0邻域邻域的的点点 P令令, 0 ).(0PU有时简记为有时简记为2R称之为称之为 将邻域去掉中心将邻域去掉中心, 也可将以也可将以P0为中心的为中心的某个矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)注注称之为称之为的全体点称之为点的全体点称之为点P0邻域邻域.去心

3、邻域去心邻域.),(0 PU 5 (1) 内点内点显然显然, E的内点属于的内点属于E.,EP 点点,)(EPU 使使E (2) 外点外点 如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域),(PU则称则称P为为E的的外点外点.(3) 边界点边界点 如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点.任意一点任意一点2RP 2RE 与任意一点集与任意一点集之间之间必有以下三种关系中的一种必有以下三种关系中的一种:设设E为一平面点集为一平面点集, 0 若存在若存在称称P为为E的的内点内点.1P )(1P)(2P2P 3P )(3P

4、E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界,记作记作.E 使使U(P) E = ,6聚点聚点 如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 点点P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点.例如例如, 设点集设点集(P本身可属于本身可属于E,也可不也可不属于属于E ),21),( 22 yxyxE,),(200RyxP 点点, 212020 yx若若则则P为为E的的内点内点;12020 yx若若, 22020 yx或或则则P为为E的的边界点边界点,也是也是E的聚的聚点点.E的边界的边界E 为集合为集合.2),( 1),( 2222 yxyxy

5、xyx7 开集开集 若若E的任意一点的任意一点都是内点都是内点,例例41),( 221 yxyxE称称E为为开集开集.E1为为开集开集. 闭集闭集 若若E的边界的边界 , 则称则称E为为闭集闭集.EE 例例41),( 222 yxyxEE2为为闭集闭集.例例41),( 223 yxyxEE3 既不是开集，既不是开集，也不是闭集。也不是闭集。8连通集：连通集：如果点集如果点集E内任何两点内任何两点, 都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于E, 称称E为连通集。为连通集。结起来结起来, 平面区域平面区域(重要重要)区域区域: 连通的开集称连通的开集称区域区域或或开区域开区

6、域.如如都是区域都是区域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx0 yx0 yxOxy 9 开区域连同其边界开区域连同其边界,称为称为有界区域有界区域否则称为否则称为都是闭区域都是闭区域 .,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如总可以被包围在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域适当大的圆内的区域, 称此区域为称此区域为半径半径 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).闭区域闭区域.有界区域有界区域.无界区域无界区域10OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭

7、区域11n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体的全体;nR n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中 kx数数称为该点的第称为该点的第k个个坐标坐标. .n维空间中两点维空间中两点),(21nxxxP的的距离距离定义为定义为2222211)()()(nnyxyxyxPQ n 维空间中点维空间中点0P记作记作及及),(21nyyyQ.,),(00nRPPPPPU 的的 邻域邻域为为(2) n 维空间维空间n 维空间维空间.称为称为即即., 2 , 1,),( 21 iRxxxxin的一个的一个点点, , RRRRn12二、多元函数的概念二、多元

8、函数的概念1. 二元函数的定义二元函数的定义例例 理想气体的状态方程是理想气体的状态方程是 VTRp 称称 p为两个变量为两个变量T,V 的函数的函数,其中其中(1) 定义定义 如温度如温度T、体积、体积V都在变化都在变化, 则压强则压强 p依赖依赖(R为常数为常数)RTpV 其中其中p为压强为压强, V为体积为体积, T为温度为温度.于于T,V 的关系是的关系是,0 T.0 V13按着这个关系有确定的按着这个关系有确定的点集点集D称为该函数称为该函数),(yxfz ) )(Pfz 或或称为该函数的称为该函数的 Dyxyxfzz ),(),(则称则称z是是x, y的的定义定义1 1若变量若变量

9、z与与D中的变量中的变量x, y之间有一个依赖关系之间有一个依赖关系,设设D是是xOy平面上的点集平面上的点集,使得在使得在D内内每取定一个点每取定一个点P(x, y)时时,z值与之对应值与之对应,记为记为称称x, y为为的的数集数集二元二元( (点点) )函数函数. .称称z为为自变量自变量, ,因变量因变量, ,定义域定义域, ,值域值域. .14二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为(2) 多元函数定义域多元函数定义域定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的的自变量取值的全体自变量取值的全体.记为记为 函数函数 在点在点 处的函数值处的函数值),(yxfz ),(00yx

10、P),(00yxf).(0Pf或或类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .实际问题中的函数实际问题中的函数:自变量取值的全体自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数: 定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的的15例例 求下面函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域xyz . 1和和 00yx 00yx即定义域为即定义域为, 0 xy16 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域17 用联立不等式表示下列平面闭区域用联立不等式表示下列平面闭区域 D .圆弧

11、圆弧直线直线:有有下下列列三三种种表表示示法法域域D解解01 x10 xxOy11 1 (2)01 y112 yxy(3)012 yx及及 01 yxD )1(122 yx0 y1 yx182. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP19222yxRz 的图形是双曲抛物面的图形是双曲抛物面.如如, , 由空间解析几何知由空间解析几何知, 函数函数的图形是以原点为中心的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面为半径的上半球面.又如又如, ,xyz 最后指出最后指出,从一元函数到二

12、元函数从一元函数到二元函数, 在内容在内容和方法上都会出现一些实质性的差别和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元而多元函数之间差异不大函数之间差异不大.因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以将以二元函数为主二元函数为主.20三、多元函数的极限三、多元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数 怎样描述呢怎样描述呢? Oxy (1) P(x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000时的极限时的极限即即yxPyxP回忆回忆: 一元函数的极限一元函数的极限 路径又是多种多样的路径又是多种多样的.注注,00yyxx当当方向有任意多个方向有任意多个, ),(00

13、yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy21(2) 变点变点P(x,y) 这样这样,可以在一元函数的基础上得出可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义二元函数极限的一般定义. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP 0 0PP总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点P0(x0,y0)之间的距离记为之间的距离记为不论不论的过程多复杂的过程多复杂,),(),(00yxPyxP趋趋向向于于22, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfzA 为为则称则称Ayxfy

14、xyx ),(lim),(),(00记作记作)0(),( Ayxf或或)( 定义定义2 2有有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 P0(x0, y0)是是D的聚点的聚点. 的定义的定义 ),()(yxfPf 义域为义域为D, 如果存在常数如果存在常数 A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也记作也记作).()(0PPAPf或或23 说明说明(1) 定义中定义中0PP (2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.24则当则当 22

15、)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx试试证证例例证证 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有证毕证毕.)0(22 yx22221sinyxyx 25 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于P0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条

16、件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.)(Pf26确定极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.不存在不存在的方法的方法则可断言极限不存在则可断言极限不存在;),(yxP令令若极限值与若极限值与 k 有关有关,(1)(2)此时也可断言此时也可断言找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使使处极限不存在处极限不存在.存在存在,在点在点),(yxf),(000yxPkxy ),(000yxP趋趋向向于于沿直线沿直线27设函数设函数证明证明

17、: :当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向的方向)0 ,(lim0 xfx), 0(lim0yfy也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf证证22000lim xxx00lim0 x22000limyyy 00lim0 y函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例28函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P(x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21k

18、k 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 所以所以,极限不存在极限不存在说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近无限接近于点于点(0,0)时时,另一方面另一方面,无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明: 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx特殊方向特殊方向29极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx当当P(x,y)沿沿x轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时, 当当P(x,y)沿沿y轴的方向无限接近点轴的

19、方向无限接近点(0,0)时时,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 0lim220 kxkxkxyx30 极限不存在极限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 2131四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx P0(x0, y0)为为D的聚点的聚点, 且且 P0D.如果如果连续连续.),(),(000yxPyxf在点在点如果函数如果函数 f (x, y) 在开区域

20、在开区域(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续, 则称函数则称函数在在D内连续内连续,),(yxf或称函数或称函数),(yxf是是 D内的连续函数内的连续函数. 的定义域为的定义域为D, ),()(yxfPf 32的的不连续点不连续点,若若函数函数 在在点点 P0(x0, y0)不连续不连续,称称P0为函数为函数 间断点间断点.若在若在D内某些孤立点内某些孤立点,没有定义没有定义,或沿或沿D内某些曲线内某些曲线,但在但在D内其余部分内其余部分,),(yxf都有定义都有定义, 则在这些孤立点或这些曲线则在这些孤立点或这些曲线上上,即间断点即间断点.函数函数),(yxf都是函数都是函数),

21、(yxf),(yxf则则的的),(yxf33在单位圆在单位圆122 yx处处是处处是间断点间断点.2211sin),(yxyxf 函数函数 (0,0)点是该函数的点是该函数的间断点间断点. 函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf),0, 0(前前面面已已证证函函数数的的极极限限不不存存在在时时yx34称为多元初等函数称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样, 多元函数的和、差、多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限

22、次复合,由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数处均连续处均连续.在它们的定义域的内点在它们的定义域的内点35想一想想一想 如何证明如何证明 f( x, y)在在 000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设设 证证,022时时当当 yx,)0 , 0(),(时时故故当当 yx.)0 , 0(),(也也连连续续在在下下面面证证明明yxfxOy面上处处连续面上处处连续?22)(sin),(yxyxxyyxf 是是初等函数，初等函数，),(yxf处处连续处处连续.36 又又02|lim00 yxyx于是于是0)(sinlim2200 yxyxxyyx.)0 , 0(),(也也连连

23、续续在在从从而而yxf即证明了即证明了f(x, y)在在 由于由于22)(sinyxyxxy 22)(yxyxxy 2yx )0 , 0(f xOy面上处处连续面上处处连续.证明证明 f( x, y)在在 000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设设xOy面上处处连续面上处处连续?37有界闭区域有界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元

24、连续函数多元连续函数, ,在在D上上在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数, ,如果如果在在D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, , 则它在则它在D上取得上取得38多元函数的极限的基本问题有三类多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性研究二元函数极限的存在性.常研究常研究若其依赖于若其依赖于k, 则则欲证明极限存在欲证明极限存在,*特别对于特别对于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.常用定义或夹逼定理常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在欲证明极限不存在(通过观察、猜测通过观察、猜测),常选择两条不同路径常选择

25、两条不同路径, 求出不同的极限值求出不同的极限值.(2) 求极限值求极限值. 常按一元函数极限的求法求之常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限研究二重极限与累次极限(二次极限二次极限)间的关系间的关系.(罗必达法则除外罗必达法则除外),(limyxf0 x0 kxy39例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 2|22xxyyx yxyxyx2200)sin

26、(lim,222yxyx 40例例 求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 41提示提示2222),(yxyxyxf ),(lim00yxfyyxx解解22220limyxyxy 0limx122 xx是否把极限是否把极限理解为理解为:先求先求0 xx 的极的极限限,再求再求0yy 的极的极限限;或者或者先求先求0yy 的极的极限限, 再求再求0 xx 的极的极限限研究研究二次极限二次极限对任意的对任意的)1(有有1 有有 22220limyxyxy, 0 x42 (2) 同理同理: (3)再来分析当点再来分析当点(x, y)沿过原点的直线沿过原点的直线 因此因此 1limlim222200 yxyxxy222200limyxyxyx 2222220limxkxxkxkx