新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件

1、21.2.4 一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系的根与系数的关系张集一中张集一中 陈建河陈建河1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 复习提问复习提问2.2.求根公式求根公式 方程方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2 2-3-3x+2=0+2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x +4=0-5x +4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 x2与与系数有什么规律？系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为猜想：当二次项系数为1 1时，方程时，方程 x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的两根

2、为的两根为x x1, x2qxxpxx21212 2 1 13 32 2-1 3 2 2-3-31 1 4 4 5 54 4 方方 程程 x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291372343131-2-23732x1+ x2，x1x2与系数有什么规律与系数有什么规律?372猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a、b b、c c是常数且是常数且a a0 0）的两根为的两根为x x1 1、x x2 2，则：则： x x1 1+ +x x2 2和和x x1 1.x.x2 2与系数与系数a a

3、，b b，c c 的关系的关系. .abxx21acxx21042 acb x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21xx21.abac任何一个一元二次方程的根与系数的关系任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是X1 , X2 ,那么那么X1 + X2= , X1 X2= ab-ac（韦达定理

4、）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的注：能用根与系数的关系的前提条件为前提条件为b2-4ac0韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用

5、学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为论称为“韦达定理韦达定理”）。）。 韦达在欧洲被尊称为韦达在欧洲被尊称为“代数学之代数学之父父”。 一、直接运用根与系数的关系一、直接运用根与系数的关系例例1、不解方程，求下列方程两根的和与积、不解方程，求下列方程两根的

6、和与积.知识源于知识源于悟悟222415)3(0973)2(0156)1 (xxxxxx在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X X1 1+X+X2 2= = 时，时， 注意注意“ ” ”不要漏写不要漏写. .ab例例1 1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2310 xx 22410 xx 123xx 121xx 122xx解：解： 我能行我能行1原方程可化为：原方程可化为：02122 xx2121 xx二次项不是二次项不是1 1，可，可以先把它化为以先

7、把它化为1 11625x 35()275k k357答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是，的值是的值是。2560 xkxk例例2 2、已知方程、已知方程求它的另一个根及求它的另一个根及的一个根是的一个根是2 2的值。的值。26055kxx原方程可化为：原方程可化为：想一想，想一想，还有其他还有其他方法吗？方法吗？还可以把还可以把 代入方程的两边，求出代入方程的两边，求出2x k 解：解：，那么那么1x设方程的另一根是设方程的另一根是135x 3()255k 又 我能行我能行21232xx 1212xx 22310 xx 例例3 3、不解方程，求一元二次方程、不解方程，求一元二次方程两个根的

8、平方和；倒数和。两个根的平方和；倒数和。12,x x设方程的两根是设方程的两根是，那么，那么解：解： 我能行我能行32221212212)(xxxxxx2122122212)(xxxxxx413)21(2)23(22221xx21212111xxxxxx)21()23(3二、求关于两根的对称式或代数式的值二、求关于两根的对称式或代数式的值2221) 1 (xx 例例2、设、设 是方程是方程 的两个的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221

9、)(6(xx 2111) 2(xx关于两根几种常见的求值关于两根几种常见的求值2111. 4xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 6xx221)(xx 212214)(xxxx212 xx2221. 1xx221)(xx221).(2xx221)(xx 214 xx小结小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0例例3 3、求一个一

10、元二次方程，使、求一个一元二次方程，使 它的两个根是它的两个根是2 2和和3 3，且二，且二 次项系数为次项系数为1.1.变式：且二次项系数为变式：且二次项系数为5 5例例4 4、已知关于、已知关于x x的方程的方程x x2 2-5x-2=0-5x-2=0（1 1）, ,且关于且关于y y的方程的两根分别是的方程的两根分别是方程（方程（1 1）的两根）的两根的平方的平方. .求关于求关于y y的方程的方程. .的倒数的倒数. .的相反数的相反数. .比比都大都大2.2.例例5 5、小明和小敏解同一个一元二次、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求方程时，小明看错了一次项系数

11、所求出的根为出的根为-9-9和和-1-1；小敏看错了常数项；小敏看错了常数项所求出的根是所求出的根是8 8和和2 2。你知道原来的方。你知道原来的方程是什么吗？程是什么吗？ 三、构造新方程三、构造新方程练习、甲、乙二人解同一个一元二次练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根方程时，甲看错了常数项所求出的根为为1 1，4 4；乙看错了一次项系数所求出；乙看错了一次项系数所求出的根是的根是-2-2，-3-3。则这个一元二次方程。则这个一元二次方程为为_ 三、构造新方程三、构造新方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数例例6 6

12、、如果如果1是方程的一个根，是方程的一个根，则另一个根是则另一个根是_=_。（还有其他解法吗？（还有其他解法吗？) )022mxx-3练习：已知练习：已知3 3是方程是方程 的一根，求的一根，求m m及另一根及另一根230 xmx例例7 7、方程、方程 的两根同为正数，求的两根同为正数，求p p、q q的取值范围的取值范围. .02qpxx四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数变式变式: :方程方程有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围的取值范围. .解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx

13、四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20例例8 8、 已知方程的两已知方程的两 个实数根是且个实数根是且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0小结小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提

14、条件为b2-4ac0已知两个数的和是已知两个数的和是1，积是，积是-2，则两个数，则两个数是是 解法解法(一一):设两数分别为设两数分别为x,y则则:1 yx2 yx解得解得:x=2y=1或或 1y=2解法解法(二二):设两数分别为一个一元二次方程设两数分别为一个一元二次方程的两根则的两根则:022aa求得求得1, 221aa两数为两数为2,*已知两个数的和与积，求两数*求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析分析:(1)(1)列出的代数式列出

15、的代数式, ,证其恒大于零证其恒大于零(2)(x(2)(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0+360 方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得由题意得:解得解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 当当 时方程的一根大于时方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1132m *1.当当a取什么值时取什么值时,关于未知数关于未知数x的方程的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根只有正实数根?*2.已知已知:x1,x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根的两个非零实根,问问x1,x2能否同号能否同号?若能同号若能同号,请求出相应请求出相应m的取值的取值范围范围;若不能同号若不能同号,请说明理由请说明理由. *题题9 在在ABC中中a,b,c分别为分别为A, B,C 的对边的对边,且且c= ,若关于若关于x的方程的方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,又方程又方程 的两实数根的平方和为的两实数根的平方和为6,求求ABC的面积的面积.350)35(2)35