ch1复数和复平面讲课

1、1复变函数与积分变换复变函数与积分变换李李 畸畸 勇勇广西大学电气工程学院广西大学电气工程学院2一、教学及考核方式一、教学及考核方式主要参考书主要参考书（略）（略）考试方式：考试方式： 闭卷闭卷考试成绩：考试成绩： 平时占平时占 40%，考试占，考试占 60%作业：作业： 每次课交作业一次每次课交作业一次答疑：答疑： 每周一次每周一次课堂教学：课堂教学： 42 学时学时( (练习册练习册) )( (电气学院电气学院303303室室) )3二、二、教学内容教学内容本课程由本课程由复变函数复变函数与与积分变换积分变换两个部分组成。两个部分组成。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础复变函

2、数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数复变函数的内容包括：的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射映射以及以及解析函数在平面场的应用解析函数在平面场的应用。其中，带其中，带 “* *” 号的内容本课堂不需要掌握。号的内容本课堂不需要掌握。积分变换积分变

3、换的内容包括：的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换。4第一章 复数与复平面 第一章第一章 复数与复平面复数与复平面复数领域的推广和发展复数领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了世纪末期，经过了卡尔丹卡尔丹、笛卡尔笛卡尔、欧拉欧拉以及以及高斯高斯等许多人等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到

4、了全面产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉欧拉、达朗达朗贝尔贝尔、拉普拉斯拉普拉斯等。等。则是则是柯西柯西、黎曼黎曼和和维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯等。等。( (虚数史话虚数史话) )5第一章 复数与复平面 第一章第一章 复数与复平面复数与复平面1.2 复数的几种表示复数的几种表示1.1 复数复数1.3 平面点集的一般概念平面点集的一般概念1.4 无穷大与复球面无穷大与复球面6第一章 复数与复变函数 1.1 复数 1.1 复数复数一、复数及其运

5、算一、复数及其运算二、共轭复数二、共轭复数7第一章 复数与复变函数 1.1 复数 一、复数及其运算一、复数及其运算1. 复数的基本概念复数的基本概念定义定义 (1) 设设 x 和和 y 是任意两个实数，是任意两个实数，yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的数称为的数称为复数复数。 (2) x 和和 y 分别称为复数分别称为复数 z 的的实部实部与与虚部虚部，并分别表示为：，并分别表示为： ,Rezx .Im zy 当当 y 0 时，时，因此，实数可以看作是复数的特殊情形。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。(3) 当当 x 0 时，时，yiyiz 0称为称为纯虚数纯虚数；xixz 0就

6、是就是实数实数。将形如将形如.1 i其中其中 i 称为称为虚数单位虚数单位，即，即8第一章 复数与复变函数 1.1 复数 设设 与与 是两个复数，是两个复数，111yixz 222yixz 如果如果,21xx ,21yy 则称则称 与与 相等相等。1z2z它们之间只有相等与不相等的关系。它们之间只有相等与不相等的关系。一、复数及其运算一、复数及其运算1. 复数的基本概念复数的基本概念相等相等0 yixz当且仅当当且仅当.0 yx特别地，特别地，复数与实数不同，两个复数复数与实数不同，两个复数( (虚部不为零虚部不为零) )不能比较大小，不能比较大小，注注9第一章 复数与复变函数 1.1 复数

7、一、复数及其运算一、复数及其运算2. 复数的四则运算复数的四则运算设设 与与 是两个复数，是两个复数，111yixz 222yixz (1) 复数的加减法复数的加减法; )(212121yyixxzz 加法加法. )(212121yyixxzz 减法减法(2) 复数的乘除法复数的乘除法; )()(1221212121yxyxiyyxxzz 乘法乘法,21zzz .21zzz 如果存在复数如果存在复数 z，使得，使得则则除法除法10第一章 复数与复变函数 1.1 复数 一、复数及其运算一、复数及其运算2. 复数的四则运算复数的四则运算(3) 运算法则运算法则交换律交换律;1221zzzz .12

8、21zzzz 结合律结合律; )()(321321zzzzzz . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 11第一章 复数与复变函数 1.1 复数 二、共轭复数二、共轭复数1. 共轭复数的定义共轭复数的定义设设 是一个复数，是一个复数，定义定义yixz 称称 为为 z 的的共轭复数共轭复数，yixz 记作记作 。z共轭复数有许多用途。共轭复数有许多用途。注注比如比如21zzz )( )()( )(22222211yixyixyixyix 2221zzzz 12第一章 复数与复变函数 1.1 复数 二、共轭复数二、共轭复数2. 共轭复数的性质共轭复数的

9、性质其中，其中，“ ”可以是可以是;, ,2121zzzz (2);ImRe2222yxzzzz (3);zz (1)性质性质13第一章 复数与复变函数 1.1 复数 解解 (1)iizz435521 )43( )43()43( )55(iiii 25535i .5157i .5157i 21zz 21zz(2)14第一章 复数与复变函数 1.1 复数 证明证明2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz . )(Re221zz 15第一章 复数与复平面 卡尔丹称它们为卡尔丹称它们为“虚构的量虚构的量”或或“诡辩的量诡辩的量”。他还把它。他还把它们与们与负数统称为负数统称为“虚伪数虚伪

10、数”；把正数称为；把正数称为“证实数证实数”。附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话两数的和是两数的和是 10 , 积是积是 40 , 求这两数求这两数卡尔丹发现只要把卡尔丹发现只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在大术大术中求解这样的问题：中求解这样的问题： 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。学生哈里奥特的责难。16第一章 复数与复平面 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 整个十七世纪，很少

11、有人理睬这种整个十七世纪，很少有人理睬这种 “虚构的量虚构的量” 。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。仅有极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的意义下的“复数复数”的名称。的名称。 1632 年，笛卡尔在年，笛卡尔在几何学几何学中首先把这种中首先把这种“虚构的量虚构的量”改称为改称为“虚数虚数”，与，与“实数实数”相对应。同时，还给出了如相对应。同时，还给出了如今今17第一章 复数与复平面 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，法国数学家德摩佛给

12、出德摩佛定理：年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整数。是大于零的整数。,sin1cos1exxx 1748 年，欧拉给出了著名的公式：年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对并证明了德摩佛定理对 n 是实数时也成立。是实数时也成立。.1 1777 年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 来表示来表示18第一章 复数与复平面 附：附：历史知识历史知识 虚数史话虚数史话 十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。 1797 年，当时年仅年，当

13、时年仅 20 岁的高斯在他的博士论文中证明了岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。代数基本定理。 高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们高斯在证明中巧妙地给出了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。直观地理解了复数的真实意义。 十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。成为一个庞大的数学分支。而且而且 n 次多项式恰好有次多项式恰好有 n 个根。个根。任何多项式在复数域里必有根，任何多项式在复数域里必有根，即即19第一章 复数与复平面 附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 许多数学学科的开

14、创者和奠基人。许多数学学科的开创者和奠基人。 几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。 享有数学王子的美誉。享有数学王子的美誉。德国数学家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理学家、 天文学家20第一章 复数与复平面 高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，历时历时67年，出版了年，出版了高斯全集高斯全集，共，共12卷。卷。附：附：人物介绍人物介绍 高斯高斯 在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念

15、碑，它的底座砌成成的纪念碑，它的底座砌成 正十七边形正十七边形，纪念碑上是，纪念碑上是高斯的青铜雕像。高斯的青铜雕像。18岁岁( (返回返回) )21第一章 复数与复平面 1.2 复数的几种表示复数的几种表示一、复数的几何表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根四、几个关系四、几个关系22第一章 复数与复平面 一、复数的几何表示一、复数的几何表示1. 复平面复平面此时，此时，x 轴称为轴称为实轴实轴，y 轴称为轴称为虚轴虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，在平面上建立一个直角坐标系，定义定义用坐标为用坐标为 的点来的点

16、来),(yx,yixz 表示复数表示复数从而将全体复数和平面上的全部点从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来，一一对应起来， 的平面称为的平面称为复平面复平面或者或者这样表示复数这样表示复数 zz 平面平面。23第一章 复数与复平面 引进复平面后，引进复平面后，复数复数 z 与与点点 z 以及以及向量向量 z 视为同一个概念。视为同一个概念。yixz 在复平面上，从原点到点在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数所引的向量与该复数 z 也构成一一也构成一一一、复数的几何表示一、复数的几何表示1. 复平面复平面y 实轴实轴虚轴虚轴i yxz xO对应关系对应关系( (复数零复数零对应零向量对

17、应零向量) )。 比如，比如，复数的加减法复数的加减法等同于等同于向量的平行四边形法则向量的平行四边形法则。24第一章 复数与复平面 将复数和向量对应之后，除了利用将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，实部与虚部来给定一个复数以外，一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角y i yxz xOxyr 定义定义 设设 z 的是一个不为的是一个不为 0 的复数，的复数，. |z(1) 向量向量 z 的长度的长度 r 称为复数称为复数 z 的的模模，记为，记为还可以借助向量的长度与方向来给还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。定一个复数。(2)

18、向量向量 z 的的“方向角方向角” 称为复数称为复数 z 的的辐角辐角，记为，记为.Argz (?)25第一章 复数与复平面 一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角zxy 两点说明两点说明(1) 辐角是多值的，辐角是多值的，(2) 辐角的符号约定为：辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针取负号。逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差相互之间可相差,2 k其中其中 k 为整数。为整数。例如例如 对于复数对于复数,1iz 则有则有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k复数复数 0 的模为的模为 0，辐角无意义。，辐角无意义。注注26第一章 复数与复平

19、面 由此就有如下关系：由此就有如下关系：一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角主辐角主辐角对于给定的复数对于给定的复数 设有设有 满足：满足：,0 z zArg 且且, 则称则称 为复数为复数 z 的的主辐角主辐角，记作，记作 .arg z,2argArgkzz .,2,1,0 k27第一章 复数与复平面 )(31arctanarg ziiiiz)1(212 解解.3i ,10)1()3(|22 z31arctan . xy3 1 28第一章 复数与复平面 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示一、复数的几何表示3. 相

20、互转换关系相互转换关系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | 29第一章 复数与复平面 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示一、复数的几何表示3. 相互转换关系相互转换关系(2) 已知模与辐角，求实部与虚部已知模与辐角，求实部与虚部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出复数的三角表示式由此引出复数的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg30第一章 复数与复平面 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示1. 复数的三角表示复数的三

21、角表示称称 为为复数复数 z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如图，如图，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个辐角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由31第一章 复数与复平面 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示2. 复数的指数表示复数的指数表示)sin(cos irz .e ir 利用欧拉公式利用欧拉公式 得得 sincoseii 称称 为为复数复数 z 的的指数表示式指数表示式。 irze 定义定义 设复数

22、设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个辐角，,0 z但习惯上一般取为但习惯上一般取为主辐角主辐角。在复数的三角表示式与在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，指数表示式中，辐角不是唯一的，注注补补 ( (欧拉公式欧拉公式) )32第一章 复数与复平面 ,4412| z解解)(122arctanarg zxy212 31arctan 6 .65 . )65sin65cos(4iz 复数复数 的三角表示式为的三角表示式为z.465eiz 复数复数 的指数表示式为的指数表示式为z33第一章 复数与复平面 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数

23、表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复数的乘除法运算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 设设乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg2121zzzz ( (在集合意义下在集合意义下?)?) 两个复数乘积的两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；模等于它们的模的乘积；( (集合意义集合意义) )34第一章 复数与复平面 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复

24、数的乘除法运算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr 设设除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz ( (在在集合意义下集合意义下) ) 两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；模等于它们的模的商；,|2121zzzz 即即35第一章 复数与复平面 i)42(e21 i43e21 .2121i .1ii 例例 计算计算,2eii i 1i4e2 解解 由由有有ii42ee2 ii 1附附一些一些“简单简单”复数的指数形式复数的指数形式,1e i,

25、12e i,12e ik,2eii ,2eii .1 i i1i 1i 1i 1i 136第一章 复数与复平面 i)653(e4 i2e4 .4i i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i i31 ,23ei i 3i65e2 解解 由由有有ii653ee22 )3( )31(ii ii653ee22 ii 33137第一章 复数与复平面 复数复数 z 的的乘幂乘幂，设设 z 是给定的复数，是给定的复数， n 为正整数，为正整数，n 个个 z 相乘的积称为相乘的积称为定义定义三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂,e irz .)(ee nin

26、ninrrz 设设则则法则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,nz.个个nnzzzz 即即记为记为38第一章 复数与复平面 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，则得到，则得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进一步易得到正弦与余弦函数进一步易

27、得到正弦与余弦函数的的 n 倍倍角公式角公式。39第一章 复数与复平面 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1 33)(ei 32321 ii e.1 3( 1)1. 此外，显然有此外，显然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。40第一章 复数与复平面 复数复数 w ，三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根称为把复数称为把复数 开开 n 次方次方，或者称为求复数，或者称为求复数 的的zz 复数求方根是复数乘幂的逆运算复数求方根是复数乘幂的逆运算。设设 是给定的复数，是给定的复数，n 是正整数，求所有满足是正整数，求所有

28、满足 的的zzwn 定义定义n 次方根次方根，记作记作 或或nzw ./1 nzw 复数复数 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。z41第一章 复数与复平面 ,2nkn . )1, 1, 0( nk三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。设设推导推导,e irz ,e iw 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2 kn 得得,rn kk 正实数的算术根。正实数的算术根。由由zwn ,ee ininr 有有42第一章 复数与复平面 三、复数的乘

29、幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根描述描述,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0( nkk n在复平面上，在复平面上， 这这 n 个根均匀地个根均匀地nr为半径的圆周上。为半径的圆周上。. )/(n 根的辐角是根的辐角是分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以其中一个其中一个方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。43第一章 复数与复平面 例例 求求.83 ,28)(3233e ki 解解. )2, 1, 0( k具体为：具体为：,2 ,23ei.23ei 例例 求解方程

30、求解方程.013 z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k具体为：具体为：,1,32ei.232ei 32 23144第一章 复数与复平面 四、几个关系四、几个关系, |Re|zz . |Im|zz (1). |212121|zzzzzz (2)zIm|zzRez21zz 21zz 1z2z; |zz .|2zzz ,argargzz ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|z45第一章 复数与复平面 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz

31、 证证)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用复数与向量的关系，可以证明一些几何利用复数与向量的关系，可以证明一些几何问题问题。21zz 1z2zABC比如，上例证明的结论可描述为：比如，上例证明的结论可描述为：三角形的两边之和大于等于第三边。三角形的两边之和大于等于第三边。46第一章 复数与复平面 .sincose ii 1748 年，欧拉给出了著名的公式年，欧拉给出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五个最重要的数它把五个最重要的数 联系起来。联系起来。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知识广角知识广角 奇妙的欧拉公式奇妙的欧拉公式

32、克莱茵认为这是数学中最卓越的克莱茵认为这是数学中最卓越的)sin(cos)sin(cosee iiii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos i, )(sin)(cos)(e ii 47第一章 复数与复平面 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉瑞士数学家、自然科学家 (17071783)欧 拉Leonhard Euler十八世纪数学界最杰出的人物之一。十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献，不但为数学界作出贡献，而且把数学推至几乎整个物理领域。而且把数学推至几乎整个物理领域。48第一章 复数与复平面 (牛顿

33、全集牛顿全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多达整理出他的研究成果多达 74 卷。卷。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。一生共写下了一生共写下了 886 本书籍和论文。本书籍和论文。以每年平均以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。页的速度写出创造性论文。分析、代数、数论占分析、代数、数论占40%，几何占，几何占18%，物理和力学占物理和力学占28%，天文学占，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占弹道学、航海学

34、、建筑学等占3%，其中其中附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉49第一章 复数与复平面 课本上常见的如课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他创立并推广的。也都是他创立并推广的。 有的学者认为，自从有的学者认为，自从 1784 年以后，微积分的教科书年以后，微积分的教科书基本上都抄袭欧拉的书。基本上都抄袭欧拉的书。 欧拉编写欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。了大量的力学、分析学、几何学的教科书。无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学原理微分学原理以及以及积分学原理积分学原理都成为数学中的经典着作。都成为数学中的经典着

35、作。附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉50第一章 复数与复平面 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：初等几何的初等几何的欧拉线欧拉线多面体的多面体的欧拉定理欧拉定理解析几何的解析几何的欧拉变换欧拉变换四次方程的四次方程的欧拉解法欧拉解法数论中的数论中的欧拉函数欧拉函数微分方程的微分方程的欧拉方程欧拉方程级数论的级数论的欧拉常数欧拉常数变分学的变分学的欧拉方程欧拉方程复变函数的复变函数的欧拉公式欧拉公式51第一章 复数与复平面 欧拉的记忆力惊人！欧拉的记忆力惊人！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉能背诵罗马

36、诗人维吉尔能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗的史诗Aeneil，能背诵能背诵“全部全部”的数学公式，的数学公式，直至晚年，还能复述年轻时的笔记的直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部全部” 内容。内容。能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵前一百个质数的前十次幂，52第一章 复数与复平面 欧拉的心算能力罕见！欧拉的心算能力罕见！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了道听途说道听途说的前的前 17 项加起来，算到第项加起来，算到第 50 位数字，位数字，两人

37、相差一个单位；两人相差一个单位；全部运算，最后把错误找了出来。全部运算，最后把错误找了出来。53第一章 复数与复平面 欧拉的毅力极其顽强！欧拉的毅力极其顽强！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉可以在任何不良的环境中工作。可以在任何不良的环境中工作。常常抱着孩子在膝上完成论文。常常抱着孩子在膝上完成论文。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的在失明后的 17 年间，还口述了年间，还口述了400 篇左右的论文。篇左右的论文。( (返回返回) )54第一章 复数与复平面 关于关于 ( (在集合意义下在集合意义下) )2121ArgArg)(Arg

38、zzzz 附：附： 所谓所谓“在集合意义下在集合意义下”是指：是指：分别从集合分别从集合 中与集合中与集合 中任取一个中任取一个元素元素( (即辐角即辐角) )，相加后，得到集合相加后，得到集合 中的中的2Argz1Argz)(Arg21zz 一个元素一个元素( (即辐角即辐角) )。比如比如 设设,zzw 则则,|2zzzw zzzzwArgArg)(ArgArg 事实上，事实上，)2arg()2arg(ArgArg21kzkzzz kkz)(2arg221 ;2arg2kz )2(arg2Arg2kzz .Arg2z.4arg2kz ( (返回返回) )55第一章 复数与复平面 1.3 平

39、面点集的一般概念平面点集的一般概念一、平面点集一、平面点集二、区域二、区域三、平面曲线三、平面曲线56第一章 复数与复平面 一、平面点集一、平面点集1. 邻域邻域设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义0z,0 z0 z0(1) 称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；| :0 zzz0z (2) 称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。|0:0 zzz0z 57第一章 复数与复平面 内点内点一、平面点集一、平面点集2. 内点、外点与边界点内点、外点与边界点;0Gz (1)内点内点外点外点边界点边界点考虑某平面点集考虑某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ，0z,| :0 z

40、zz(2),0 有有.Gz 外点外点;0Gz (1),| :0 zzz(2),0 有有.Gz 边界点边界点0z(1)不一定属于不一定属于 G ；在在 中，中， |0zz(2),0 既有既有,Gz 又有又有.Gz 边界边界 G 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 G 的的边界边界。58第一章 复数与复平面 3. 开集与闭集开集与闭集开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 G 为为开集开集。一、平面点集一、平面点集闭集闭集 如果如果 G 的边界点全部都属于的边界点全部都属于 G ，则称，则称 G 为为闭集闭集。4. 有界集与无界集有界集与无界集定义定义 若存

41、在若存在 ，使得点集，使得点集 G 包含在原点的包含在原点的 邻域内，邻域内，0 则则 G 称为称为有界集有界集，否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。59第一章 复数与复平面 二、区域二、区域1. 区域与闭区域区域与闭区域区域区域 平面点集平面点集 D 称为一个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件:(1) D 是一个开集；是一个开集；(2) D是是连通连通的，的，闭区域闭区域 区域区域 D 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域, 记作记作 D。不不连连通通的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。即即 D 中任何两点都可以用完全属

42、于中任何两点都可以用完全属于 D连通连通60第一章 复数与复平面 二、区域二、区域2. 有界区域与无界区域有界区域与无界区域 ( (顾名思义顾名思义) )3. 内区域与外区域内区域与外区域（如何围出面积最大的区域）定义定义 一条一条“简单闭曲线简单闭曲线( (?) )”把整个复平面分成两个区域，把整个复平面分成两个区域， 其中其中有界有界的一个称为该简单闭曲线的的一个称为该简单闭曲线的内部内部( (内区域内区域) )，称为该简单闭曲线的称为该简单闭曲线的外部外部( (外区域外区域) )。4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域定义定义 设设 D 为区域，如果为区域，如果 D 内的任何一条简单

43、闭曲线的内的任何一条简单闭曲线的内部内部仍仍属于属于 D，则，则 D 称为称为单连通域单连通域， 多连通域多连通域又可具体分为又可具体分为二连域二连域、三连域三连域、 。另一个另一个否则称为否则称为多连通域多连通域。61第一章 复数与复平面 A 省省( (二连域二连域) )( (三连域三连域) )二、区域二、区域4. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域A 省省( (单连域单连域) )B 省省( (单连域单连域) )B 省省( (非区域非区域) )举例举例( (杜撰杜撰) )飞地飞地62第一章 复数与复平面 ;1| )2(| iz区域区域1 2 + i闭区域闭区域3/( (角形角形) )区域区

44、域;0 x63第一章 复数与复平面 三、平面曲线三、平面曲线1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在复平面上在复平面上.0)( zf 如何相互转换如何相互转换？( (比较熟悉比较熟悉) )( (比较陌生比较陌生) )(1)0),( yxf2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf(2)0)( zfyixz .0),( yxf( (建立方程建立方程) )( (理解方程理解方程) )64第一章 复数与复平面 22(1)4.xy0.y.yx 22221.2(3)xy.122 yxi i(1)i i(2)2i 2(3)1 12 2i3i3 (4)1 1(5)65第

45、一章 复数与复平面 三、平面曲线三、平面曲线2. 参数式参数式 , )(, )(tyytxx 在直角平面上在直角平面上. )( t, )()()(tyitxtzz 在复平面上在复平面上. )( t例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。)()()( yixzz (2) 在复平面上在复平面上 ,sin)(,cos)( RyyRxx(1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e iRz 66第一章 复数与复平面 三、平面曲线三、平面曲线3. 曲线的分类曲线的分类, )()()(tyitxtzz 考虑曲线考虑曲线. )( t简单曲线简单曲线当当 时，时，, ,2 t. )()(21tztz 21tt , ),(1 t简单闭曲线简单闭曲线. )()( zz 简单曲线且简单曲线且光滑曲线光滑曲线.0)( tz在区间在区间 上，上，和和 连续且连续且, )(tx )(ty 简单、不闭简单、不闭简单、闭简单、闭不简单、闭不简单、闭不简单、不闭不简单、不闭67第一章 复数与复平面 三、平面曲线三、平面曲线4. 有向曲线有向曲线定义定义 设设 C 为平面上一条给定的光滑为平面上一条给定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲线曲线，指定指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向的两