第七章数理方程

1、第七章第七章 一维有限区间中的波动方程一维有限区间中的波动方程 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立 7.2 7.2 分离变量法分离变量法 7.3 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 7.5 7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例1 两端固定弦的自由振动 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立均匀细弦两端拉紧拉紧并固定，被拨动后开始振动。第一步第一步：由物理基本理论建立描述该现象的方程 coscos2211TTTTxu x tt221122sinsin( , ) xutTtgtg222221 cosxxxxux

2、uT cos222222utTuxuxxxxxco sx 0u x tu x t( , )( , )22xuxxuxuxxx 假定弦振动属于微小横振动，即 ， 所以 u x tl( , ) TTT12120022222xuatu “一维齐次波动方程一维齐次波动方程”2222xuTtu波速）m/s:SI （Ta1.边界条件： 弦两端固定不动，所以不管在什么时刻，u(x,t)在两端点(x=0和x=l)处取值为0，即： u(0,t)=0, u(l,t)=0uuxx l000;记为：第二步第二步：由已知条件确定满足的边界及初始条件 2.初始条件： 假如初始时刻弦各处的运动状态为已知，即已知 t=0 时

3、刻弦上各点的位移和速度: ( ,0)( )tu xx( ,0)( )u xx,txuuuutx2222,ttxxuuuutx第三步第三步：写出定解问题)0()();( 0; 0 0;(a 00002lxxuxuuuuautttlxxxxtt第一类齐次边界条件）一维齐次波动方程）例2 两端固定弦的受迫振动 0 xlx0 xlxT1T2xdxxdxtxF),(xTT1122coscosTTF x t dxdxu x tt221122sinsin( , )( , ) 2222 ),( tutxFxuTTatxFxuatu ,),( 222220 ; 0 ( 0 ; 0 0;(a ,0002tttlx

4、xxxttuuuutxfuau第一类齐次边界条件）一维非齐次波动方程）例3 一端固定另一端受力的均匀细杆的纵振动。 SxutP xx tP x tS22(, )( , )P x tYuxx( , ) xutYuxuxxxx22x 0dxxuxuxuuuxxx22 ,22 22 xuYtuua uaYttxx20 问题给定了细杆一端固定另一端受应力F(t)。 在固定端(x=0)处位移为0，所以 u(0,t)=0。在受力端(x=l)处应力为F(t)，那么 )( tFxuYlx 再假设初始条件为 00( )( )tttuxux， 那么完整的定解问题为: ua uaYttxx20 00 ( ) xx

5、x luF tuY第一类齐次边值条件第二类非齐次边值条件00( )( )tttuxux小结:1. 定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件;2. 微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高阶小量,就可得到所需的偏微分方程;3. 定解条件: 边界条件+初始条件(+附加条件);4. 边界条件: Ux+Ux=0 或 x=l = f(t) (f=0 齐次, f0 非齐次) 第一类边界条件 = 第二类边界条件 第三类边界条件7.2 7.2 分离变量法分离变量法 例4 求解两端固定弦的自由振动问题 ua

6、 uttxx20uuxx l000;ux uxxltt t000( );( );()解：假设试解 u x tX x T t( , )( ) ( )X x Tta Xx T t( )( )( ) ( )20)()( )()( 2tTatTxXxXXxX x( )( )00)()(2tTatT 根据问题的边值条件可得:XT t( ) ( )00X l T t( ) ( ) 0T t ( ) 0因为 , 所以 XX l( );( )000 XxX xXX l( )( );0000 为待定参数(i) 0，那么通解为因此本征值为： nnln212 3 (, , ,)相应于每一本征值 有一本征函数 为:n

7、 XxnXxCxCn xlnnn( )sinsin(, , ,)221 2 3 n 其次，对每一个本征值 ，T(t)的方程为：2( )( )0nnnTta Tt以上方程通解为：T tAn atlBn atlnnnn( )cossin(, , ,) 1 2 3 因此，对应每个本征值，相应地得到一个既满足方程又满足边值条件的本征解。u x tAn atlBn atln xlnnnn( , )cossinsin(, , ,) 123o ln = 4 每一个本征解代表弦一种特定频率的驻波振动，称为弦的本征振动。本征振动的角频率为： nn aln (, ,)1 2 3 当n=1时，对应于最低频率，称为基

8、频基频。 当n1时，相应的本征振动的频率是基频的倍数，称为n n次谐频次谐频。 一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初始条件，因此本征解并不是定解问题的解。 可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边值条件。若要使其满足初始条件，那么 )(sin )(sin11xlxnlanBxlxnAnnnnu x tAn atlBn atln xlnnn( , )cossinsin 1 为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解进行线性叠加，从而形成如下的通解式: (x)和和 (x)的傅氏展开的傅氏展开 根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中待定常数A B nnn,(, , ,)1 2 3 sin )(2

9、 , 3 , 2 , 1 sin )(200lnlndlnanBndlnlA例5 管乐器一般是直径均匀的细管，一端封闭、另一端开放。管内空气的驻波振动可归结为如下本征值问题，试求出各种本征振动。 ua uttxx20uuxxx l000解：设试解 u x tX x T t( , )( ) ( )()()()(2tTatTxXxX另外，根据问题的边值条件可得:XX l( );( )0000)()(2tTatT 0)( , 0)0( 0)()( lXXxXxX(i) 若0，得到解为 X xcxcx( )cossin12 代入边界条件后得: ccl1200 cos 0c20，若要使 ，那么 cosl

10、 0 (nnln12012222, , ,) 相应的本征函数为： Xxnxlnn( )sin(, , , ,)12012 3 T tAnatlBnatlnnnn( )cossin(, , , ,)12120123 因此该问题的本征解为: ), 2 , 1 , 0( 21sin 21sin 21cos),(nlxnlatnBlatnAtxunnn管乐器中空气的本征振动角频率为： (1/ 2) (0,1, 2,3,)nnanl 当n=0时，对应于最低频率0（基频基频）。）。 0024al 当n1时，相应的本征振动频率是n n次谐频次谐频。 (21)24nnnal管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐

11、频只有奇次谐频，没有偶次谐频。分离变量法解题的四步分离变量法解题的四步:1. 设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征值问题)和相应的边界条件;2. 解本征值问题,求出本征解集和相应的本征值集.并进而解出与每一个本征值相应的其它各常微分方程的解;3. 利用迭加原理,将所有(与不同的本征值相对应的)可能的解迭加成级数形式的解;4. 根据初始条件或尚未用到的边界条件,决定迭加成级数时所需要的迭加系数.补充知识：拉普拉斯变换补充知识：拉普拉斯变换 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 例6 求解两端固定弦的受迫振动问题。ua uf x

12、tauuuuxlttxxxx lttt20000000( , );) ( 0) (0Xxn xlnn( )sin(, , ,) 1 2 3 解：根据前面讨论，满足边界条件的本征函数: 假设u(x,t)展开成如下傅里叶级数: u x ttn xlxln( , )( )sin()T n10 另外，非齐次项f(x,t)也应该展成傅里叶级数。)0( sin)(f),(1nlxlxnttxfn其中系数 为已知函数，可按下式求出:fn( ) tf n( )( , )sintlftnldl20 将u(x,t)和f(x,t)的傅里叶展开式代入方程和初始条件得: 0sin) 0(T0sin) 0(T sin)(

13、fsin)(Tsin)( 1 n1n1n1n21 nnnnnnlxnlxnlxntlxntlanlxntT ), 3 , 2 , 1( 0)0(; 0)0( ), 3 , 2 , 1( )()(T)( n2 nTTntftlantTnnnnP Tpn alTpfpnnnn212 3( )( )( )(, , ,)2 latnanllanptfpflanppfpTnnnnsin; )()()()(2211 -221LL tnndltananlftT0 )1,2,3,=(n )(sin)()( 最后得到该定解问题的解为: u x tfln an a tldn xlxlntn( , )( )sin(

14、)sin() 010例7 求解如下定解问题:ua uAm xltuuuuxlttxxxxxx lttt20000000cossin;) m (0为已知正整数解：满足边界条件的本征函数为： Xxn xlnn( )cos(, , , ,) 0 1 2 3 所以可假设问题的解具有如下傅里叶级数形式： u x ttn xlxln( , )( )cos()T n00 将上式代入定解问题的方程及初始条件。20( )( ) coscossinnnnn an xm xTtT tAwtlll)0,1,2,3,=(n 0)0(,0)0( nTTn比较方程两边的系数得到: sin)()(T )( 0)()(T2 m

15、2 nwtAtTlamtmntTlantmn2 nnn( )( )0 () (0)=0,(0)=0 nnaTtTtnmlTT)( 0)(mntTn2 mmmm( )( )sin (0)=0,(0)=0 m aTtTtAtlTT2222()() mmmaP TpTpAlp22 ( )sinsinmAlm atT ttm alm al cos)(= cos)(),(0lxmtTlxntTtxumnn22=sinsincosAlm atm xtm allm al2222222222111( ) mAATpppm am am applll7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 例8

16、一端固定(x=0)、另一端受周期性应力 作用的均匀细杆的纵振动问题。Pwt0sin) 0; 0(sin; 0 0)( 000002tttlxxxxxttuuYPAwtAuuauau解：不妨假设问题的解为 u x tv x tAxwt( , )( , )sin v(x,t)将满足齐次边界条件 vvxx x l000;vAw xwta vttxx220sinvAxwtvAwxwttttsin;cos0000 va vAw xwtavvvvAwxxlttxxxxx lttt 22000000sin;) ( 0) (0 lxnxXn21sin)()0( ;sin)(),(121lxlxntTtxvnn

17、0021221210210212212210222221 210 0021= nnnnnnnnnnnlxnnlAwlxnTlxnTlxnnlwtAwlxntTlantTsin)(sin)(sin)(sin)(sinsin)()( ), 2 , 1 , 0( ,2) 1() 0 ( ; 0) 0 (), 2 , 1 , 0( ;sin2) 1()()( 2211 2212221 nnlAwTTnwtnlAwtTlantTnnnnnn212222112222222( )( 1)nnlAwpTpnnapwpl 22222222( )( 1)(1 2)( )(1 2) 2( 1);(0,1,2,)(1

18、 2) nnnnlAwP Tpna l TpnlAwwnnpw 1122112221102221122122110222sinsin()2( , )( 1)sinsinsinsin()2( 1)sinnnnnnanatwwtnxlAwllu x tlnnawlAxwtnatnawwtnxaAllnlnawl221221212211sinsin2) 1()( lanwlatnlanwtwnlAwtTnn例9 求解定解问题 ua uAauuBuuttxxxx lttt2000000 ( 0) ;u x tv x tw x( , )( , )( )解：设 若要使v(x,t)满足如下齐次的定解问题：

19、va vxlvvvw x vttxxxx lttt 20000000 (0 );( ); 则w(x)必须满足条件： a wxAww lB200( )( ); ( ) 求解以上定解问题很容易求出： w xAaxBlAlax( ) 22222v x tCn atlDn atln xlnnn( , )cossinsin1 根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以确定待定系数C D nnn,(, , ,)1 2 3 Cn xlw xAaxBlAlaxnnsin( ) 122222), 3 , 2 , 1( ) 1(222222332nanAlBnanAlCnn1sin00 (1,2,3,)nnn

20、n an xDllDnxaAllBxaAlxnlatnanAlBnanAltxunn2221222233222sincos) 1( 22),(22233222144( 1)sinsin2nnAlAln atn xBnann all7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题 ( , )f x tx 弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。 ( , )( , )u x tfx tkt ( , 为常数) 0kk 2222200o200 ; u0 ; xx ltttuuuattxuuxux TT1122coscos 222112( , )sinsin( , ) u x

21、tTTf x txxt 222222( , )uuuuTf x tTktxxt类似于本章例1的推导可以得到：Ta2k（阻尼因子）解：采用分离变量法，设 ,u x tX x T t2( ) ( )2( ) ( )( ) ( )0X x TtX x T ta Xx T t2( )2( )( )( )( )TtT tXxa T tX x 220TtTtaT t( )( )0XxX x XT t( ) ( )00X l T t( )( ) 0T t ( ) 0因为 , 所以 (0)0,( )0XX l 0; 000lXXxXxX2lnn sin(1,2,3,)n xX xnl 220nnnn aTtT

22、tTtl22lann3 , 2 , 1,nlan假设（小阻尼情形） cossintnnnnnTteAtBt那么0510152025-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 T(t)t T(t) = e- 0.1t(sint+cost) T(t) = sint+cost衰减函数衰减函数 e-t1,cossinsintnnnnnnxux teAtBtl 11sin sinnnnnnnn xAxln xABxl n2 sin lonAdll n002sin2 sin lnnnlnAnBdllndll 例例11 均匀传输线中的电压波动方程。均匀传输线中的电压波动方程。 假设一段均匀传输线每单位长度的电阻、电感和电容分别为R0、L0和C0 。若传输线一端(x=0)绝缘，另一端(x=l)从t=0时刻开始施加稳恒电压E，求传输线中电压波动函数(忽略电漏)。 xxx+xu ( x , t )u ( x+x , t )R0 xC0 x L0 xI( x , t )I( x +x,