重积分的应用

1、1( , )d dDf x yx y 直直角角坐坐标标系系下下计计算算极极坐坐标标系系下下计计算算 X 型型区区域域Y 型型区区域域 D极极点点在在区区域域 的的外外部部D极极点点在在区区域域 的的边边界界上上D极极点点在在区区域域 的的内内部部( , , )df x y z v 直直角角坐坐标标系系 “先先一一后后二二”“先先二二后后一一”21( , )( , )d d( , , )dxyz x yz x yDx yf x y z z 21d( , , )d dzccDzf x y zx y ( cos , sin , ) d d dfzz 2( , , ) sin d d dF rrr 重

2、积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 累次积分法累次积分法2第六节一、平面图形的面积及立体体积一、平面图形的面积及立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的重心三、物体的重心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 3dDD 一一、利利用用可可以以求求平平面面图图形形 的的面面积积. .( , )ddDf x yv 二二、利利用用或或可可以以求求立立体体的的体体积积. .2222.1262zxyzxy 计计算算曲曲面面及及所所围围成成的的立立体体的的体体积积例例22226 22zxyxoyzxy 交交线线在在面面上上的的投投影影为为：222x

3、y ，所求立体的体积为所求立体的体积为12VVV 2222(6 2) (2)dDxyxy 223 (2)dDxy 2 22 0 03d(2) d 6 222xy 42222.1262zxyzxy 计计算算曲曲面面及及所所围围成成的的立立体体的的体体积积例例12VVV 2222(6 2) (2)dDxyxy 6 另解：另解：dVv 22226 22d ddxyxyxyDx yz 2222(6 2) (2)dDxyxy 6 1. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有对区域具有可加性可加性.分布在分布在有界闭域有界闭域上的整体量上的整体量. 2.

4、用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 -元素法元素法问题：满足什么条件的量可用重积分解决？问题：满足什么条件的量可用重积分解决？222xy 5元素法的步骤：元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.01( , )dlim(,).niiiiDf x yf (1),d ,d ,D 作作图图分分割割区区域域 ，取取一一代代表表性性的的小小区区域域其其面面积积也也为为(2)dd( , )d ,Uf x y 求求出出与与对对应应的的部部分分量量的的近近似似值值( , ) dx y 其其中中，U量量 的的微微分分元元素素(3)写写出出二二重重积积分

5、分的的表表达达式式：( , )dDUf x y 01( , , )dlim(,).niiiiif x y zvfv 元素法也可推广到三重积分上元素法也可推广到三重积分上6 设曲面设曲面S的方程为的方程为),(yxfz 曲面曲面S在在xoy面上的投影为区面上的投影为区域域D，如图，如图， 设小区域设小区域，D d点点(x,y)， d 为为S上过点上过点M(x,y,z)的切平面，的切平面， 以以 d的边的边界为准线，界为准线，母线平行于母线平行于z轴的轴的小柱面，小柱面， 截曲面截曲面S为为，Sd截截切平面切平面 为为，Ad则有则有dSd . Axzoy),(yxfz sAd ),( yxfz x

6、yzso d),(yxM d),(yxMSdD三三、利利用用二二重重积积分分的的元元素素法法求求曲曲面面面面积积：则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积处小切平面的面积 d A无限积累而成无限积累而成.01limdniSA 7 cosdd A niyxffS1220d1lim .d122 DyxffS ),( yxfz xyzso d),(yxMAd d122yxff (,1)xynff .面面的的夹夹角角是是切切平平面面与与 xoy 因为因为 d为为Ad在在xoy面上的面上的投影，投影， 则有则有dcos dA 221cos1xxff 01limdn

7、iSA 8zdcos dA Ad d1d2Aab cos21dab n k n 9设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()() d d .zxyyzxDAz x 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()() d d ;yzxxyzDAy z 同理可得同理可得曲面面积公式为：曲面面积公式为：221 ( )( ) d dxyzzxyDSx y 即即 设曲面的方程为：设曲面的方程为： ),(yxfz ,xyDxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在( , )xyx yD 即即( , )yzy zD

8、 ( , )zxz xD 10 xzy 1D：axyx 22,222yxaxxz 解：解：)0,( yxxoyaxyx 22 1D,222yxayyz 2222azyx axyx 22例例1. 求球面求球面，含在圆柱体，含在圆柱体内部的那部分面积内部的那部分面积.曲面方程：曲面方程： 222zaxy 由对称性知：由对称性知：14AA ,221( )( )?zzxy 于于是是1112224d dDax yaxy 2cos220014ddaaa .4222aa xoyaxyx 22 1Dcosa ,222yxaa 面积为：面积为：12241d dxyDAzzx y 10,:20cos .Da 22

9、1( )( )zzxy于于是是12二、重 心 ( , , )x y z ( , , )x y z 设密度函数为设密度函数为的空间物体的空间物体 V，在在 V 上连续上连续. .为求得为求得 V 的重心坐标的重心坐标, ,先对先对 V 作分割作分割 T, iV(,)iiiiV 是小块是小块的质量可用的质量可用近似代替近似代替, 若若 把每一块看作质量集中在把每一块看作质量集中在(,)iii 的质点时的质点时, 整个整个物体就可用这物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替个质点的质点系来近似代替. .由于由于质点系的重心坐标公式为质点系的重心坐标公式为iV(,),iii 在属于在属于 T 的每一

10、小块的每一小块 上任取一点上任取一点于于 1311(,),(,)niiiiiinniiiiiVxV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVyV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVzV 14的重心坐标的重心坐标: : ( , , )d,( , , )dVVxx y zVxx y zV ( , , )d,( , , )dVVyx y zVyx y zV ( , , )d.( , , )dVVzx y zVzx y zV 当物体当物体 V 的密度均匀分布时的密度均匀分布时, 即即 为常数时，则有为常数时，则有0T 时时，当当自然地可把它们的极限定义作为自然地可把它们的极限定义

11、作为 V 15111d,d,d.VVVxx Vyy Vzz VVVV同样可以得到同样可以得到, 密度函数为密度函数为( , )x y 的平面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐标重心坐标: : ( , )d( , )d,.( , )d( , )dDDDDxx yyx yxyx yx y 当当 为常数时，则有为常数时，则有1d ,DxxD 1d .DyyD 16例例2 求密度均匀的上半椭球体的重心求密度均匀的上半椭球体的重心. . 解解 设椭球体由设椭球体由 2222221,0 xyzzabc表示表示. 借助对借助对 0,0.xy 又由又由为常数为常数, 所以所以 称性知道称性知道dd d d.2d

12、3VVVz Vz x y zzVabc232,438czabcabc 故得故得 2d d d,4Vzx y zabc 即求得上半椭球体的重心坐标为即求得上半椭球体的重心坐标为 3( 0, 0,).8c173 3. .转转动动惯惯量量 质质点点对对一一个个轴轴的的转转动动惯惯量量= =质质点点的的质质量量 质质点点到到轴轴的的距距离离的的平平方方. .( (1 1) )质质点点对对一一个个轴轴的的转转动动惯惯量量：xoyn设设在在平平面面上上有有 个个质质点点, ,它它们们分分别别由由力力学学知知识识知知道道：xy该该质质点点系系对对 轴轴以以及及对对 轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为：21

13、nxiiiIy m ，( (2 2) )质质点点系系的的转转动动惯惯量量：12,nm mm质质量量分分别别为为1122(,),(,),(,),nnx yx yxy位位于于点点处处21nyiiiIx m ，2Imd 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 18xy( (3 3) )非非均均匀匀平平面面薄薄片片对对 轴轴、 轴轴的的转转动动惯惯量量：xoyD设设有有一一平平面面薄薄片片, ,占占有有面面上上的的闭闭区区域域为为 , ,( , )x y在在点点处处的的( , ),( ,

14、),x yx yD 面面密密度度为为假假定定在在 上上连连续续x求求该该薄薄片片对对 轴轴的的转转动动惯惯.xyIyI量量 以以及及对对 轴轴的的转转动动惯惯量量用用元元素素法法：d ,D 在在 上上任任取取小小块块( , )d ,x y 则则( , )d ,mx y ( , ),x y这这部部分分质质量量可可近近似似地地看看作作集集中中在在点点上上x于于是是对对 轴轴的的转转动动惯惯y量量以以及及对对 轴轴的的转转动动惯惯量量元元素素为为：2d( , )d ,xIyx y 得：得：2d( , )d ,yIxx y 2( , )d ,xDIyx y 2( , )d .yDIxx y xDyo(

15、 , )x yd 2211nnxiiyiiiiIy mIx m ，192300sindda 例例3.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量的转动惯量.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,222:0 xyaDy 2ddxDIyxy 32sinddD 414a 214M a 半圆薄片的质量半圆薄片的质量212Ma 122 2 oxyDaa2( , )d ,xDIyx y 2( , )d .yDIxx y 20 xyz（4 4）空空间间物物体体对对 轴轴、 轴轴、 轴轴的的转转动动惯惯量量：,( , , )( , , )x y zx y z 占占有有空空间间有

16、有界界闭闭区区域域在在点点处处的的密密度度为为( , , ), ,x y zx y z 假假定定在在 上上连连续续的的物物体体对对于于轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为：xyzodv ( , , )x y z22() ( , , )d ,xIyzx y zv 22() ( , , )d ,yIxzx y zv 22() ( , , )d .zIxyx y z v 2Imd 21D4 4. .平平面面薄薄片片对对质质点点的的引引力力xoyD设设有有一一平平面面薄薄片片, ,占占有有面面上上的的闭闭区区域域为为 , ,( , )x y在在点点处处的的( , ),( , ),x yx yD面面密密

17、度度为为假假定定在在 上上连连续续求求该该平平面面薄薄片片对对位位于于0(0,0, )(0).zMaa 轴轴上上的的点点处处引引力力的的单单位位质质点点的的z薄薄片片对对 轴轴上上的的单单位位质质解解: :点点的的引引力力(,),xyzFF F F , ,.xyzF i F j F kFx y z 其其中中分分别别为为 在在轴轴上上的的分分向向量量zydF 0(0,0, )Mao( , )x yd (,)(cos , cos ,cos ).yzxaaaaeaaa 2222( , )dd,()Gx yFxya d( , ,)Fx ya G为为引引力力常常数数. .x22(,)(cos , cos

18、,cos ).yzxaaaaeaaa 32222( , )d ,()xDx y xFGxya 32222( , )d ,()yDx y yFGxya 32222( , )d .()zDx yFaGxya G为为引引力力常常数数. .d( , ,)Fx ya 222cos()xxya 222cos()yxya 222cos()axya 2222( , )dd,()Gx yFxya 23222rxyz G 为引力常数为引力常数推广推广到空间立体到空间立体 ：设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,( , , )x y z 连连续续，物体对位于物体对位于原点的单位质量原点的单位质量质点的引力质点的引

19、力利用元素法利用元素法,其密度函数其密度函数rzxvdydF (,)xyzFF F F 3( , , )dxx y z xFGvr 3( , , )dyx y z yFGvr 3( , , )dzx y z zFGvr 24 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定)( 二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)01( , )dlim( , )niiiLif x y sfs ( , )d( , )dLP x y x Q x y y 01lim ( , )( , )niiiiiiiPx Qy dd(coscos

20、)dLLP xQ yPQs 22( , )d , dLf x y sft dd ( , )( , ) dLP x Q yPQt 25与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 LyQxP dd(1)在在G内内与路径无关，与路径无关，(4)在在G内存在内存在u(x,y),，yQxPuddd 使使，xQyP (3)在在G内，内， CyQxP , 0dd(2)使闭曲线使闭曲线.GC 在单连通区域在单连通区域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有连续的连续的一阶偏导数，一阶偏导数，则以下四个命题成立则以下四个命题成立.261.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系

21、 ( )d( )( )( )( )baf xxF bF aF xf x 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系()d ddd()LDQPx yP xQ yLxy 沿沿 的的正正向向格林公式格林公式27第二类曲线积分第二类曲线积分 ddLP xQ y 二二代代一一定定化化为为第第一一类类线线积积分分格格林林公公式式( (L L闭闭) )QPxy = =( (更更换换路路径径) ) 28计算中涉及的有关公式计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义两类曲线积分的几何意义dLsL 表表示示曲曲线线 的的长长度度. . dABxLx 在在 轴轴上上的

22、的投投影影( (可可正正可可负负) ) dAByLy 在在 轴轴上上的的投投影影( (可可正正可可负负) )BAxx = =BAyy = =闭区域闭区域D的面积的面积.dd21 LxyyxA29_dd21L xyyxL422 yx4.曲线积分曲线积分，其中，其中是是沿逆时针方向一周沿逆时针方向一周.4 ()dd( ).22Lxyxxy y13 3. 设设L为从点为从点(1,1)到点到点(0,0) 的直线段，则的直线段，则 （A） ；（；（B） 3 ； （C） 0 ； （D） D222(0),LxyR R 1 1. .设设 为为平平面面曲曲线线上上的的整整个个圆圆周周曲曲线线 则则曲曲线线积积22d( ).xyes L L分分.0.2e ; .2; .e .RRABRCRD ； B(1,0)(0,1),()d_.LLxys 2.2.设设 为为连连接接及及两两点点的的直直线线段段 则则230C31(-2,1)(2, 1),MN 7 7. .设设 为为从从点点到到点点的的一一段段光光滑滑曲曲线线弧弧 则则下下列列曲曲线线积积分分的的值值小小于于零零的的是是（ ）( )d ; ( )d ;AxBy 33( )d ; ()dd . CsDxxyy B221,Lxy 6 6.