全等三角形三种证明方法经典例题

1、精品文档全等三角形经典例题典型例题：知识点一：全等三角形判定 1例1:如图，在 AFD和4EBC中，点A, E, F, C在同一直线上，有下面四个论断：(1)AD= CB; (2) AE= CF; (3) DF= BE; (4) AD/ BG请将其中三个论断作为条件，余下的一个 作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。思路分析：1)题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形 判定1中的三边对应关系。2)解题思路：根据全等三角形判定1 :三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等， 而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的(1)(2

2、) (3)作为条件，来证明论断(4)。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。解答过程：已知：如图，在 AFD和4EBC中，点 A, E, F, C在同一直线上， AD= CR AE= CF, DF = BE。求证：AD/ BG证明： AE= CF . AE+ EF= CF+ EF AF= CE在 AFD和 CEB中，AD CB - AF CEDF BE AF® EBC (SSS) A= / C .AD/ BC解题后的思考：在运用全等三角形判定 1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关 系，然后给出证明。小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生

3、的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。知识点二：全等三角形判定 2例2：已知：如图， OP是 AOC和 BOD的平分线，OA OC, OB OD。求证：(1)AOA里OCD(2) AB CD。思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。2）解题思路：根据全等三角形判定 2:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。解答过程：证明：（1） .OP是 AOC和 BOD的平分线，/ AOP= / COP / BOP= / DOP / AOP- / BOP= / COP- / DOPAOB= / COD在 OA丽

4、 OC邛，OA OCAOB CODOB OD. OA四 OCD（ SAS）（2）由（1）知 OABAOCDAB= CD解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2,找准对应边和对应角。例 3:已知：如图， AB/ CD AB= CD 求证：AD/ BC AD= BC思路分析：1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。2）解题思路：根据全等三角形判定 2:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 在证明三角形全等之前， 要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB/ CD这个条件。解答过程：连接BD AB/ CD1=/ 2

5、在 AD* 口 CBD43,AB CDABD CDBBD DB. .AD整 CBD（SAS）AD= BC, / ADB= / CBD .AD/ BC 综上：AD/ BC, AD= BC 解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。例4: （1）在图1中， ABC和4DEF满足 AB= DE, AG= DF, Z A= Z D,这两个三角形全 等吗？ （ 2）在图2中， ABC和4ABD满足 AB= AB, AC= AD, / B= / B,这两个三角形全 等吗？思路分析：1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判

6、定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。2）解题思路：在图1中， ABC和 DEF满足AB= DE AC= DF, / A= / D,即两个三 角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，ABHD ABD荫足AB= AB, AC= AD, /B= / B,这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。解答过程：（1）全等；（2）不全等。解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS'时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边

7、及其中一边的对角对应相等即“SSA'时，这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。知识点三：全等三角形判定 3例 5:如图，BEXAE, CF±AE, ME= MR求证：AM是 ABC的中线。思路分析：1）题意分析：要证明AM是 ABC的中线，就要证明BM= CM要证明线段相等，就要证

8、明与 BM CM有关的三角形全等，即 BEM CFM 然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。2）解题思路：结合已知条件和对顶角相等可由AS联判定 BEM CFM从而得出BM= CM进而得到AM是 ABC的中线。解答过程：. BEX AE, CF±AE / BE阵 / CFM= 90°在 BM田口 CM冲，BME CMF ME MFBEM=CFM. BM瞌 CMF （ASA） BM= CMAM> ABC 的中线。解题后的思考：要证明AM是 ABC的中线，需要证明 M是BC的中点，因此，转化为证 明BM= CM结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可

9、能全等的两个三角形， 结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。知识点四：全等三角形判定 4例 6:已知：BC= EF, BC/ EF, / A= / D, / ABF= / DEC 求证：AF= DC思路分析：1）题意分析：要证明AF= DC就要先证明 AB国ADEC；而已知中证明这两个三角形全等的条件是/ A= / D, / ABF= / DEC但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据BC=EF, BC/ EF,想到连接 BE,从而证明 BF® ECB进一步得到 BF= EC再利用 AAS来判定两个三角形全等。2）解题思路：要证明线段相等，我们可以

10、考虑先证明三角形全等，ABF和4DEC中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF= EC即可。于是连接BE证4 35® ECB即可证得BF= EG解答过程：连接BE BC/ EF ./ FEB= / CBEEF BCFEB CBEBE=EB. BF瞌 ECB (SAS) BF= CE在人85和4 DEC中，A DABF DEC BF=EC .AB阵 DEC (AAS) AF= DC解题后的思考：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形, 分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。例7：在4ABC中，/ACB= 90 , AC BC ,直线MN经过点C ,且

11、AD MN于D, BE MN 于 E。(1)当直线 MN绕点C旋转到图 a的位置时，求证： ADC色 CEB ; DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图b的位置时，求证： DE AD BE;(3)当直线 MN绕点C旋转到图c的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。思路分析:1)题意分析：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AR BE与CE、DC之间有何关系。这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。2)解题思路：(1) AD MN 于 D ,

12、 BE MN 于 E ,又 ACB 90，在 Rt ADC 与Rt CEB中，直角对应相等，斜边对应相等。又 DAC与 BCE同为 ACD的余角， 自然也是相等的，所以可得到ADCCEB。进一步可推出 DE AD BE。(2)第(3)问中，与(1)的证明思路类似， 先证明 ADC CEB,再来证明DE、AD、BE 三条线段间的数量关系。解答过程：(1)ADC ACB 90 ,CADACD 90。BCEACD 90。CAD BCE。AC BC , ADC CEB。图a ADC 色 CEB , CE AD,CD BE。 DE CE CD AD BE。(2) ADC CEB ACB 90 ,ACD

13、CBE。又 AC BC, ACD CBEo CE AD,CD BE。 DE CE CD AD BE 。图b(3)当MN旋转到图c的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE BE-AD (或 AABE DE BE AD DE 等)。ADC CEB ACB 90 ,ACD CBE°又 AC BC,ACD CBE。AD CE, CD BE。DE CD CE BE AD。图c解题后的思考：在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不 变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。小结： 本题组主要考查如何运用全等三角形判定4:两个

14、角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转换。知识点五：全等三角形判定 5例8：已知：如图AD为 ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF AC,FD CD。求证：BE AC。思路分析：1）题意分析：要证BE垂直于 AC,需证 BEC 90 ,由题意可知12 90 ,若能证明1 C 90 ,就可得BE垂直于 AC ,这就要证C 2。这可由已知条件证明 ACD = BFD ,便可知 C 2。再由/1+/2=90°和/1+/2+/BEC= 180°, 得到/ BEC= 90°o从而得到 BE AC 。2）解题思路：运用直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明 ACD色 BFD ,进一步得到C 2。解答过程：证明： AD BC , BDA ADC 90。工 AC BF,在 Rt ACD 和 Rt BFD 中，CD FD,Rt ACD 省 Rt B