初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第22讲-园幂定理

1、第二十二讲园幕定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆哥定理.圆哥定理实质上是反映两条相 交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关.相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1 .用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况；2 .从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式.熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT切。于点T, PA交。于A、B两点，且与直径CT交于点D, CD=2 ,AD=3 , BD=6,贝U PB=.思路点拨 综合运用圆哥定理、勾股定理求PB长.注：

2、比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆哥定理明快地反映出来.【例2】 如图，在平行四边形 ABCD中，过A、B、C三点的圆交 AD于点E,且与CD相切，若 AB=4 , BE=5 ,贝U DE的长为()A. 3 B. 4 C. 15 D.45思路点拨 连AC, CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件. 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆哥定理等知识，通

3、过代数化 获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.口【例3】如图， ABC内接于。O, AB是/ O的直径，PA是过A点的直线，/ PAC= /B.（1）求证：PA是。的切线；（2）如果弦 CD 交 AB 于 E, CD 的延长线交 PA 于 F, AC=8 , CE: ED=6 : 5, , AE : BE=2 : 3,求AB的长和/ ECB的正切值.思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.（1）问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数 x、k处理（2）问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找 x与k的关系，建立x或k的方程.【例4】 如图

4、，P是平行四边形 AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点 E、E, EG是过B、F、P三点圆的切线， G为切点，求证：EG=DE思路点拨 由切割线定理得 EG2=EF - EP,要证明EG=DE ,只需证明 DE2=EF EP,这样 通过圆哥定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆哥定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁.需要注意的是，圆哥定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中.【例5】如图，以正方形 ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O, DF切半圆于点E

5、,交AB的延长线于点 F, BF = 4.求：（1）cos/F 的值；（2）BE 的长.思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法（连OE, AE）;熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于（1）,先求出EF, FO值；又于（2）,从 BE FAEAF,RtA AEB 入手.注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理.(2)多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三 角形、相似三角形.(3)将以上分析组合，寻找联

6、系.学力训练1 .如图，PT是。的切线，T为切点，PB是。的割线，交。于A、B两点，交弦 CD 于点 M,已知 CM=10 , MD=2 , PA=MB=4 ,则 PT 的长为.2 .如图，PAB、PCD 为。的两条割线，若 PA=5, AB=7 , CD=11 ,贝U AC: BD=.3 .如图，AB是。O的直径，C是AB延长线上的一点， CD是。O的切线，D为切点，过 点B作。O的切线交 CD于点F,若AB=CD=2 ,则CE=.4 .如图，在 ABC中，/ C=90° , AB=10 , AC=6 ,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为()A. 6. 4 B, 3. 2

7、 C , 3. 6 D. 8PA、PB的长分别为方程5 .如图，O O的弦 AB平分半径 OC,交OC于P点，已知2x 12x 24 0的两根，则此圆的直径为 ()A. 8V2B. 6匹 C. 4 /D. 2<2，一 一一 ，一一 ，一、 一小 一，6 .如图，O O的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是AC上一点(点P不与A、C两点 重合)，连结PC、PD、PA、AD ,点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F,给出下列四 个结论： CH 2=AH - BH; AD = AC: AD2=DF - DP;/ EPC=/APD,其中正确的 个数是()A. 1 B. 2C. 3 D. 47

8、 .如图，BC是半圆的直径， 。为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点 A, AD ± BC于点D.(1)若/ B=30° ,问AB与AP是否相等？青说明理由；(2)求证：PD PO=PC PB;(3)若 BD: DC=4: 1,且 BC=10,求 PC 的长.8 .如图，已知 PA切。于点A,割线PBC交。于点B、C, PDXAB于点D, PD、AO 的延长线相交于点 巳连CE并延长交。O于点F,连AF .(1)求证： PBDA PEC;(2)若 AB=12 , tan / EAF=-,求。O 的半径的长.39 .如图，已知 AB是。的直径，PB切。于点B, PA交

9、。于点C, PF分别交 AB、 BC于E、D,交。于F、G,且BE、BD恰哈好是关于 x的方程x2 6x (m2 4m 13) 0 (其中m为实数)的两根.(1)求证：BE=BD ; (2)若 GE - EF=61/3,求/ A 的度数.(第7哒1t第8初)解白粒110 .如图， ABC中，/ C=90°，。为AB上一点，以 O为圆心，OB为半径的圆与 AB相交于点E,与AC相切于点 D,已知AD=2 , AE=1 ,那么BC=(第八剪)11 .如图，已知 A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD , AC与BD交于E,若AC=8 , CD=4 ,且线段BE、ED为正整数，则 BD=于

10、H,若PA=1t第 13 S>A. 2 B即1 题C. aa a213 .如图，4ABC是。的内接正三角形， 弦EF经过BC的中点 D,且EF/AB ,若AB=2 ,则DE的长为()D. 114 .如图，已知 AB为。O的直径，C为。O上一点，延长 BC至D,使CD=BC , CEXAD 于巳BE交。于F, AF交CE于P,求证：PE=PC.15 .已知：如图，ABCD为正方形，以 D点为圆心，AD为半径的圆弧与以 BC为直径的。O相交于P、C两点，连结 AC、AP、CP,并延长 CP、AP分别交AB、BC、。于E、H、 F三点，连结OF.(1)求证：AEPscea； (2)判断线段AB

11、与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求 BH:HC16.如图，PA、PB是。的两条切线，PEC是一条割线,t第 16D是AB与PC的交点，若PE=2,17.如图，O O的直径的长是关于 x的二次方程x2 2(k 2)x k 0(k是整数)的最大整数根，P是。外一点，过点P作。O的切线PA和割线PBC,其中A为切点，点B、C是直 线PBC与O O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC 的值.国事定理【例就求解】例I IS id CD * DTAB' D乩钟DT-九由PP - PB -A- P)"口尸，即FJKP吕十月心睦+白。一口r

12、,瑞PH例 2 逸 D AC=BE-5乂/BAC,NACD-NABC则人AD-5.DC,人0-4,故 D£>外詈.M3 (I) N7MC+NC4/JH/6+NdB-WT.故 PA 是®。的切线,(!)设 CE-6A.ED-” 人£>2.£8 = 31”>0，>0) .由 CE Qft>AE BE.科 30必一6/二，AAT=2 9. BE=39又 FA' = DF CF Ek-AE2 .即 DF(DF十】果)=(DF十5产一(2A£)，解得 DFH DF- DE即 D 力 EF 的中点连结 AD则 AD-D

13、F-DE樗博 AF,AC.由 FA: = DF CF W 8r = 5X5*+ 5A4 “)” 博 二 人BNAE+BE56410.iaNECB-tic/AEF-2.的5匹=延 八£-夕m”E.£P师，、g pl-例4由EF EC '或一尻梅乔一赤即尤一EJEP.例51)由OEFsDAF得铝工器一党一；即AF=2EF又E尸= F8 FA=BF-2EF /ii L/A AD ZEF-2BF=8AF=2EF76，UJ="-BF72.FO-£,B4BF=10.m/F=?，UC vr v 1“HlA6EFsADF得哉之芹=金=琮H则A32A,由AF+BE

14、5一人所得(24>+y=1邛,解德上-¥乃故BE-弓人【学力训练】1.2 yn x 1 1 33 萨 由 CCB，CA=CH(A8+CB),i5C8=6-liiOD.(tl RQ&JUesRtAEHC得图落4. A 5. A 6. C7. (1)AB=AP>(2)PA,-PC< PB=PD- POi(3)PC=v.8(DPA'=PB PC-PD* PE二黑一那又/P=/P4P"g2PECs2)作OG LAB 于GPEAFAG=5aB = 6'；OGEQFA.，NAOG=/EAF.sq/AOG=n,C*9.AO-人(？+纷=3 /13

15、.九(l)A-4(iw + 2),0.*.m=-2. JR方程为 >一6才十9 = 0,解得 BE=BD=3iAE BE-GE FE=6 6ME=2VI &*APBCsNA8.AP8DsAPAE. BC_PB.BD mBC HD .，a g BD 3 G ” 八”.林方.而即丽一屏“m/人=病亚丽=故NA“6°II. 7 »O=CD=4由BCEs£kAB 傅 BC'=CE 八CAE=6.CE2.由 BE- OE-AE- EC=12.3E»r EIXBC +CD-8< A8£+£。<7,。£-

16、68£一盖.可推得符合条件的是。£-3.3£-4或。£=4,/m=3.I2 A IX B 可it用 DE=GF由 BD DC-DE DF=DE(DG+GF),得 Df/DE-l-O斜程M.迷 OC则 CX：AD.可任明 PC为O。切线夕Ct=PFPA,乂由PEFsPAE,得 PF = PF e PA.故 PL-P尸. 即 PC-PE.15. <D «(2)线段 AB 与 OF 是平行的不妨改 4B-BC-2atH BP.BF. »1 EA1-EP EC.EBEP Ed EB*EA-a,又 EC符 BF罕a.由AEPc/jACEA

17、.蹲管=箓工 AP=。又 A科, AP 人F； AF=用U,乂乙乂BpsaF也上 写一能，阳HF=福口.在中，加展Z?W-KXAB± 。乩' ARJ7OFiO AB/口F,；籍=需二24冬上门8”号小匚日*十%=詈.二U-逢 W5?AJd 壬小设。住一工国 P-P£*RiiPH 4*,A-AH: + PHJ .» Af 4 PH：=WG+汨,在Kt3PH心中,尸印人口同：二匕+打工，乂 AD - £>B-£D * DC,而 AD + 口B= t卉H-QHhAH +-n":4H一 口中-才 1 .由得5 + ?产+尸=事父+33辨导£>£=丁二-.17-设方程网制为箍，4"上,（则.+才：T-M出工 Ta由则役及知.上4部是整数.从.罟第去*.潺壮丁1 门423+119«,<4 .且与*弋。时，我崎大的修敷根为4,于是色门的直用为3所HBCS4VB=FC- FB为正餐效，：.比-1*3364庄站4乩小，山曲必双工，得P4； 用PM + HG（口与收.1国.由国褥小川口非"十AB, Hfe产卸VTVM（PH+DL才法.12）3 K = ?时由其得，尸A'=FB：十爸产日，于是PHYEVUFB+1&qu