高考一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式: :C C(-)(-):cos(-)=_.:cos(-)=_.C C(+)(+):cos(+)=_.:cos(+)=_.S S(+)(+):sin(+)=_.:sin(+)=_.S S(-)(-):sin(-)=_.:sin(-)=_.coscos+sinsincoscos+sinsincoscos-sinsincoscos-sinsinsincos+cossinsincos+cossinsincos-

2、cossinsincos-cossinT T(+)(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ).:tan(+)=_(,+ +k,kZ).T T(-)(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).:tan(-)=_(,- +k,kZ).tan tan 1tan tan 2tan tan 1tan tan 2(2)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式: :S S22:sin2=_.:sin2=_.C C22:cos2=_=_=_.:cos2=_=_=_.T T22:tan2=_(:tan2=_( +k, +k,且且k+ ,kZ).k+ ,kZ).2sincos2sinco

3、scoscos2 2-sin-sin2 2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 222tan 1tan422.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)降幂公式降幂公式:cos:cos2 2= ,sin= ,sin2 2= = (2)(2)升幂公式升幂公式:1+cos2=2cos:1+cos2=2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2.(3)(3)公式变形公式变形:tan:tantan=tan(tan=tan()(1)(1 tantan).tantan).3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常

4、用方法常用方法: :整体代入法整体代入法, ,配凑法配凑法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化化归思想转化化归思想. .1cos 221 cos 2.2(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :余余正正符号异余余正正符号异, ,正余余正符号同正余余正符号同, ,二倍角二倍角, ,数余弦数余弦, ,找联系找联系, ,抓特点抓特点, ,牢记忆牢记忆, ,用不难用不难. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的.(.() )(2)(2)存在实数存在实数,使等式使等式s

5、in(+)=sin+sinsin(+)=sin+sin成立成立.(.() )(3)(3)公式公式tan(+)= tan(+)= 可以变形为可以变形为tan+tan=tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan(+)(1-tantan),且对任意角且对任意角,都成立都成立.(.() )(4)(4)存在实数存在实数,使使tan 2=2tan.(tan 2=2tan.() )tan tan 1tan tan 【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .对于任意的实数对于任意的实数,两角和与差的正弦、余弦公两角和与差的正弦、余弦公式都成立式都成立. .(2)(2)正确正确. .如取如取=0,

6、=0,因为因为sin0=0,sin0=0,所以所以sin(+0)=sin=sin+sin0.sin(+0)=sin=sin+sin0.(3)(3)错误错误. .变形可以变形可以, ,但不是对任意角但不是对任意角,都成立都成立. .,+k+ ,kZ.,+k+ ,kZ.(4)(4)正确正确. .当当=k(kZ)=k(kZ)时时,tan 2=2tan.,tan 2=2tan.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)22.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P1304P130例例4T(1)4T(1)改编改编)sin108)sin108cos4

7、2cos42-cos72-cos72sin42sin42= =. .【解析】【解析】原式原式=sin(180=sin(180-72-72)cos42)cos42-cos72-cos72sin42sin42=sin72=sin72cos42cos42-cos72-cos72sin42sin42=sin(72=sin(72-42-42)=sin30)=sin30= .= .答案答案: :1212(2)(2)(必修必修4P137A4P137A组组T5T5改编改编) )已知已知则则cos =_.cos =_.4 5cos(),65 36 ，【解析】【解析】因为因为答案：答案：5,3624,cos(),

8、26653sin()1 cos (),665cos cos()66cos()cossin()sin6666433134 3.525210 所以又所以所以34 3103.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014上海高考上海高考) )函数函数y=1-2cosy=1-2cos2 2(2x)(2x)的最小正周期是的最小正周期是. .【解析】【解析】y=-2cosy=-2cos2 2(2x)-1=-cos4x,(2x)-1=-cos4x,所以函数的最小正周期所以函数的最小正周期T= .T= .答案答案: :22(2)(2014(2)(2014新课标全国卷新课标全

9、国卷)函数函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x的最大值为的最大值为. .【解析】【解析】因为因为f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+)-2sin)-2sincos xcos x=sin xcos=sin xcos+cos xsin+cos xsin-2sin-2sincos xcos x=sin xcos=sin xcos-cos xsin-cos xsin=sin=sin(x-(x-) )1.1.故最大值为故最大值为1.1.答案答案: :1 1考点考点1 1 化简与计算化简与计算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(201

10、5合肥模拟合肥模拟)cos(+)cos+)cos(+)cos+sin(+)sin=(sin(+)sin=() )A.sin(+2)A.sin(+2)B.sinB.sinC.cos(+2)C.cos(+2)D.cosD.cos(2)(2)计算计算tan25tan25+tan35+tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= =. .(3) (3) 的化简结果是的化简结果是. .322cos 82 1 sin 8【解题提示】【解题提示】(1)(1)逆用两角差的余弦公式化简逆用两角差的余弦公式化简. .(2)(2)观察式子的特点观察式子的特点, ,逆用两角和的正切公式计算逆用两角和的

11、正切公式计算. .(3)(3)应用二倍角的正、余弦公式化简应用二倍角的正、余弦公式化简. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.cos(+)cos+sin(+)sinD.cos(+)cos+sin(+)sin=cos(+)-=cos.=cos(+)-=cos.(2)(2)因为因为tan(25tan(25+35+35)=)=所以所以tan25tan25+tan35+tan35=tan60=tan60(1-tan25(1-tan25tan35tan35) )= - tan25= - tan25tan35tan35, ,所以所以tan25tan25+tan35+tan35+ tan25+ t

12、an25tan35tan35= - tan25= - tan25tan35tan35+ tan25+ tan25tan35tan35= .= .答案答案: :tan 25tan 351tan 25 tan 35，33333333(3)(3)原式原式= =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因为因为 所以所以cos 40,cos 40,且且sin 4cos 4,sin 4cos 4,所以原式所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.答案答案:

13、 :-2sin 4-2sin 4224cos 4 2 (sin 4cos 4)534,42【易错警示】【易错警示】解答本例解答本例(3)(3)有三点容易出错有三点容易出错: :(1)(1)想不到应用二倍角公式想不到应用二倍角公式, ,不能把根号下的式子化为完全平方式不能把根号下的式子化为完全平方式. .(2)(2)把把4 4与与4 4弧度混淆弧度混淆, ,导致开方出错导致开方出错. .(3)(3)忽略讨论忽略讨论cos4cos4的符号及的符号及sin4sin4与与cos4cos4的大小而直接开方导致出错的大小而直接开方导致出错. .【互动探究】【互动探究】对于本例对于本例(2),(2),试化简

14、试化简tan+tan(60tan+tan(60-)+-)+ tantan(60 tantan(60-).-).【解析】【解析】因为因为tan+(60tan+(60-)=-)=所以所以tan+tan(60tan+tan(60-)-)=tan60=tan601-tantan(601-tantan(60-)-)= - tantan(60= - tantan(60-),-),故原式故原式= - tantan(60= - tantan(60-)+ tantan(60-)+ tantan(60-)-)= .= .3tantan(60),1tan tan(60)333333【规律方法】【规律方法】1.1.三

15、角函数式化简的要求三角函数式化简的要求(1)(1)能求出值的应求出值能求出值的应求出值. .(2)(2)尽量使函数种数最少尽量使函数种数最少. .(3)(3)尽量使项数最少尽量使项数最少. .(4)(4)尽量使分母不含三角函数尽量使分母不含三角函数. .(5)(5)尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .2.2.特殊角的三角函数值的逆用特殊角的三角函数值的逆用当式子中出现当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时这些特殊角的三角函数值时, ,往往就是往往就是“由由值变角值变角”的一种提示的一种提示. .可以根据问题的需要可以根据问题的需要, ,将常用三角函数式表示出将常用三角函数

16、式表示出来来, ,构成适合公式的形式构成适合公式的形式, ,从而达到化简的目的从而达到化简的目的. .131322，【变式训练】【变式训练】1.1.化简化简sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)= =. .【解析】【解析】原式原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)+(-)=sin(+)+(-)=sin(+).=sin(+).答案答案: :sin(+)sin(+)2.(20152.(2015西宁模拟西宁模拟) )计算计算: =: =. .【解析】【解析

17、】 =tan(45=tan(45-15-15)=tan30)=tan30= .= .答案答案: :cos 15sin 15cos 15sin 15cos 15sin 151tan 15cos 15sin 151tan 153333【加固训练】【加固训练】1.1.化简化简 的结果是的结果是( )( )A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1【解析】【解析】选选C.C.原式原式= =22cos 2sin 1332233sin 13cos 13cos 1.2.2.化简：化简： =_.=_.【解析】【解

18、析】答案：答案：8sincoscoscos484824128sincoscoscos484824124sincoscos24241212sincossin.121262123.3.计算：计算： =_.=_.【解析】【解析】因为因为tan(20tan(20+40+40)=)=所以所以tan 20tan 20+tan 40+tan 40= (1-tan 20= (1-tan 20tan 40tan 40),),所以原式所以原式= =答案：答案：- -tan 20tan 40tan 120tan 20 tan 40tan 20tan 40,1tan 20 tan 4033 1tan 20 tan 4

19、033.tan 20 tan 40 3考点考点2 2 三角函数求值三角函数求值【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015临沂模拟临沂模拟) )计算计算 的值为的值为( () )(2)(2)计算计算:4sin40:4sin40-tan40-tan40= =. .(3)(2015(3)(2015成都模拟成都模拟) )计算：计算：cos40cos40(1+ tan10(1+ tan10)=)=. .22sin 110 sin 20cos 25sin 251313A.B.C.D.22223【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用诱导公式化大角为小角利用诱导公式化大角为小角, ,然后逆用二倍角

20、公式求然后逆用二倍角公式求值值. .(2)(2)切化弦切化弦, ,通分化简求值通分化简求值. .(3)(3)切化弦切化弦, ,通分通分, ,注意逆用两角和与差的三角函数公式注意逆用两角和与差的三角函数公式. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.原式原式= =sin 9020sin 20cos 50 1sin 40sin 20 cos 2012.cos 50cos 502sin 404sin 40 cos 40sin4024sin 40cos 40cos 402 cos10sin 10302sin 80sin 40cos 40cos 4031332cos 10sin 10cos 1

21、0cos 102222cos 40原式sin 10cos 40313(cos 10sin 10 )3cos 40223.cos 40cos 403答案：答案：答案：1 1cos 103sin 10(3)cos 40cos 1013cos 40 2( cos 10sin 10 )22cos 102cos 40 sin 3010sin 801.cos 10cos 10原式【一题多解】【一题多解】解答本例解答本例(2)(2)，你还有其他解法吗？，你还有其他解法吗？解答本例解答本例(2)(2)还可有如下解法：还可有如下解法：原式原式=4sin 40=4sin 40- -答案：答案：sin 404sin

22、 40 cos40sin 40cos 40cos 402sin 5030sin 402sin 80sin 40cos 40cos 402sin 50 cos 302cos 50 sin 30sin 40cos 403sin 50cos 50sin 403cos 403.cos 40cos 40 3【规律方法】【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧给角求值问题的三个变换技巧(1)(1)变角变角: :分析角之间的差异分析角之间的差异, ,巧用诱导公式把大角统一到小角上来巧用诱导公式把大角统一到小角上来, ,或或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角

23、的和. .(2)(2)变名变名: :尽可能使得函数统一名称尽可能使得函数统一名称, ,常化弦为切常化弦为切. .(3)(3)变式变式: :观察结构观察结构, ,利用公式利用公式, ,整体化简整体化简. .提醒提醒: :“变式变式”时常用的方法有时常用的方法有“常值代换常值代换”“”“逆用变用公式逆用变用公式”“”“通通分与约分分与约分”“”“分解与组合分解与组合”“”“配方与平方配方与平方”等等. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015南宁模拟南宁模拟) )计算：计算： =_.=_.【解析】【解析】答案：答案：2 223sin 702cos 10223sin 703cos 202cos

24、 102cos 102232cos 1012.2cos 10【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015昆明模拟昆明模拟) )计算：计算： =( )=( )A.4 B.2 C.-2 D.-4A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】【解析】选选D.D.31cos 10sin 1703131cos 10sin 170cos 10sin 102sin 10303sin 10cos 10sin 10 cos 10sin 10 cos102sin202sin 204.1sin 10 cos 10sin 202 2.(20152.(2015三明模拟三明模拟) )计算：计算：_1 cos 201s

25、in 10 (tan 5 )2sin 20tan 5【解析】【解析】原式原式答案：答案：22cos 10cos 5sin 5sin 10 ()22sin 10 cos 10sin 5cos 522cos 10cos 5sin 5cos 10cos 10sin 10sin 1012sin 10sin 5 cos 52sin 10sin 102cos 10cos 102sin 202cos 102sin 102sin 1013cos 102( cos 10sin 10 )cos 102sin 3010222sin 102sin 103sin 103.2sin 10232考点考点3 3 三角函数的条

26、件求值三角函数的条件求值知知考情考情利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热点点, ,常与平面向量的知识相结合常与平面向量的知识相结合, ,题型是三种类型都有题型是三种类型都有, ,但近几年常以但近几年常以解答题的形式出现解答题的形式出现. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:与平面向量相结合的条件求值与平面向量相结合的条件求值【典例【典例3 3】(2014(2014陕西高考改编陕西高考改编) )设设0 ,0 ,向量向量a=(sin2,=(sin2,cos),cos),b=(1,-cos),=(1,-cos),若若ab=

27、0,=0,则则sin2+cossin2+cos2 2=. .【解题提示】【解题提示】先由向量的运算得到先由向量的运算得到sinsin与与coscos的关系的关系, ,再由此关系再由此关系式确定方向式确定方向, ,求求sin2+cossin2+cos2 2的值的值. .2【规范解答】【规范解答】因为因为ab=0,=0,所以所以sin2-cossin2-cos2 2=0,=0,即即2sincos2sincos=cos=cos2 2.因为因为(0, ),(0, ),所以所以2sin=cos,2sin=cos,即即tan= ,tan= ,所以所以sin2+cossin2+cos2 2=答案答案: :2

28、1222222sincoscos 2tan 18.sin cos tan 1585命题角度命题角度2 2：三角函数的给值求值三角函数的给值求值【典例【典例4 4】(2014(2014江苏高考江苏高考) )已知已知( ,),sin =( ,),sin =(1)(1)求求sin( +)sin( +)的值的值. .(2)(2)求求cos( -2)cos( -2)的值的值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)先由条件求先由条件求cos cos 的值，再求的值，再求sin( +)sin( +)的值的值. .(2)(2)由由sin ,cos sin ,cos 的值，先求的值，先求sin 2,cos 2

29、sin 2,cos 2的值的值, ,再求再求cos( -2)cos( -2)的值的值. .25.5456456【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意由题意cos =cos =所以所以sin( +)=sin cos +cos sin sin( +)=sin cos +cos sin 252 51 (),55 444 222 52510().252510432 sin 22sin cos cos 22cos 1,55555cos(2)coscos 2sinsin 266633143 34().252510 ，所以命题角度命题角度3 3：和函数相结合的条件求值和函数相结合的条件求值【典例【典例5

30、 5】(2014(2014广东高考广东高考) )已知函数已知函数f(x)=Asin(x+ )f(x)=Asin(x+ )，xRxR，且且(1)(1)求求A A的值的值. .(2)(2)若若f()-f(-)= ,(0, )f()-f(-)= ,(0, )，求，求f( -).f( -).【解题提示】【解题提示】(1)(1)把把 代入解析式求代入解析式求A A的值的值. .(2)(2)由已知条件利用两角和与差的正弦和同角三角函数的关系求解由已知条件利用两角和与差的正弦和同角三角函数的关系求解, ,求求解时要注意角的范围解时要注意角的范围. .353 2f().122326512【解析】【解析】(1)

31、(1)由由(2)f()-f(2)f()-f()=)=553A 23 2f()Asin()AsinA3.12123422，可得3,3sin()3sin()333则，133133(sincos ) 3(cossin )3sin.22223 ，6(0,)cos23f()3sin()3sin()3cos6.6632 因为，所以，悟悟技法技法1.1.与向量有关的求值问题的解法与向量有关的求值问题的解法三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联, ,这类问题需要先用这类问题需要先用向量公式进行运算后向量公式进行运算后, ,再用三角公式进行化简和求值再用三角公式进行

32、化简和求值. .2.2.给值求值问题的解法给值求值问题的解法已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子, ,再观察已知条件与所再观察已知条件与所求值的式子之间的联系求值的式子之间的联系( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手),),最后将已知条件及最后将已知条件及其变形代入所求式子其变形代入所求式子, ,化简求值化简求值. .3.3.和三角函数相结合的条件求值的解法和三角函数相结合的条件求值的解法该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式, ,然后把然后把已知条件代入函数解析式化简并求相关

33、的值已知条件代入函数解析式化简并求相关的值, ,变形成要求的式子并代变形成要求的式子并代入前面所求的值计算入前面所求的值计算. .通通一类一类1.(20151.(2015铜陵模拟铜陵模拟) )设设 , ,若若 则则cos =cos = . .【解析】【解析】因为因为 , ,所以所以所以所以故故cos =cos =答案：答案：(0,)23sin(),65(0,)2,663 24cos()1 sin (),66543314 33cos().665252104 33102.(20132.(2013江西高考改编江西高考改编) )若若 则则cos2=cos2=. .【解析】【解析】因为因为 所以所以co

34、s=cos=cos2=2coscos2=2cos2 2-1=-1=答案答案: :- -6cos23，6cos23，2612cos121,293 1721.99 793.(20153.(2015大同模拟大同模拟) )已知向量已知向量a=(4,5cos),=(4,5cos),b=(3,-4tan).=(3,-4tan).若若ab, ,且且(0, ),(0, ),则则cos(2- )=cos(2- )=. .24【解析】【解析】因为因为ab，所以，所以ab0 0，即即12-20cos tan 12-20cos tan 0 0，所以，所以12-20sin 12-20sin 0 0，即，即sin sin

35、 因为因为(0(0， ) )，所以，所以cos cos 所以所以sin 2sin 22sin cos 2sin cos ，cos 2cos 21-2sin1-2sin2 2所以所以cos(2- )cos(2- )cos 2cos +sin 2sin cos 2cos +sin 2sin 答案：答案：3.524.524257.254447224231 2.2522525031 2504.(20144.(2014四川高考改编四川高考改编) )已知函数已知函数f(x)=sin(3x+ ).f(x)=sin(3x+ ).若若是第二象是第二象限角，限角，f( )= cos(+ )cos 2f( )= cos(+ )cos 2，求，求cos -sin cos -sin 的值的值. .43454【解析】【解析】由已知，有由已知，有sin(+ )= cos(+ )cos 2,sin(+ )= cos(+ )cos 2,所以所以sin cos +cos sin sin cos +cos sin = (cos cos -sin sin )(cos= (cos cos -sin sin )(cos2 2-sin-sin2 2),),即即sin +cos = (cos