全国高中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分标准

1、2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题20応年全国高中数学联合竟赛（四川初賽）tt 目一三.总琥織3H15kft 井iw鼻人釐核人（5月脾 日下年1牡30一-16: 30）考生注蠢：U車14卷共三丸总全糅構裁0分2.用H置色I珠塔以!爼件善-3 计WS運讯工为苹権常入岛坊.L对tzi二* 咆JB大民找疔牛小盏.毎*蜃帝井共:W甘4K為M的離算成中孑的乐K址_. 1用鎳诈独怦：齐X K i. & w ,卩、y WjhfctJl 2则脅比的十比网列”sma . tin fi ,审打尸构琰專比4.第題节写不整Ifl过密封纹一tl(刈*锵備口的佃駁_.9- Llll ll P1WW 5K为4 /儿

2、個_MT*.过-&A竹越临 6 詢柚为、SC SD竹别处fi、3ttJitlAl AEf tiI1._.m*的奸呛XiCLn ittA +*4.心u ff s i ftrj.T.* ft gmr a 的r眼亍 独若乂、R、晟 亍订IWtt*机滴足秦件；0) MH B- 2016；3H(A) + fiiB + nC) - n(财|弭厂农cC|EWit丈值圧_A* 1BK iC i、I3.-2tr+ftxe-M) )iib记/CO的挝小値为环啊曲的ftXIFiA. -2D, I忡帀”强廉WiT聲数的亍T.则/（100,3J-IA、!1B* 13C. M6 19弭设療列仇洲 Q 吗f叭篦応何刁心 时

3、叮刃农示砂H、JR工豹葷冀轄甦尻为冊的（in喷*,则占抑石的牛但躍了址I冉.1B* 2C. 5, 6仏口5鬥尺足#4两和期丽浚的舍地捕点P址它苗的T公从点，儿疋片户 .gJW谀桶删和测曲晚的陽心罰之秋的M小伯1612016 r：tNfi! VfF4Jll+rw分钾料人三.f f AKO A 4*9 Ml 20 rRHO丨九说筲比載的旧”的耐丹能刨对耳“5. = 2 f r戶卸需业肌iC - 2(1 + logj ) (rt ).| )1*117；Ip)A中IT学K艸I种碍，an 2 4( 11 42S6年全国拓中川初豪)第3災(共4页)1 仏已知 a、b.c 为正实敌.求abc2 丁孝:+ 匕

4、 +b-c)(b+ c-a)(c+a-b).15.已知抛物线於=2px过定点Ql,2),在抛物线上任取不冋于点C的一点 M 直找*C 了白线尸叶3 交于点几 过点 P 作轴的半和线交抛物鏡于点(!)求证，直线过定点：(2)求 44BC 面帜的最小值16.已知 a 为实散 rfittXx=|?-ax|-lnr.谕讨论函数人力的单调件.201b W金IHA中殴学IWHX川6 4 ft (A 4 )41、评阅试卷时，请依据评分标准选择题和填空题只设 5 分 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）和 0 分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分 档次给分，不要再

5、增加其它中间档次 .2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次 .一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）1、A 2、D 3、C4、C5、A6、B二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）13、设等比数列an的前n项和为Sn，且Sn2nr（r为常数）， 记bn2（1 log2an） （n N*）.（1 ）求数列anbn的前n项和Tn；（2）若对于任意的正整数n,都有 1L丄卫bib2bn成立，求实数k的最大值.解：（1）由条件易知a12 r,a2S2

6、S12 S3 4, 又由a；qa3得2016 年全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明：7 、 180812、2015114于是f(n)严格单增，则f(n)的最小值为f(1)4门，2Tn23.1 22 2 L(n 1) 2nn 2n 1由 -得：Tn2122L2n12nn 2n1，故Tn(n 1) 2n 12.所以，数列bn的前n项和为n 1*Tn(n 1) 22 (n N ) .10 分即实数k的最大值是2.20 分414、已知a、b、c为正实数，求证：abcabc(a b c)(b111ca)(c a b).a2b2c2于是Sn2n1.故an2n1,bn2(1 log2an

7、)2n,anbnf(n 1)f(n)-n 1 12(n 1).n 22(n1)4n212n9:4n212n81,.15 分因为证明：(1)先证：abc11 d1 bnbn1 2na b c-2y-22abc等价于证明:2n2 2 2(ab) (bc) (ca) abc(a b c)，构造f(n)1 2n2n令x ab, y bc,z ca，由不等式x2y2z2xy yz zx知结论因此Tn1 212 22L (n 1) 2n 1n 2n成立.只需证：丄丄丄yz zx xy2 2 2?(y z) (z x) (x y)15 分(2)再证：a b c (a b c)(b c a)(c a b) 1

8、122(*)a b c由于不等式是轮换对称的，不妨设a maxa,b,c,则abc0,cab0注意到:(y z)24yz，z)21yz41(z x)2zxL丄.所以，原不等式成(x y) xy当b c a 0时，结论显然成立;立. 20 分当b c a0时，令a y乙b z x, c x y，15、已知抛物线y?2px过定点Q1,2)在抛物线上任取不同1贝9 x -(b c a)，y21(c a b)21(a b c)，于点C的一点A,直线AC与直线y?x?3 交于点P,过点P作x轴10的平行线交抛物线于点B.(1)求证：直线AB过定点;故x, y,z均大于 0.不等式(*)变为2( x y

9、z)1 1 18xyz(y2 2 2z) (z x) (x y)(2)求厶ABC面积的最小值.解：(1)由抛物线y2?2px过定点C(1,2)可得抛物线方程为y2?4x.22设点A坐标为( (里，里，y)()(yo工 2)，则直线AC的方程为y?2?4(x?1)，即y?2?(x?1),yo2与y?x?3 联立解得P点坐标为(，勺，勺) ).5 分yo2yo22所以B点坐标为( (豁，答豁，答) ).当y2?12 时，A坐标为(3,yo) ,B点坐标为(3,化简得，y?y。？孚 (4x?yf),(或：y?yo?(y22(x?卫),)yo12y434易 得， 直 线AB也 过 定 点Q3,2).1

10、0 分法 2：由抛物线y3?2px过定点 qi,2)，可得抛物线方程为y4?4x. 设直线AB的方程为x?my?a，与抛物线方程联立得，2y?4my?4a?O.(yo6)22(yo2)汀，直线yo2242设A(xi,yi)，B(X2,y2)，则yi?y2?4m yiy2?4a，当y工 12 时，世丰(yo 6)2，直线AB的方程为y?yo?4(yo2)2y12yo2P点坐标为B(y2?3,y2)， 因为AP过定点C,所以一S?2， 又X1?my?a,y23 1 x11所(n?1)y1y2?(2 n?4)y1?(a?1)y2?2a?6?O.AB过定点Q3,2)yo2( (X? ?乎乎) )，44

11、_ 2 _16、已知a为实数，函数f(x)?|x?ax| ?lnx，请讨论函数f(x)的单调性.将yiy2?4a,y2?4n?yi代入上式，得(?2m?3?a)yi?(2a?4n?6)?0 .解：由条件知函数即(?2m?3?a)(yi?2)?0 .f (x)的定义域为(0,因此式对任意 y“ 2 都成立，所以?2m?3?a?0,即 3?2m?a,因 此 直 线x?my?a过 定 点Q3,2).10 分(2)由(1)可设直线AB的方程为x?3?my?2)，2与抛物线方程联立得y?4my?4(2m?3)?0 .贝yyi?y2?4m,yiy2?4(2m?3)，SABC?-2 |C(Q?|yi?y2|

12、 ?|yi?y2| ? .(yiy?)24%y2?4.(m 1)22. ?(?若af (x) 2x a -xa 4a8x20 ,贝 yf(x)?2x2ax 1，令f (x)xx2?ax?lnx,?于是所以，f(x)在(0,a a 8)上单调递减，在(十，)上单调递增。5 分(2)若a0,贝V f(x)?x2ax In x，当xa时?2x ax Inx,当CKxa)的单调性.当?a2?0, 即卩a2 2时,减,2.f2g(x)?2x?a?1?2x心.令 g(x)?0,得x?aa 8 0,xx4令h(x)?0，得0 xi寻a,即a 1 时，g(x)在(a,a8)上单调递减,44所以h(x)在(0,空 ), (aL,a)上单调递减,44在( (迢迢8, , ? ? ) )上单调递增;4在( (空空a8, ,a a8) )上单调递增.4415 分当8 1 时，g(x)在(a, ?)上单调递增.104分2再讨论当a 0 时，h(