专题07 全等三角形中的辅助线问题(解析版)

1、专题07 全等三角形中的辅助线问题 【类型】一、全等三角形中的辅助线问题-作平行线一、单选题1如图，ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PEAC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQPA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A1B1.8C2D2.5【答案】C【解析】【分析】过作的平行线交于，通过证明，得，再由是等边三角形，即可得出【详解】解：过作的平行线交于，是等边三角形，是等边三角形，CQPA，在中和中，于，是等边三角形，故选：C【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键2如图，ABC是边长为2的等边三角形，点P在A

2、B上，过点P作PEAC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQPA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（       ）A0.5B0.9C1D1.25【答案】C【解析】【分析】过作的平行线交于，通过证明，得，再由是等边三角形，即可得出【详解】解：过作的平行线交于，是等边三角形，是等边三角形，在中和中，于，是等边三角形，故选：C【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键二、填空题3如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且ACBD，ACBDCD，点P是OCD角平分线

3、的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：CPD135°；BABP；PACPDB；SABPSDCP；PMCD其中正确的是_（填序号）【答案】【解析】【分析】由角平分线的定义，可得CDP+DCP=CDO+DCO=45°，进而即可判断；先证，可得是等腰直角三角形，进而得，即可判断；过点A作ANBP交PM的延长线于点N，可得，再证明，从而得PMCD，即可判断；由，即可判断【详解】解：ACBD，点P是OCD角平分线的交点，DOC=90°，ODC+OCD=90°，CDP=CDO，DCP=DCO，CDP+DCP=CDO+DCO=45°，CPD180°

4、;-（CDP+DCP）=135°，故正确；CP，DP分别平分DCO，CDO，DCP=ACP，CDP=BDP，ACCD，PC=PC，AP=DP，CAP=CDP=BDP，APC=DPC=135°，DPA=360°-135°-135°=90°，是等腰直角三角形，又AC=BD，CAP=BDP，AP=DP，故正确；DPB=APC=135°，PB=PC，BPC=360°-135°-135°=90°，是等腰直角三角形，找不到证明BA=BP的条件，故错误；过点A作ANBP交PM的延长线于点N，N=BP

5、M，PAN+APB=180°，点M是AB的中点，即AM=BM，又AMN=BMP，MN=PM=，AN=PB=PC，DPA=BPC=90°，APB+DPC=180°，又PAN+APB=180°，PAN=DPC，又AP=DP，AN=PC，CD=PN=2PM，即：PMCD，故正确；，故正确故正确的是【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键三、解答题4 P为等边ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连PQ交AC边于D（1）证明：PDDQ（2）如图2，过P

6、作PEAC于E，若AB6，求DE的长【答案】（1）证明见解析；（2）DE3【解析】【分析】（1）过点P作PFBC交AC于点F；证出APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明PDFQDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PFBC交AC于F同（1）由AAS证明PFDQCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果【详解】（1）如图1所示，点P作PFBC交AC于点FABC是等边三角形，APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQPFBC，PFD=DCQ在PDF和QDC中，PDFQDC（AAS），PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PFBC交AC于FPFBC

7、，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AFPEAC，AE=EFAP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CDAE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DEACAC=6，DE=3   【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质5如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点求让：【答案】见

8、详解【解析】【分析】过点D作DEAC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得MDE=MEC，DE=CE，从而证明EMDCME，进而即可得到结论【详解】过点D作DEAC，交BC于点E，是等边三角形，B=ACB=60°，DEAC，DEB=ACB=60°，MDE=MEC，是等边三角形，BD=DE，DE=CE，又EMD=CME，EMDCME，【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键6读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且BAE=CDE,求证:

9、AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CGDE于G,BFDE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CFAB交DE的延长线于F.【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析【解析】【分析】如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明DCEFBE,得到CDE=F,BF=DC,结合题干条

10、件即可得到结论;如图3,过C点作CFAB交DE的延长线于F,得到ABEFCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,【详解】如图(1)延长DE到F使得EF=DE在DCE和FBE中, DCE FBE（SAS)CDE=F,BF=DCBAE=CDEBF=ABAB= CD如图3,过C点作CFAB交DE的延长线于F在ABE和FCE中 ABE FCE(AAS),AB=FCBAE=CDEF=CDECD=CFAB=CD【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明7如图，点P为等边ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证

11、：DP=DQ；(2)过P作PEAC于E，若BC=4，求DE的长【答案】(1)详见解析(2)ED2【解析】【分析】（1）过P作PFBQ，可得APF为等边三角形 ，所以APPF，再证DCQDFP，即可得PDDQ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AEEF，根据全等三角形对应边相等可得FDCD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解(1)证明：如图，过点P作PFBC，则DPF=Q，ABC为等边三角形，APF是等边三角形，AP=PF，又AP=CQ，PF=CQ，在DPF和DQC中，DPFDQC（AAS），DP=DQ；(2)PAF为等边三角形，PEAC，可得AEEF，由（1）知，DPFDQCF

12、DCD，ACAEEFFDCD，AC2EF2FD2（EFFD）2ED，ACBC4，2ED4，ED2【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点8如图，ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且ADAC，EFEC，CEFA，连接DF（1）在图1中找出与ACE相等的角，并证明；（2）求证：BDFEFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EGAG，DEkAE，求的值（用含k的代数式表示）【答案】（1）DEFACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k【解析】【分析】（1）由三角

13、形外角的性质可得出答案；（2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明DEFMEC（SAS），由全等三角形的性质可得出EDFEMC，证出EMDEFC，则可得出结论；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明EFGECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GFDC，证出GDDM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案【详解】解：（1）DEFACE证明：DEC是ACE的外角，DECA+ACE，DECDEF+CEF，DEC+CEFA+ACE，CEFA，DEFACE；（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，ADAC，ADCACD，EMAC，EMDACD，CEMA

14、CE，EDMEMD，DEFCEM，EDEM，又EFEC，DEFMEC（SAS），EDFEMC，BDF+EDFEMD+EMC180°，BDFEMC，EMAC，DEMA，ACEF，DEMCEF，DEM中，EMD，FEC中，EFC，EMDEFC，BDFEFC；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，EGAG，GAEGEA，DAC+GAEGEA+GED180°，DACGED，CEFDAC，DEGCEF，DEG+DEFCEF+DEF，即GEFDEC，DEFMEC，EFGECD，DFMC，又EFEC，EFGECD（ASA），GFDC，DCMCGFDF，即GDDM，EMAC，

15、【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键9P为等边ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连PQ交AC边于D（1）证明：PDDQ（2）如图2，过P作PEAC于E，若AB6，求DE的长【答案】（1）证明见解析；（2）DE3【解析】【分析】（1）过点P作PFBC交AC于点F；证出APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明PDFQDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PFBC交AC于F同（1）由AAS证明PFDQCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，

16、即可得出结果【详解】（1）如图1所示，点P作PFBC交AC于点FABC是等边三角形，APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQPFBC，PFD=DCQ在PDF和QDC中，PDFQDC（AAS），PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PFBC交AC于FPFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AFPEAC，AE=EFAP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CDAE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DEACAC=6，DE=3   【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角

17、形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键【类型】二、全等三角形中的辅助线问题-作垂线一、单选题1如图，ABAD，ACAE，AHBC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：DGEG；BC2AG；AHAG；，其中正确的结论为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，即可得结论；延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，则可得，即，；由可知，故不一定等于；，由可知，则，由可得即可得【详解】解：如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，ABAD，ACAE，AHBC同理可

18、得又故正确如图，延长至，使，连接，如图，取的中点，连接并延长至，使得，是的中点， ，又如图，由可知，故不一定等于故不正确如图，由可知，故正确综上所述，故正确的有故选B【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键二、填空题2如图，在RtABC中，ACB90°，ACBC4，点E在AC上，且AE1，连接BE，BEF90°，且BEFE，连接CF，则CF的长为_【答案】.【解析】【分析】过点F作FMAC交AC延长线于M，根据BEF=90°且BE=EF，可以得到EFMBEC，从而可以计算出CM、FM的长，再利用勾股定理即可得到CF的长.【详

19、解】解：ACB90°，ACBC4，AE1CE3FMAC，BEF90°ACBBEF =FME =90°FEM+EFM=90°=BEC+FEMEFM=BEC又BE=FEEFMBECBCEM4，CEFM3CM=EM-EC=1故答案为：.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3如图，中，则点B的坐标为_【答案】（4，1）【解析】【分析】如图，过点B作BDx轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得OAC=DCB，利用AAS可证明OACDCB，根据全等三角形的性质可得BD

20、=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案【详解】如图，过点B作BDx轴于D，A（0，3），C（1，0），OA=3，OC=1，ACB=90°，OCA+DCB=90°，OAC+OCA=90°，OAC=DCB，在OAC和DCB中，OACDCB，BD=OC=1，CD=OA=3，OD=OC+CD=4，点B坐标为（4，1）故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键三、解答题4已知ACD90°，MN是过点A的直线，ACDC，且DBMN于点B，如图易证BDABCB，过程如下：解：过点C作CEC

21、B于点C，与MN交于点EACBBCD90°，ACBACE90°，BCDACEDBMN，ABCCBD90°，CECB，ABCCEA90°，CBDCEA又ACDC，ACEDCB（AAS），AEDB，CECB，ECB为等腰直角三角形，BECB又BEAEAB，BEBDAB，BDABCB（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论【答案】（1）AB-BD=CB，证明见解析（2）BD-AB=CB，证明见解析【解析】【分析

22、】（1）仿照图（1）的解题过程即可解答过点C作CECB于点C，与MN交于点E，根据同角（等角）的余角相等可证BCD=ACE及CAE=D，由ASA可证ACEDCB，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE=DB，CE=CB，从而确定ECB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=CB，由BE=AB-AE，可得BE=AB-BD，即AB-BD=CB；（2）解题思路同（1），过点C作CECB于点C，与MN交于点E，根据等角的余角相等及等式的性质可证BCD=ACE及CAE=D，由ASA可证ACEDCB，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE=DB，CE=CB，从而确定ECB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：

23、BE=CB，由BE=AE-AB，可得BE=BD-AB，即BD-AB=CB【详解】解：（1）AB-BD=CB证明：如图（2）过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90°，ECB=90°，ACE=90°-DCE，BCD=90°-ECD，BCD=ACEDBMN，CAE=90°-AFC，D=90°-BFD，AFC=BFD，CAE=D，在ACE和DCB中， ACEDCB（ASA），AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AB-AE，BE=AB-BD，AB-BD=CB（2）BD-AB=CB如图（3）过点C作CE

24、CB于点C，与MN交于点E，ACD=90°，BCE=90°，ACE=90°+ACB，BCD=90°+ACB，BCD=ACEDBMN，CAE=90°-AFC，D=90°-BFD，AFC=BFD，CAE=D，在ACE和DCB中， ACEDCB（ASA），AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AE-AB，BE=BD-AB，BD-AB=CB【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角

25、相等5如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中ADAC，BCAC，ACBC，延长CA到点E，使得AEAD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G（1）求证：EAFDAF；（2）如图2，连接CF，若EFFC，求DCF的度数【答案】（1）见解析；（2）DCF45°【解析】【分析】（1）由垂直定义可得CAD=ACB=90°，再根据题意得EAF=DAF，即可证得结论；（2）过点F作FMFA交AC于点M，由“AAS”可证AEFMCF，可得AFE=MFC，EF=DF，可证CDF是等腰直角三角形，可得DCF=45°【详解】证明：（1）ADAC，BCAC，CADAC

26、B90°，ACBC，BACB45°，EAF180°BAC135°，DAFCAD+BAC135°，EAFDAF，在EAF和DAF中，EAFDAF（SAS）；（2）如图2，过点F作FMFA交AC于点M，FAFM，FAM45°，FMA45°FAM，FAFM，FMCFAE135°，EFFC，FEMFCA，在AEF和MCF中，AEFMCF（AAS），AFEMFC，EFDF，EAFDAF，EFADFA，DFAMFC，AFMDFC90°，DFEFCF，CDF是等腰直角三角形，DCF45°【点睛】本题考查了全等

27、三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键6如图，在四边形ABCD中，BCCD，BCD=°，ABC+ADC180°，AC、BD交于点E将CBA绕点C顺时针旋转°得到CDF（1）求证：CABCAD；（2）若ABD90°，AB3，BD4，BCE的面积为S1，CDE的面积为S2，求S1：S2的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由旋转旋转可得CABCFD，再根据全等三角形的性质和ABC+ADC=180°，即可得CAB=CAD；（2）根据ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，

28、再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据BCE和CDE同高，即可得S1：S2的值【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：CABCFD，CDF=CBA，F=CAB，CA=CF，CBA+CDA=180°，CDF+CDA=180°，A、D、F三点共线，AC=CF，F=CAD，CAB=CAD；（2）过点E作EMAF于点M，过点C作CNBD于点N，ABE=AME=90°，在ABE和AME中，ABEAME（AAS），AM=AB=3，BE=ME，ABD=90°，AB=3，BD=4，AD=5，DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-xx2+22=（4-x）2，解得x=1.

29、5，BE=1.5，DE=2.5，S1：S2=BECN：DECN=【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质7阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明如图1，延长

30、DE到点F，使EFDE，连接BF；如图2，分别过点B、C作BFDE，CGDE，垂足分别为点F，G（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明【答案】（1）见解析；见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）如图1，延长DE到点F，使EFDE，连接BF，BEFCED，BAEF， ABCD；如图2，分别过点B、C作BFDE，CGDE，垂足分别为点F，G，BEFCEGBAFCDG，ABCD；（2）如图3，过C点作CMAB，交DE的延长线于点M，则BAEEMC，BAECFE（AAS），FEDC，CFCD，ABCD；【详解】（1）如图1，延长DE到点F，使EFDE，连接BF，点E是BC的中

31、点，BECE，在BEF和CED中， ，BEFCED（SAS），BFCD，FCDE，BAECDE，BAEF，ABBF，ABCD；如图2，分别过点B、C作BFDE，CGDE，垂足分别为点F，G，FCGECGD90°，点E是BC的中点，BECE，在BEF和CEG中， ，BEFCEG（AAS），BFCG， 在BAF和CDG中，BAFCDG（AAS），ABCD；（2）如图3，过C点作CMAB，交DE的延长线于点M，则BAEEMC，E是BC中点，BECE，在BAE和CME中，BAECFE（AAS），CFAB，BAEF，BAEEDC，FEDC，CFCD，ABCD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判

32、定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键8如图，已知AD为ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AEFE.求证：BFAC【答案】证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AEFE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD到G，使DGAD，连接BG，CG，DGAD，BDDC，四边形ABGC是平行四边形，AC/BG，CADBGD，又AEFE，CADAFE，BGDAFEBFG，BGBF，BGAC，BFAC 方法二：如

33、图，分别过点、作，垂足为、，则.，.，又，.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.9如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAE=CDE 求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：方法一：如图1中，作BFDE于点F，CGDE于点G，先证明BFECGE，得BF=CG，再证明A

34、BFDCG即可方法二如图2中，：作CFAB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明ABEFCE即可证明：方法一：如图1中，作BFDE于点F，CGDE于点GF=CGE=90°，在BFE和CGE中，BFECGEBF=CG在ABF和DCG中，ABFDCGAB=CD方法二如图2中，：作CFAB，交DE的延长线于点FF=BAE又ABE=D，F=DCF=CD在ABE和FCE中，ABEFCEAB=CFAB=CD10如图，已知AOB60°，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E（1）当DCE绕点C旋转

35、到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析.【解析】【分析】（1）先判断出OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得O

36、F+OGOC，再判断出CFDCGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论【详解】（1）OM是AOB的角平分线，AOC=BOCAOB=30°CDOA，ODC=90°，OCD=60°，OCE=DCEOCD=60°在RtOCD中，OD=OCcos30°OC，同理：OEOC，OD+OEOC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90°AOB=60°，FCG=120°，同（1）的方法得：OFOC，OGOC，OF+OGOCCFOA，CGO

37、B，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CGDCE=120°，FCG=120°，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OEEG，OF+OG=OD+EG+OEEG=OD+OE，OD+OEOC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OEODOC，理由如下：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90°AOB=60°，FCG=120°，同（1）的方法得：OFOC，OGOC，OF+OGOCCFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CGDCE=120°，FCG=120

38、6;，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DFOD=EGOD，OG=OEEG，OF+OG=EGOD+OEEG=OEOD，OEODOC【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键【类型】三、全等三角形中的辅助线问题-补全图形法一、解答题1如图，ABC中，ACBC，ACB90°，AD平分BAC交BC于点D，过点B作BEAD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说

39、明理由【答案】（1）BEAD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明BAEHAE，得BEHEBH，再证明BCHACD，得BHAD，则BEAD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AGBG，再证明CABCBA45°，则GABGBA22.5°，于是EGBGAB+GBA45°，可证明BEG是等腰直角三角形【详解】证：（1）BEAD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，BEAD，AEBAEH90°，AD平分BAC，BAEHAE，在BAE和HAE中，BAEHAE（ASA），BEHEBH，ACB90°

40、;，BCH180°ACB90°ACD，CBH90°HCAD，在BCH和ACD中，BCHACD（ASA），BHAD，BEAD（2）BEG是等腰直角三角形，理由如下：ACBC，AFBF，CFAB，AGBG，GABGBA，ACBC，ACB90°，CABCBA45°，GABCAB22.5°，GABGBA22.5°，EGBGAB+GBA45°，BEG90°，EBGEGB45°，EGEB，BEG是等腰直角三角形【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质

41、，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键2如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D（1）若的中点为M，连接交于点N，求证：；（2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1）见解析；（2）,证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件可得，进而得，由直线平分及直角三角形斜边上中线的性质得，再由三角形的外角定理，分别求得，根据角度的等量代换，即可得，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长交轴于点，先证明，得，再证明，即可得【详解】（1），直线平分，为的中点，（2），证明：如图，延长交轴于点，直

42、线平分，又，（ASA），即，又，（ASA），即【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键3如图，在ABC中，点D为边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF是平行四边形（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论       【答案】（1）见解析；（2），理由见解析【解析】【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证【详解】（1）证明：延长CE交AB于点GAECE在和GE=ECBD=CDDE为的中位线DEABDE=BF四边形BDEF是平行四边形（2）理由如下：四边形BDEF是平行四边形BF=DED，E分别是BC，GC的中点BF=DE=BGAG=ACBF=（AB-AG）=（AB-AC）【点睛】