天津大学理论力学静力学力系的平衡

1、返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第一篇第一篇 静力学静力学第第3 3章章 力系的平衡力系的平衡制作与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英 Theoretical Mechanics第第3章章 力系的平衡力系的平衡3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 3.2 静定问题与超静定问题静定问题与超静定问题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用3.4 空间力系的平衡空间力系的平衡目录 返回首页 Theoretical Mechanics第第3章章 力系的平衡力系的平衡3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Me

2、chanics3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 3.1.1 平面一般力系平衡方程的基本形式平面一般力系平衡方程的基本形式 3.1.2 平面一般力系平程方程的其他形式平面一般力系平程方程的其他形式 3.1.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 返回首页Theoretical Mechanics平面力系平衡充要条件：平面力系平衡充要条件：结论：平面力系各力在任意两正交轴上投影的代数和等于零，对任一点之矩的代数和等于零。 0FmO力系的主矢力系的主矢 和对任意和对任意点的主矩点的主矩 MO 均等于零均等于零 RFF R = 00OM0)(00FOyxMFF022RyxFFF00yxF

3、F3.1.1 平面一般力系平衡方程的基本形式平面一般力系平衡方程的基本形式3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics3.1.2平面一般力系平程方程的其它形式平面一般力系平程方程的其它形式二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程 0 FAm条件：条件：连线连线AB不垂不垂直投影轴直投影轴 x 3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页FRxAB 0 FBm0 xFTheoretical Mechanics三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程 0 FCm条件：条件：A、B、C是平面内是平面内不共线的任意三点不共线的任意三点 3.1.2平面一般力

4、系平程方程的其它形式平面一般力系平程方程的其它形式3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页FRABC 0 FAm 0 FBmTheoretical Mechanics3.1.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程 平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以，平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以，平面汇交力系平衡的充要条件平面汇交力系平衡的充要条件 平面汇交力系平衡方程平面汇交力系平衡方程 力系中所有各力在两个力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零。的代数和等于零。 解析条件：解析条件：00yxFF 力系中各力矢构成的力多

5、力系中各力矢构成的力多边形自行封闭，或各力矢的边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。矢量和等于零。 几何条件：几何条件：FR= 0 或 F =0 3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics 平面平行力系平衡方程 充要条件是：力系中所有各力的代数和等于零，充要条件是：力系中所有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。 二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的作用线平行。 00FFBAmm0)(0FOxMF3.1.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程3.1 平面力系的平衡

6、平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics 平面力偶系 平衡方程 平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。m = 0 v三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必共面，且汇交于一点。作用线必共面，且汇交于一点。 3.1.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical MechanicsFAyFBFAx例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics0AMPP12302BdqdF

7、 dFdFd0BM02251PRPdFdFdFdqdA0 xF0AxF121 1521 152020 0 80.yPFFqd 计算结果的校核计算结果的校核FAyFBFAx例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics 例例 在刚架在刚架B点受一水平力点受一水平力作用。设作用。设F=20 kN，刚架的重，刚架的重量略去不计。求量略去不计。求A、D处的约束处的约束力力 。解：几何法解：几何法 画受力图 选刚架为研究对象例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页FFFDFATheoretical Mechanics解：几何法解：几何法 选

8、力比例尺选力比例尺F=5 kN/cm作封作封闭的力三角形。闭的力三角形。 画受力图 作力多边形，求未知量 选刚架为研究对象例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页FFDFAFFDFA 量得量得FA=22.4kN，FD=10 kN。力的方向由力三角形闭合。力的方向由力三角形闭合的条件确定。的条件确定。FTheoretical Mechanics选坐标轴如图所示 0548, 0 AxFFF0544, 0 ADyFFFkN4 .2225 FFAKN1051 ADFF例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页解：解析法解：解析法 画受力图 选刚架为研究对象 列平衡方程FFDF

9、ATheoretical Mechanics 例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。 解：画受力图 0FAm06sin244NFmqFBkN3 .496sin2441NFmqFB3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 例题例题 返回首页Theoretical Mechanics 例 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。 解：画受力图0 xF0cosFFAxkN94. 8cosFFAx0yF0sin4NFFqFBAykN56. 8sin4

10、NFFqFBAy例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics 例 起重机的自重（平衡重除外）G=400 kN，平衡重W=250 kN。当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50 kN。求最大起吊量P为多少？ 解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=50 kN。列平衡方程： 0)(FBM010485 . 0NPFWGAP=200 kN 如为空载，仍应处于平衡状态，故 05 . 344NGWFBkN100NBF例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 0FAM 返回首

11、页Theoretical Mechanics几点讨论：几点讨论：根据题意选择研究对象。根据题意选择研究对象。 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力。的性质表示约束反力。正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位。约束反力的方位。例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。两物体之间相互作用的

12、力要符合作用与反作用定律。 用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。未知力的大小可按同一比例尺在图上量出。用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。的正负判定假设未知力的指向是否正确。例题例题3.1 平面力系的平衡平面力系的平衡 返回首页 Theoretical Mechanics第第3章章 力系的平衡力系的平衡3.2 静定问题与超静定问

13、题静定问题与超静定问题 返回首页Theoretical Mechanics物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 。静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。 超静定或静不定 ：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目。3.2 静定问题与超静定问题静定问题与超静定问题 返回首页Theoretical Mechanics独立的平衡方程数：3未知力数：3独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：3未知力数：4未知力数独立的平衡方程数静定问题超静定问题3.2 静定问题与超静定问题静定问题与超静定问题 返回首页Theoretical Mechanics独立的

14、平衡方程数：6未知力数：6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：6未知力数：7未知力数独立的平衡方程数静定问题超静定问题3.2 静定问题与超静定问题静定问题与超静定问题 返回首页 Theoretical Mechanics第第3章章 力系的平衡力系的平衡3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页Theoretical Mechanics3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 求解过程中应注意以下几点 首先判断物体系统是否属于静定问题 恰当地选择研究对象 在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体

15、或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其他物体。 返回首页Theoretical Mechanics受力分析受力分析 首先从二力构件入手，可使受力图较简单，有利于解题。 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束反力。 画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。 不画研究对象的内力。 两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。3.3 物系平衡问题的应用

16、物系平衡问题的应用 返回首页Theoretical Mechanics列平衡方程，求未知量列平衡方程，求未知量 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。避免列出

17、不独立的平衡方程。 解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题 例 图中ADDB2 m，CDDE1.5 m，Q120 kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。 解：解除约束，画整体受力图列平衡方程 0FAM0TTNrDEFrA

18、DFABFBkN105kN45 . 12120TNABDEADFFB0yF0TNFFFBAykN15NBTAyFFF0, 0TFFFAxxkN120T FFAx3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页 Theoretical Mechanics可用 ，验算FAy如下 0FBM0TTABFrDEFrDBFAykN15TABDEDBFFAy例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页 0FBMTheoretical Mechanics 为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程 0sin, 0TTrFrDEFCDFMDF5425 . 12sin

19、22CBDBkN150sinTCDDEFFF = 150 kN，说明BC杆受压力。 例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页 Theoretical Mechanics 求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。 0cos, 0NADFDBFDBFMAyBDF5325 . 15 . 1cos22CBCDkN150cosNDBDBFADFFBAy例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页 Theoretical Mechanics 例 某厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，。刚架上的载荷已简化为两个集中力F1及F2。试求C

20、处的约束力。 分别取AC及BC两部分为研究对象，画受力图。 解：本题是静定问题，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未数，而且不可能联立求解。 例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页Theoretical Mechanics 取AC为研究对象，画受力图。 0, 01alFlFhHFMCyCxAF 0FBM取BC为研究对象，画受力图。 02blFlFHFCyCx联立求解以上两式，可得 hHblFalFFFCxCx221hHlhHblFHalFFFCyCy221例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页Th

21、eoretical Mechanics 例 结构上作用载荷分布如图，q13 kN/m，q20.5 kN/m，力偶矩M2 kNm，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。 解：先研究BC部分，画受力图。 简化成合力Fqq22。列方程如下 0122, 02NqMFMBCFkN5 . 0222NMqFB02, 02NqFFFBCyykN5 . 12N2BCyFqF0, 0CxxFF例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页Theoretical Mechanics再取AC部分画受力图，列方程 0112132114, 012CyACxAFMqqFMF12132112CyAF

22、qqMmkN25. 601, 02qFFFCyAyykN212qFFCyAy00213, 01CxAxxFqFFkN5 . 4213qFAx例例 题题3.3 物系平衡问题的应用物系平衡问题的应用 返回首页 Theoretical Mechanics第第3章章 力系的平衡力系的平衡3.4 空间力系的平衡空间力系的平衡 返回首页Theoretical Mechanics3.4 空间力系的平衡空间力系的平衡 空间一般力系平衡的充分必要条件空间一般力系平衡的充分必要条件 结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。各力对此三

23、轴之矩的代数和都必须同时等于零。 000FFFzyxmmm力系的主矢力系的主矢 和对任意和对任意点的主矩点的主矩 MO 均等于零均等于零 RFF R = 00OM0222RzyxFFFF0, 0, 0zyxFFF 返回首页Theoretical Mechanics 1. 空间汇交力系 如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，MxMyMz0，则空间汇交力系平衡方程为 0, 0, 0zyxFFF 2. 空间平行力系 如果使z轴与各力平行，式Fx0, Fy0, Mz0，则空间平行力系的平衡方程为 0)(, 0, 0FFyxzMMF 3. 空间力偶系 式Fx0，Fy0，Fz0，则空间力偶系的平衡方程为 0