2018-2019学年重庆市西南大学附中高一下学期期中数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2018-2019 学年重庆市西南大学附中高一下学期期中数学试、单选题【答案】【详解】k Z，得X故选：B.B.【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题【详解】sin B b cos A，由正弦定理得.3sin AsinB sin BcosA,Q 0 B,sin B 0,则，3 si nA cos A，可得tan A -3函数ftan x-的定义域是（6k ,kk ,k Z23k ,k2k ,k Z【解析】 解不等式，即可得出函数yX的定义域. .解不等式因此，函数f Xtan6的定义域是xx2 2.ABC中，内角A、B所对的边分别为a、b，若

2、3a sin Bb cos A，则角A等于（【答案】【解析】 根据正弦定理边角互化思想求出tan A的值，再结合A的范围可求出角A的值 第2 2页共 1818 页又 Q0Q0 A A，因此，A. .6故选：C.C.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的 值，考查运算求解能力，属于基础题. .r rrrrr rr rr3 3 .非零向量a、b满足：a2ba,a 2bb,a1,则b()11A A .B.-C C.1D D .222【答案】B Bvva2b a0rrvv v，在方程组中消去ab，可得出a2b b0量关系，即可得出b的值. .【详解】故选：B

3、.B.【点睛】 本题考查向量模的计算，根据向量垂直建立方程组是关键，考查运算求解能力，属于基 础题 4 4为了得到函数y sinx cosx的图象，只需将函数【详解】Qy sinx cosx、2sin x . 2 sin x4123r2r2r1r-aa 4b0，因此，b即【解析】根据题意得出由题意可得v2bv2bvavb，即v20，b 2b202得a2r24b 0，y2 Sin X匸的图象A A 向左平移一个单位35C C .向左平移 个单位12【答案】A AB B .向右平移一个单位35D D .向右平移个单位12sin xcosx .第3 3页共 1818 页因此，只需将函数y . 2 s

4、in x的图象向左平移 个单位即可得出函数123y sinx cosx的图象. .故选：A.A.【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时要将两个三角函数化为同名函数，同时要注意左右 平移指的是在自变量上变化了多少，考查推理能力，属于基础题5 5已知点A 1,3,B 2,7，则与向量AB方向相反的单位向量是()的关键，考查计算能力，属于基础题6 6 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为则sin A()a、b、c,B45o,c2，a 3,A10口A A B B.10C C 3 3 1010D -10510105 5【答案】C CA A 43B B.3, 45555【答案】D Duuu【解析】与

5、非零向量AB方向相反的单位向量为AB，进而可求得结果|AB|【详解】uuuuuuQ A 1,3,B 2,7,AB 3,4，则ABuuuuuuAB因此，与向量AB方向相反的单位向量是uuuAB|AB|故选：D.D.【点睛】23425,1343,4J555本题考查单位利用结论:与非零向量a方向相反的单位向量为a厂是解题a第4 4页共 1818 页【解析】 利用余弦定理求出b的值，然后利用正弦定理求出sin A的值. .【详解】最小值为（【答案】B B后利用双勾函数的单调性可求出cos的最小值【详解】r r1由于向量a、b是单位向量，整理得cos6故选：B.B.【点睛】析问题和解决问题的能力，属于中

6、等题在等式xaxb两边平方得x2：22xar2br22a4xa2x2b2，Qx 2，当x 2时，cos取得最小值1512由余弦定理得b12a22c 2ac cos B 9 2 2 3由正弦定理得asi nAb. c，因此，asin BsinBsi nA -b3.10. .10故选：C.C.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力,属于基础题7 7 .已知单位向量a、b的夹角为 ，且满足xaxbx 2，则cos的B B.512【解析】在等式xaJ2|a xb两边平方,可得出cos关于x的函数表达式，然2,上单调递增,本题考查利用涉及双勾函数单调性的应用,考查分8 8 .已知两

7、不共cos ,sin，则下列说法一定正确第5 5页共 1818 页的是（）A A .a与b的夹角为B B.a b的最大值为1第6 6页共 1818 页C C.a b 72D.a b a b【答案】D D【解析】由向量夹角的范围可判断A选项的正误；计算出a b，利用余弦函数的值域 以及已知条件可判断 B B选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C C 选项的正误；计算vb a b的值可判断 D D 选项的正误 综合可得出结论. .【详解】vv_Q a cos ,sin，b cos ,sin，则vJcoSsi1，同理可得vb 1，Q：与b不共线，则sin cos cos sin sin0,贝

8、yk k Z. .对于 A A 选项，由题意知，a与b的夹角的范围为0,，而R且k k Z, A A 选项错误；r r对于 B B 选项，设向量a与b的夹角为，则0，所以，vvvva b a b cos cos 1,1, B B 选项错误；对于 C C 选项，由于a与b不共线，由向量模的三角不等式可得v va b 2, C C选项错误；vvvv/cvv2v2vvvv对于 D D 选项，Qabababab0，所以，a ba b,D D 选项正确. .故选：D.D.【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于

9、中等题A A .a与b的夹角为B B.a b的最大值为1第7 7页共 1818 页9 9 .已知f x2sinx2,0的最小正周期为，对任意x都有f x，则f3126第8 8页共 1818 页A A .出2B B.1C.、3D D .用三4【答案】 C C【解析】 先由函数的最小正周期求得2，根据题意得出函数y f x的一条对称轴为直线 x x ,可求出 的值，然后代值计算即可 6【详解】2Q函数y f X的最小正周期为，则2，此时，f x2sin 2x由于对任意X都有fx3f x，则函数y f x的一条对称轴为直线x 62-kk Z，可得-k k Z5626Q$nk 0,n所以，f x2si

10、n 2x266因此，f一2sin 2一2sin12 126故选：C.C.【点睛】本题考查利用正弦型函数的基本性质求解析式，函数解析式是关键，考查计算能力，属于中等题同时也考查了三角函数值的计算,求出11010 .已知coscos -6341,-，则7A A . . - -B.B.6 612【答案】D D【解析】利用诱导公式和二倍角的公式化简题干中的等式得出sin 21,结32合的取值范围可求得的值. .【详解】，所以cos-cos 2sin 66第9 9页共 1818 页所以,233第1010页共 1818 页故选：D.D.【点睛】本题考查利用三角函数值求角,涉及诱导公式和二倍角正弦公式的应用

11、,在计算时要结合角的取值范围来计算，考查计算能力，属于中等题1111.已知函数f.5sin x_22sin22，贝y f x的最小值为（9A A .16【答案】B B.2【解析】 利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式为2cos2x cosx 1,并求出cosx的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出函数y f x的最小值. .【详解】.5 sin x4x sin 2x4xsin cos2xxcos sin 2x42_121221. x2x2x22si n2sin2si n222Q f x1cos2x22cos - s in xcosx212sin -22cos2x2c x . xx2

12、cos sin cos cosx2 22.xsin21cc2x11c, 1cos2x2cos cosxcos2x1 cosx cosx 222222cos2x 121cosx cos x - 2 22cos2x cosx 12 cosx由题意可知，-2kkZ，则x2k k Z,1 cosx 1因此，当cosx1时, 函数y f9x取得最小值48cos 6coscos 6sin1 .sin2可得sin 276，解得233第1111页共 1818 页第1212页共 1818 页故选：D.D.【点睛】本题考查二次型余弦函数最值的计算，涉及三角恒等变换思想的应用，容易忽略cosx范围的计算，考查运算求

13、解能力，属于中等题1212.O为ABC内一点内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知uur uur a OAb OBuur r口uuuuuuc OC 0，且tan A OA tanB OBtanC OC 0，若a ,3,则边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为（4B B.3【答案】A Atan A【解析】根据题意得出巴 Ha从而可得知tan BtanC，利用正弦定理边化角思想和切化弦思c想得出ABC,bABC为等边三角形，进而可求得BC所对的ABC外接圆的劣弧长 【详解】luu Q aOAuun bOBuuur rc OC 0，uurOCauurOA -OB,cbuuu同理可得uuurOCta

14、n AuurOA tanCtanB OB,tanCtan AtanCtan B tan Ctan Atan BtanCcb由正弦定理得血述sin A sin Btan Csin C，所以,1cosA1cosB1cosC cosA cosB cosC,由于余弦函数y cosx在区间0,上单调递减，所以,2R设ABC的外接圆半径为R，则2Rsin A1,所以，边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为R 2A故选：A.A.【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、考查计算能力，属于中等题切化弦思想以及正弦定理的应用,第1313页共 1818 页第1414页共 1818 页、填空题1313.AB

15、C内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若c 2b，b2a，则cosB3【答案】-4【解析】 利用a表示b和c，然后利用余弦定理可求出cosB的值. .【详解】3故答案为：-.4【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题2 o1sin 35一1414 . . _ _. .cos1(f cos80【答案】1【解析】 利用二倍角公式和诱导公式可计算出所求代数式的值【详解】2*。1sin 35原式21 cos70 1ocos70sin 20o12 2cos10ocos80cos10osin 10o2si n10ocos10osin 20o故答案为：1. .【点睛】本题考查利

16、用三角恒等变换思想求非特殊角的三角代数式的值，涉及二倍角公式和诱导公式的应用，在计算时要注意化大角为小角、化异角为同角思想的应用， 考查计算能力, 属于中等题uuur uuuruuu1515.ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD 3DB，3BEuuuum卄CF 3FA，右muBC2，则uuwAEuurUULTBF CD【答案】1uuuujuruuuuuuuuuruuujjjuuujjj【解析】分别用AB、AC、BC表示AE、BF、CD，可计算出AEBFCD，Q b2a，c .2b 2a，由余弦定理得cosB2 2 . 2a c b2aca24a22a232a 2a 4uuu

17、EC，第1515页共 1818 页ULUV UUU UULV进而可求得AEBF CD的值. .【详解】故答案为：1. .【点睛】择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题可计算出结果【详解】【点睛】uuu QAD3DB，则AV鵲uuv uuvuur3 CB CD，可得CD3 uuu i uuuCB -CA,44uuu同理可得AE3 uuu i uur uuiu ABAC,BF443 uuu i uur BABC,44uuiu uuu uuu所以，AE BF CD3 uuu1uuur-AB丄AC44uuu 1 uuuBA - BC43 UJU1uuu-CB -CA441uuuBC,2uuv

18、 uuv uuiy因此，AEBF CD1 uuv-BC1uuvBC22本题考查平面向量模的计算,涉及平面向量加法和减法法则的应用,解题的关键就是选1616 .若sin 2cos2(0)，则2cos 27【答案】17172525【解析】利用同角三角函数的平方关系建. 立有关sin和cos的方程组，求出sin和cos的值，利用二倍角公式求出sin2禾口cos2的值，然后利用两角和的余弦公式Q 0,可得sin0,由题意可得由二倍角公式得sin 22si ncos因此，、2 cos 2422ocos 222sin2cossin452sin2cos1,解得553sin0cos524,cos22cos21

19、72522517sin 2cos 2sin 2225本题考查三角函数值的计算,涉及同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角和的余117172525第1616页共 1818 页弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题第1717页共 1818 页【详解】(2(2)原式【点睛】 本题主要考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用与三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题 rrr1818 .平面内给定三个向量a3,2b1, 1,c 4,1，回答下列冋题r rr r(1 1)若a kca b求实数k;(2 2)设 d d 满足u rrru ru ud c /ab且dc1，求 d d . .三、解答题1

20、717 已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边是射线y2x x 0. .求下列各式的值:(1)sinsin 2cos;cos(2)sin 2【答案】(1 1)【解析】(1 1)根据题意求得tan2，在所求分式的分子和分母中同时除以cos的值，可得出只含tan的分式，代值计算即可;(2(2)利用两角和的正弦公式、二倍角的正弦、余弦公式化简sin 2- 2sin42coscos2sin2，除以cos2sin2，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos可得出只含tan的分式，代值计算即可 (1)由题意可得tan2， 所以,sin 2cossincos10口4;tan 12 1sin

21、2cos22sin2cos2cos.2sin2sin cos2cos2 . 2cossin；2sin2 tan1 tan21 tan22 2 1 221 2210第1818页共 1818 页r r r rr r【解析】(1 1)计算出向量 a a kckc 和ab的坐标，由已知条件得出可得出关于实数k的等式，解出即可;的值，即可得出向量 d d【详解】解得【点睛】【答案】(1 1)k8; (2 2)924,8或U5 516 2T，5本题考查平面向量的坐标运算,涉及由向量垂直求参数以及向量坐标的求解，建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题1919 .在ABC中，内角A、B、C所对的

22、边分别为a、b、c，且4sin(1)B2A Bcos cos sin B C cosB sin A C2 2 2求sin C的值;(2)若c 4,a 3，求向量AB在AC方向上的投影. .a kcu(2)设向量d x, y，根据已知条件得出关于y的方程组，解出这两个未知数(1)Q向量a3,21,4,1，kc3,2k 4,14k3,k3,21,2,1，kckc4k9k(2)x,y3,21,4,3，urd4,y由于/ a1，则因此,3x4，解得2424或851652524 85,51651第1919页共 1818 页【答案】(1 1) - ; (2 2)、15. .3【解析】(1 1)利用二倍角降

23、幕公式、 两角和的正弦公式以及诱导公式化简题干中的等式可求出sinC的值;后利用向量投影的定义可得出结果【详解】(2)利用正弦定理求出sin A的值，由ac可知A为锐角，进而求得cosA的值，然(1)Q 4sinB2Acos2Bcossin B2C cosB sin A C2sin B -cos AsinA cosBsinsin B cos As in Bsin AcosB sinBsin Asin1sinC -；3(2)由正弦定理sin A sin C得sinAasinC因此,c,则角A为锐角，所以,cosAuu向量AB在ACccos A.15. .【点睛】本题考查三角难点在于利用三角恒等变

24、换思想将等式化简，考查计算能力，属于中等题uur umr2020 如图，四边形AOCB中，OA OC 0，AC 2,BCBC(1)若ABABC1第2020页共 1818 页(2)若AB .5，求OB长度的取值范围【答案】(1 1)丄23； (2 2)1八2 1124第2121页共 1818 页cos ACB，进而求得sin ACB，然后利用三角形的5，则44【解析】(1 1)利用余弦定理求出面积公式可求出SABC的值;(2(2)设ACO，可知0,，以及OC 2cos，然后在OBC中利用余2弦定理将OB2表示为 的三角函数，并利用三角恒等变换思想化简，利用正弦函数的基本性质可求出OB的取值范围【

25、详解】由余弦定理得cosACBAC2BC2AB2112AC BC12sin ACB12cos ACB.2312因此，SSABCIAC BCsin1 ACB -2 1.2323；221212(2 2)Q AC2，BCBC 1 1，AB.5，AC2BC2AB2，ACB -2设ACO，可知0,2，且OC ACcos2cos在OBC中，OC2BC22OC BCcos-4cos21 4cos sin2sin 2 2cos 23 2需243，辽sin(1(1)在ABC中，AB二，AC 2，BCBC 1 1，3OB2【答案】(1 1)丄23； (2 2)1八2 1124第2222页共 1818 页1 OB2

26、3 2 2，则1 OB & 1. .因此，OB的取值范围是1八21【点睛】第2323页共 1818 页本题考查三角形面积的计算，同时也考查了三边形边长取值范围的计算，解题的关键就是找出一个合适的角， 将所求边长表示以此角为自变量的三角函数，转化为三角函数的值域问题来求解，考查运算求解能力，属于中等题x2121 .已知函数f x sin xsin x2cos2其中x R,0,6 6 2若f m1,f n1，且m n的最小值为4(1 1) 求f x；(2 2) 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知f A1，a昼2uiu umrAB BC0，求b c的取值范围 【答案】(

27、1)f x 2sin 2x1； (2 2)逅62【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数yf x的解析式为f x 2Sin x61，利用题中条件求出函数y f x的最小正周期，可计算出 的值，由此可得出函数y f x的解析式;正弦函数的基本性质可求出b c的取值范围【详解】(1 1)2xQ f x sin x sin x 2cos -6 6 2c 1 cos xsinxcoscos xsi n sinxcoscos xsin 2 -66662.3sin x cos x1 2si nx 1. .6,UJUumr(2)由AB BC0，可知B为钝角,A为锐角，结合f A1求出角A的值，然后利用正弦

28、定理结合三角恒等变换思想将b c变形为以角C为自变量的三角函数，利用第2424页共 1818 页Q fm 2sin m-11,得sin m1 ,6 6第2525页共 1818 页因此，fx2sin 2x-1；所以，B为钝角，A为锐角,Q f A2sin 2A611，可得sin2A61，Q0 A2A5，则2A，解得A2 66 66 23K由正弦定理得-ca2L1, 则 b b sinsin B B ,csinC,sin Bsi nCsin A32力，属于中等题 2222.已知函数f x3sin2x2sin2x3 1. .4由f n 2sin n1，得sin n0,6Q m n的最小值为4，则函数

29、yx的最小正周期为4 ，则22,4umr uuu(2)Q AB BCuuu uuu ABBC cosuuuuuuBCcosBcosB 0,0由题意得0，即C -22C3解得0b c sin B sinCsin CA sin Csin CsinC -si nC2辽cosC2sin C|sinC2osC2 3sin因此,【点睛】6,61 .sin2c的取值范围是/3 3. .2 2本题是三角函考查根据三角函数的基本性质求解析式以及利用三角函数求考查化归与转化思想以及运算求解能第2626页共 1818 页53(1)当x ,，且g x 2mf x sin 4x的最大值为 ，求m的值;12 12 6 2(2(2)方程 f f3x在0,上的两解分别为x1、x2，22求cos x x2的值. .【答案】(1)1m； ( 2 2)cos为X22【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数y的解析式为2sin 2x，令s 2x，可得g x6 622sin s 4msins 1，再令2t sins 0,1，可将问题转化为二次函数y 2t4mt 1在t 0,1上的最大值为3，