因动点产生的直角三角形问题

1、第1页共 15 页1.3因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题13如图 1,抛物线y x23x 4与 x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与 y 轴交于点 C,连42结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)， 过点 P作 x 轴的垂线 I 交抛物线于点 Q .(1) 求点 A、B、C 的坐标；2)当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 I 分别交 BD、BC 于点 M、N .试探究 m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理

2、由；3)当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 0,使厶 BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 13 山西 26”，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P 运动到 OB 的 中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段 EB 上运动，可以体验到，/ DBQ 和/ BDQ 可以成为直角.请打开超级画板文件名“ 13 山西 26”，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P 运动到 OB 的 中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P

3、在线段 EB 上运动，可以体验到，/ DBQ 和/ BDQ 可以成为直角.思路点拨1 第(2)题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQ = DC 列方程.2 第(2)题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论.3 第(3)题厶 BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似 三角形.满分解答131(1)由y x2x 4 (x 2)(x 8)，得 A( 2,0), B(8,0), C(0, - 4).4241(2) 直线 DB 的解析式为y x 4.2113由点 P 的坐标为(m,0),可得M(

4、m, m 4),Q(m, m2m 4).图 1第2页共 15 页242第3页共 15 页所以 MQ =(1m 4) (- m - m 4)- m2m 8.2424当 MQ = DC = 8 时，四边形 CQMD 是平行四边形.Q,分别是(一 2,0),(6, 4).考点伸展第(3)题可以这样解：设点Q 的坐标为(x,-(x42)(x8).如图 3，当/ DBQ = 90时,QGGBBHHD1.所以22)(x 8)解得 x= 6.此时 Q(6, 4).如图 4，当/ BDQ = 90时,QGGDDHHB42.所以一1-(x 2)(x4x8)解方程m2m 8 8，得 m= 4,或 m = 0 (舍

5、去).4此时点 P 是 0B 的中点，N 是 BC 的中点，N(4, 2), Q(4, 6).所以 MN = NQ = 4.所以 BC 与 MQ 互相平分.所以四边形 CQBM 是平行四边形.图 2(3)存在两个符合题意的点图 3解得 x= 2.此时 Q( 2,0).图 3图 4第4页共 15 页例1 2012年广州市中考第24题如图 1,抛物线y3x23x 3与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C.84(1) 求点 A、B 的坐标；(2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当厶ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点 D 的坐 标；(3)若直线

6、 I 过点 E(4, 0), M 为直线 I 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 I 的解析式.动感体验请打开几何画板文件名“ 12 广州 24”，拖动点 圆相切时，符合/ AMB = 90的点 M 只有 1 个.请打开超级画板文件名“ 12 广州 24”，拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合/ AMB = 90的点 M 只有 1 个.思路点拨1.根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个.2 .当直线 I 与以 AB 为直

7、径的圆相交时，符合/ AMB = 90的点 M 有 2 个；当直线 I 与圆相切时，符 合/ AMB =90的点 M 只有 1 个.3 灵活应用相似比解题比较简便.满分解答()由y3x2-x 33(x 4)(x 2),848得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线 x=- 1.(2) ACD 与厶 ACB 有公共的底边人6 当厶 ACD 的面积等于 ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等.过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D.设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H .第

8、5页共 15 页由 BD/AC，得/ DBG =ZCAO .所以DG CO 3.BG AO 4所以DG BG-，点 D 的坐标为（19）.444因为 AC/BD , AG= BG,所以 HG= DG .而 DH= DH，所以 DG= 3DG2.所以 D 的坐标为（1冬）.44（3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 I 总是有交点的，即 2 个点 M . 以 AB 为直径的OG 如果与直线 I 相交，那么就有 2 个点 M;如果圆与直线 I 相切，就只有 了.联结 GM，那么 GM 丄 I.在 Rt EGM 中，GM = 3, GE= 5,所以 EM = 4.在 Rt EMI

9、A 中，AE= 8,tan M“EA3，所以 MIA=6.1AE 4所以点 M1的坐标为（一 4,6）,过 M1、E 的直线 l 为y-x3.4根据对称性，直线 I 还可以是y3x 3.4考点伸展第（3）题中的直线 I 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 I 的解析式.在 Rt EGM 中，GM = 3, GE= 5,所以 EM = 4.在 Rt ECO 中，CO = 3, EO= 4，所以 CE = 5.因此三角形 EGMECO,/ GEM =ZCEO .所以直线 CM 过点 C.1 个点 MAi图 2图 3x第6页共 15 页当 k= 2 时，反比例函数的解析式是y(2)在反比例

10、函数yk中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 kv0.x当 kv0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大.抛物线y = k(x2+ x + 1) =k(x1)25k的对称轴是直线4例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y= k(x2+ x 1)的图象交于点 A(1,k)和点 B( 1,-k).(1) 当 k= 2 时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为 0,当厶 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值.

11、动感体验请打开几何画板文件名 “12 杭州 22”，拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 kv0 并且 在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大.观察抛物线的顶点 Q 与OO 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上.请打开超级画板文件名 “12 杭州 22”，拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当 kv0 并且 在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大.观察抛物线的顶点 Q 与OO 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上.思路点拨k1.由点 A(1,k)或点 B( 1, k)的坐标

12、可以知道，反比例函数的解析式就是yk.题目中的 k 都是-x致的.2 .由点 A(1,k)或点 B( 1, k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就 是 O.3 .根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在OO 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形.满分解答(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是第7页共 15 页所以当 kv0 且x1时，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大.2（3）抛物线的顶点 Q 的坐标是（1 5k）, A、B 关于原点 0 中心对称,2，4当 0Q= 0A = OB 时， ABQ 是以 A

13、B 为直径的直角三角形.由 0Q2= 0A2，得（）2（5k）212k2.24解得k1-V3（如图 2）,k2-V3（如图 3）.33考点伸展如图 4,已知经过原点 0 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线yk（ k 0）交于 A、B 和 C、D，那x么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形.问平行四边形 ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5,当 A、C 关于直线 y= x 对称时，AB 与 CD 互相平分且相等，四边形 ABCD 是矩形.因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 0A 与 0C 无法垂直，因此四边形 ABCD不能成为正

14、方形.图 2图 3第 7 页共 i5 页例4 2011年浙江省中考第23题设直线 li： y = kix+ bi与 12： y= k2x+ b2,若 li丄|2，垂足为 H，则称直线 li与 12是点 H 的直角线.(1) 已知直线ylx 2:yx2 :y2x2 :y2x 4 和点2C(0, 2),则直线 _和_是点 C 的直角线(填序号即可)；(2)如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7),P 为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 li,过 A、P 两点的直线 为 12,若 li与 l2是点 P的直角线，求直线 li与

15、12的解析式.图 i动感体验请打开几何画板文件名“ ii 浙江 23”，拖动点 P 在 OC 上运动，可以体验到，/ APB 有两个时刻可以 成为直角，此时 BCP POA.答案(1)直线和是点 C 的直角线.(2)当/ APB = 90 时，BCPPOA .那么_BC巴，即?PO.解得 OP = 6 或 OP = i.CP OA 7 PO 3如图 2,当 OP = 6 时，li：ylx6， l2: y=- 2x+ 6.y 2如图 3，当 OP = i 时，li： y= 3x+ i， l2：y x i.3Ayc第9页共 15 页例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系 xOy 中，抛

16、物线yx2x m23m 2与 x 轴的交点分别为原点 0 和44点 A,点 B（2,n）在这条抛物线上.（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E,延 长 PE到点 D，使得 ED = PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD （当点 P 运动时，点 C、 D 也随之运动）.1当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；2若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A出发向点 O 作匀速

17、运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动）.过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM = QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作 等腰直角三角形 QMN （当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动）.若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角 形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 10 北京 24”，拖动点 P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形 的边有三个时刻可以共线.思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了.2 把图形中的始终不

18、变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长.3点 C 的坐标始终可以表示为（3t,2t）,代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长.4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了.满分解答（1）因为抛物线ym21（舍去）.因此ym 125m2x x m44125x x.所以点4223m 2经过原点，所以mB 的坐标为（2, 4）.3m 20.解得叶第10页共 15 页如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE= 2t, EC= 2t,点 C 的坐标为（3t, 2t）.当点 C 落在抛物线上时,第11页共 15 页2t1(3t)253t解得

19、t OP22.429如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合.此时 3t= 10.解得t3如图2,当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQ = PE. 此时10 3t2t.解得t 2.如图3,当两条直角边DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQ = PD . 此时10 3t4t.10解得t考点伸展PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值.如图 5,当 当 P、Q 重合时，两圆内切，t一在本题情境下，如果以第12页共 15 页如图 6,当两圆外切时，t 30 20.2.t第13页共

20、15 页例6 2009年嘉兴市中考第24题如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点，MN 4 ,MA 1,MB 1.以 A 为中心顺时针旋转点 M, 以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成 ABC，设 AB x .(1)求 x 的取值范围；2)若厶 ABC 为直角三角形，求 x 的值;(3) 探究： ABC 的最大面积?动感体验请打开几何画板文件名“ 09 嘉兴 24”，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边；/CAB 和/ ACB 可以成为直角，/ CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是

21、一个开口向下的“U ”形，当 AB 等于 1.5 时，面积达到最大值.思路点拨1.根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围.2.分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性.3.把 ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2的问题.AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况.图 1第14页共 15 页满分解答(1)在ABC 中，AC 1,ABBC所以3 x，解得1 x 2.x x.(2)若 AC 为斜边，则 1x2(3x)2,x23x此方程无实根.若 AB 为斜边，

22、则 x2(3X)21，解得若BC 为斜边，则(3 x)2x，解得 x5-，满足34，满足13因此当 x -或 x -时， ABC33(3)在ABC 中，作CDAB于 D,设CD h,AABC 的面积为 S,则 S - xh . 2是直角三角形.3第15页共 15 页如图 2 ,若点 D 在线段 AB 上，则.1h2(3 x)2h2移项，得nnJQ.(3 x) h x . 1 h.两边平方，得(3x)2h2x22x 1 h21h2.整理，得x .1 h23x 4 .两边平方，得 x2(1 h2) 9x224x整理，得 x2h28x224x16所以S2lx2h242x2316x 42(x3)213

23、时（满足22）, S2取最大值丄，从而2S 取最大值2.2LICJN如图 3，若点D 在线段 MA 上，U；（3X)2h2.1 h2同理可得,S2易知此时 S-x2h22x26x 442 .2(x).综合得,ABC 的最大面积为2考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD因此例如在图 2 中，由AC2AD2BC2BD2列方程1 a2(3x)2(x a)2.整理，得a以.所以1 a223x 48x2如图 1,直线24x2x16S22 2(1 a )2x26x 4.4和 x 轴、2008年河南省中考第23题y 轴的交点分别为B、C，点 A 的坐标是（-2，0）.3第1

24、6页共 15 页定义域为 2vt 5.第17页共 15 页(1) 试说明 ABC 是等腰三角形；(2) 动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S.1求 S 与 t 的函数关系式；2设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S= 4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明 理由；3在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值.动感体验请打开几何画板文件名 “ 08 河南 23” ,拖动点

25、 M 从 A 向 B 运动，观察 S 随 t 变化的图象，可以体验到， 当 M在 AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当 M 在 OB 上时，S 随 t 的增大而增大.观察 S 的度量值，可以看到， S 的值可以等于 4.观察 MON 的形状，可以体验到， MON 可以两次成为直角三角形，不存在/ONM = 90的可能.思路点拨1第(1)题说明 ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M、N 同时出发，同时到达终点.2 .不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示 OM 要分类讨论.3 .将 S= 4 代入对应的函数解析式

26、，解关于t 的方程.4 .分类讨论 MON 为直角三角形，不存在/ ONM = 90的可能.满分解答4(1)直线y x 4与 x 轴的交点为 B (3, 0)、与 y 轴的交点 C ( 0, 4). Rt BOC 中，OB = 3,3OC = 4,所以 BC = 5.点 A 的坐标是(-2, 0),所以 BA = 5.因此 BC = BA,所以 ABC 是等腰三角形.44(2) 如图 2,图 3,过点 N 作 NH 丄 AB，垂足为 H .在 Rt BNH 中，BN = t,sin B，所以NH t.55如图 2,当 M 在 AO 上时，OM = 2-1,此时114224S OM NH (2

27、t) t t t.555定义域为 0vt 2.如图 3,当 M 在 OB 上时，OM = t- 2,此时114224S - OM NH-(t2) -tt2t定义域为 2vt 5.第18页共 15 页22555（1）试说明 ABC 是等腰三角形;第 13 页共 15 页4.解得，此时t2把此，当点3如图 4,当/OMN = 90 时，在 Rt BNM 中，BN= t, 得t如图ti2BM图2 J1,11.5 t,cos B3t22,11（舍去负值）如图 5,当/ OMN = 90时，N 与 C 重合，t 5.不存在/25所以，当t或者t 5时， MON 为直角三角形.ONM = 90的可能.考点

28、伸展在本题情景下，如果6,当 ON/AC 时,如图MON 的边与 AC 平行，求t= 3;如图 7,当 MN/AC 时，t= 2.5 .t 的值.例8 2008年河南省中考第23题如图 1,直线y4x 4和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是（-2, 0）3第20页共 15 页(2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S.1求 S 与 t 的函数关系式；2设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S= 4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明 理由；3在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值.动感体验请打开几何画板文件名 “ 08 河南 23” ,拖动点 M 从 A 向 B 运动，观察 S 随 t