高等数学 第十二章 无穷级数

1、无无 穷穷 级级 数数 从从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：题展开讨论：级数的收敛性判定问

2、题，级数的收敛性判定问题，把已知把已知函数表示成级数问题，函数表示成级数问题，级数求和问题。级数求和问题。重点重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；展开式；难点难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，和间接法， Fourier 展开，级数求和；展开，级数求和；基本要求基本要求掌握级数敛散性概念和性质掌握级数敛散性概念和性质掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法

3、掌握交错级数的掌握交错级数的Leibniz审敛法审敛法掌握绝对收敛和条件收敛概念掌握绝对收敛和条件收敛概念掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数区间，会求简单的幂级数的和函数熟记五个基本初等函数的熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及级数展开式及其收敛半径其收敛半径掌握掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形级数概念，会熟练地求出各种形式的式的Fourier 系数系数掌握奇、偶函数的掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数将函数展开成正弦级数或余

4、弦级数一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积n23 naaaA 21即即 n10310003100310331. 21a21aa naaa 21R二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211一般项一般项(常数项常数项)无穷级数无穷级数级数的部分和级数的部分和 niinnuuuus121部分和数列部分和数列,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无无限限增增

5、大大时时, ,如如果果级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列ns有有极极限限s, , 即即 ssnn lim 则则称称无无穷穷级级数数 1nnu收收敛敛, ,这这时时极极限限s叫叫做做级级数数 1nnu的的和和. .并并写写成成 321uuus 如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. . 即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr )0lim( nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .

6、做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推第第 次分叉：次分叉：n周长为周长为, 2 , 1)34(11 nP

7、Pnn面积为面积为)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn )94(31)94(31)94(31311221 nA, 3 , 2 n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqa

8、n ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim 收敛收敛,1时时当当 q nnqlim nnslim 发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q nasn 发散发散,1时时当当 q aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1

9、211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛三、基本性质三、基本性质性性质质1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. . 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性性质质2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, , 则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. . 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knn

10、u也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s ,52s ,93s ,nms .limlimssnnmm 则则注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. ) 11 () 11

11、(例例如如 收敛收敛 1111 发散发散事实上，对级数事实上，对级数 1nnu任意加括号任意加括号 )()()(1111211kkpppppuuuuuu若记若记kkppkuub 11则加括号后级数成为则加括号后级数成为 1kkb记记 1nnu的部分和为的部分和为ns 1kkb的部分和记为的部分和记为k 则则kpks 由数列和子数列的关系知由数列和子数列的关系知存在，存在，nns limkk lim必定存在必定存在kk lim存在存在nns lim未必存在未必存在推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级 数数也也发发散散. . 四、收敛的必要条件四、收

12、敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级级数数收收敛敛. 0lim nnu 1nnus证明证明,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . n131211例例如如调调和和级级数数?,0lim但但级级数数是是否否收收敛敛有有 nnu讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和为其和

13、为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 )(210 n便便有有.这这是是不不可可能能的的.级级数数发发散散2项项 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm2项项4项项8项项 项项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项项大大于于即即前前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .由定积分的几何意义由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分这块面积显然大于定积分nsn1211 以以 1 为底的的矩形面积为底的的矩形面积把每一项看成是以把每一项看成是以 为高为高n1就

14、是图中就是图中 n 个矩形的面积之和个矩形的面积之和nsdxxn 111即即nSn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故调和级数发散故调和级数发散调和级数的部分和调和级数的部分和五、小结五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ; 2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ; 3 3. .按按基基本本性性质质. . 思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？ 思考题解答思考题解

15、答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知观察雪花分形过程观察雪花分形过程;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推12345练习题练习题一一、填填空空题题: : 1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若级级数数为为 642422x

16、xxx则则 na_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若级级数数为为 97535432aaaa则则 na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 若若级级数数为为 615413211 则则当当 n_ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _；当当 n_ _ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比级级数数 0nnaq, ,当当_ _ _ _ _ _时时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 . . 三三、由由定定义义判判别别级级数数 ) 12)(12(1751531311nn的的收收敛敛性性. . 四四、判判别别下下列列

17、级级数数的的收收敛敛性性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 五五、利利用用柯柯西西收收敛敛原原理理判判别别级级数数 61514131211的的敛敛散散性性 . . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1

18、 qq. . 三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 nkknks12)10121( . . 五、发散五、发散. . 取取np2 常数项级数审敛法常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因考察级数的部分和是

19、否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论来讨论一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .这种级数非常重要，这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问

20、题都可归结为正项级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: : nsss21部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns3.比较审敛法比较审敛法均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； 反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散. . 证明证明 1)1(nnv设设,nnvu nnuuus 21且且nvvv 21即部分和数列有界即部

21、分和数列有界.1收敛收敛 nnu)()2( nsn设设,nnvu 且且nns 则则 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.推推论论: : 若若 1nnu收收敛敛( (发发散散) ) 且且)(nnnnvkuNnkuv , , 比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nn

22、ppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. . 比较审敛法是一基本方法，虽然有比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较

23、审敛法上更为方便的极限形式的比较审敛法例例 2 2 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的. 证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发发散散级级数数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00

24、l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对对于于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.5 5. .极极限限审审敛敛法法：设设 1nnu为为正正项项级级数数, , 如如果果0lim lnunn ( (或或 nnnulim) ), , 则则级级数数 1nnu发发散散; ; 如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, , 则则级级数数 1nnu收收敛敛. . 例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: : (1) 11sinnn ; (2

25、) 131nnn ; 解解nnn1sinlim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.)1(6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu 则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. . 证明证明,为为有有限限数数时时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnu

26、u有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,12 NNruu,1223 NNNurruu,11 NmmNuru,111 mNmur收收敛敛而而级级数数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1时时当当 , 1 取取, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. .直接从级数本直接从级数本身的构成身的构成即通项来判定其即通项来判定其敛散性敛散性 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发发散散级级数数例例 nn,112收收敛敛级级数

27、数 nn)1( 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn!1)!1(11nnuunn )2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n),( n.

28、10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收收敛敛级级数数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn例例5 126sin3nnnn 解解由于由于nnnuu1lim 不存在，检比法失效不存在，检比法失效 而而nnnnn36sin32 对对 13nnn由检比法得由检比法得 13nnn收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知 126sin3nnnn 收敛收敛例例6nnnxn)( !1 )0( x解解nnnnnnnxnnxnuu)(

29、 !)1()!1(limlim11 exnxnn )11(lim由检比法得由检比法得 ex 级数收敛级数收敛ex 级数发散级数发散ex 检比法失效检比法失效，但，但nne)11( 即后项大于前项即后项大于前项nnuu 1故级数发散故级数发散7 7. .根根值值审审敛敛法法 ( (柯柯西西判判别别法法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim )( 为为数数或或 , , 则则1 时时级级数数收收敛敛; ; 1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. . 证明证明1)1( 取取 100则则10 r由由 nnnulim知知时时，使使当当NnN runn 0 )

30、(Nnrunn 由由 1Nnnr收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得 1Nnnu收敛收敛 1nnu收敛收敛1)2( 由由 nnnulim知知时时，使使当当NnN 1 nnu1 nu故故nu不趋于不趋于 0 1nnu发散发散1)3( 不能判定不能判定如如 12111nnnn与与都有都有1lim nnnu但但 121nn收敛收敛 11nn发散发散,1 ,1 nnn设设级级数数例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或

31、)0( nu其中其中莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,则则级级数数收收敛敛, ,且且其其和和1us , ,其其余余项项nr的的绝绝对对值值1 nnur. .证明证明, 01 nnuu)()()(21243212nnnuuuuuus ,2是单调增加的是单调增加的数列数列nsnnnnuuuuuus212223212)()( 又1u ,2是是有有界界的的数数列列ns.lim12ussnn , 0lim12 nnu)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1us

32、s 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余余项项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.例例 7 7 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和

33、负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收收敛敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收敛敛. 上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛; ; 若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. . 例例 8 8 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性. .

34、解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理级数的敛散性可得到如下定理定理定理设有级数设有级数 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu 则则1 1nnu绝对收敛绝对收敛1 1nnu发散发散1 可能绝对收敛，可能条件收可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散敛，也可能发散如如 121)1(nnn 11)1(nnn 11)1(nn注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出

35、 1|inu 1inu发散发散如如 11)1(nnn 11in发散发散但但 收敛收敛 11)1(nnn如果如果 发散是由检比法和检根法而审定发散是由检比法和检根法而审定 1|inu则则 必定发散必定发散 1inu这是因为检比法与检根法这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于审定级数发散的原因是通项不趋向于0由由00|nnuu四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛

36、敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设正项级数设正项级数 1nnu收敛收敛, , 能否推得能否推得 12nnu收敛收敛? ?反之是否成立反之是否成立? ? 思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛, nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.练练 习习 题题一一、填填空空题题: : 1 1、 p级级数数当当_ _ _ _ _ _ _ _时时收收敛敛, ,当当_ _ _ _ _ _ _

37、_时时发发散散； 2 2、若若正正项项级级数数 1nnu的的后后项项与与前前项项之之比比值值的的根根 等等于于, , 则则当当_ _ _ _ _ _ _ _ _时时级级数数收收敛敛；_ _ _ _ _ _ _ _ _时时级级数数发发散散； _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _时时级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散 . . 二二、用用比比较较审审敛敛法法或或极极限限审审敛敛法法判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛 性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . . 三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列

38、级数的收敛性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性用根值审敛法判别下列级数的收敛性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六六、 判判别别下下列列级级数数是是否否收收敛敛? ?如如果果是是收收敛敛的的, ,是是绝绝对对收收敛敛还还是是条条件件收收敛敛? ? 1 1、 1113) 1(nnnn； 2 2

39、、 5ln14ln13ln12ln1； 3 3、 2ln) 1(nnnn. . 七七、若若nnun2lim 存存在在, ,证证明明: :级级数数 1nnu收收敛敛 . . 八八、证证明明: :0!lim3 nnnanb. . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、发散；、发散； 2 2、发散、发散. .三、三、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛、收敛. .四、四、1 1、收敛；、收敛； 2 2、收敛、收敛. .五、五、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、 ., 1;, 10;, 1发散

40、发散发散发散收敛收敛aaa六、六、1 1、绝对收敛；、绝对收敛； 2 2、条件收敛；、条件收敛； 3 3、条件收敛、条件收敛. .1 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). .收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:习题课习题课 常数项级数审敛常数项级数审敛一、主要内容一、主要内容常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼

41、茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式( (3 3) ) 极极限限审审敛敛法法0, 0nnvu设设nnvu 与与若若是同阶无穷小是同阶无穷小同敛散同敛散与与则则 nnvu特别特别 nnvu 若若（等价无穷小）（等价无穷小）同敛散同敛散与与则则 nnvu( (4 4) )

42、 比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )(5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibniz定理定理绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序 nu0nu nu发散发散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收敛收敛 nv收敛收敛 nu发散发散 nu收敛收敛 nv发散发散 nu0nuN

43、发散发散 nuY敛敛 |nuY绝绝对对收收敛敛 nu 收敛收敛 nuN用检比用检比 法法用比较法用比较法用用L准则或考察部分和准则或考察部分和N收敛 nuNY条件收敛条件收敛例例1求极限求极限nnnn 2!3lim 解解考察正项级数考察正项级数 nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由检比法由检比法 nnn 2!3收敛收敛由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必要条件得02!3lim nnnn二、典型例题二、典型例题例例2 设设 0lim anann试证试证 na发散发散证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知N 时当

44、Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 na发散发散例例3 若若 nu nv都发散都发散 则则A )(nnvu必发散必发散B nnvu必发散必发散C |nnvu必发散必发散D以上说法都不对以上说法都不对例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级

45、数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原原级级数数为为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？如如果果收收敛敛，

46、是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发发散散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上单单增增在在 ,ln1单减单减即即xx ,1ln1时时单单减减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错

47、级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 na nc都收敛都收敛 且且nnncba 例例5 设设 试证试证 nb收敛收敛证证由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收敛都收敛 故正项级数故正项级数 )(nnac收敛收敛再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数 )(nnab收敛收敛而而nnnnaabb )(即即 nb可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和 )(nnab na故故 nb收敛收敛例例6 设设 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 若若 nb收敛收敛 则则 na也收敛也收敛证证由题设知由题设知1111bababannnn nnbbaa1

48、1 而而 nb收敛收敛由比较法得由比较法得 na收敛收敛Cauchy积分审敛法积分审敛法设设 0)( xfy单调减少单调减少)(nfun 则则 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例7 证证由由 f(x) 单调减少知单调减少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例8 设设 nu是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列试证明试证明 )1(11 nnnuu收敛收敛证证记记11 nnnuuv则则011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而

49、正项级数而正项级数 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu单调增加且有界单调增加且有界故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收敛收敛进而进而 111)(1nnnuuu收敛收敛由比较法得由比较法得 1nnv收敛收敛设正数数列设正数数列 na单调减少，级数单调减少，级数 11)1(nnna发散发散考察考察nnna)11(1 的敛散性的敛散性证证 记记nnnau)11( 由由 na单调减少单调减少0 na故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A若若0 A由由L

50、eibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数 11)1(nnna收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由检根法知由检根法知 nnna)11(1 收敛收敛 例例9 已知已知 nunnln1lnlim0 nu证明证明收敛收敛 nu1 发发散散nu1 的敛散性不定的敛散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知对对1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 证证例例10qnnu1 而而 qn1收敛收敛故由比较法知故由比较法知 nu收敛收敛 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 当,有有1ln1ln rnun

51、nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1发散发散故由比较法知故由比较法知 nu发散发散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收收敛敛时时 nup1发发散散时时 nup1 讨论讨论 1npnna的敛散性的敛散性), 0(常数常数ap 解解对级数对级数 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收敛收敛 1npnna绝对收敛绝对收敛1| a 1npnna发散发散 1npnna发散发散1| a分情况说明分情况说明例例11 1 a级数成为级数成为 11npn1 p收敛收敛1 p发散发散1

52、 a级数成为级数成为 1)1(npnn1 p绝对收敛绝对收敛1 p条件收敛条件收敛例例12 对对 ,的值，研究一般项为的值，研究一般项为 nnnVn 2sin的级数的敛散性的级数的敛散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于当由于当 n 充分大时，充分大时， )sin(n 定号定号故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数整整数数当当 为何值为何值无论无论 总有总有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV级数发散级数发散整整数数当当 nVnnsin)1( 时当 n nsin非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审

53、敛法知 1nnV收敛收敛但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn发散发散故由比较法的极限形式故由比较法的极限形式时当0 1sinnn 发散发散 1nnV条件收敛条件收敛0 0 nV级数显然收敛级数显然收敛 正项级数正项级数 由级数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 nu0nu但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有的却发散，的却发散，0nu因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实

54、质，使用起来也更有效更能说明问题的实质，使用起来也更有效的的阶阶问题的实质是级数收敛与否取决于问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛关于常数项级数审敛nnnuu1lim 和和nnnu lim作为作为nu变化快慢变化快慢得到检比法和检根法，检比法得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失失效效”的情况。的情况。 收收敛敛收收敛敛nnuu |这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定级数的

55、敛散性判定注注比较法、比较法的极限形式、检比法、比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对检根法、积分审敛法，只能对正项级数正项级数方方可使用可使用的一种估计的一种估计检比法、检根法只是检比法、检根法只是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件L准则也是准则也是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件通项中含通项中含 !,nnann等常用等常用检比检比法法通项中含通项中含 有以有以 n 为指数幂的因子时为指数幂的因子时 常用常用检根检根法法使用比较法的极限形式时，关键在于找出与使用比较法的极限形式时，关键在于找出与nu同阶或同阶或 等价的无穷小等价的无穷小如如)sin(nn

56、61sinlim3 xxxn记记nnun sin 31nvn 则则 同同敛敛散散与与nnvu当所讨论的级数中含有当所讨论的级数中含有参数参数时，一般都要时，一般都要对参数的取值加以讨论对参数的取值加以讨论1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是定义在是定义在RI 上的函上的函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn 称为定义在区间称为定义在区间I上的上的( (函数项函数项) )无穷级数无穷级数. . ,120 xxxnn例例如如级级数数幂幂 级级 数数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如如果果

57、Ix 0, ,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛, , 则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, , 函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, , 所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. . 3.3.和函数和函数: :在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, , 称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. . )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?)函数项级数的部分和函数项级数的部分和),(xsn余项余项)()(limxsx

58、snn )()()(xsxsxrnn 0)(lim xrnn注意注意(x在收敛域上在收敛域上)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.例例 1 1 求级数求级数nnnxn)11()1(1 的收敛域的收敛域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 111)1( x当当, 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散., 1|1|)3( x当当, 20 xx或或,0时时当当 x 1)1

59、(nnn级级数数,2时时当当 x 11nn级数级数)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为收敛收敛;发散发散;二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其中其中na为为幂级数系数幂级数系数. 2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例例如如级级数数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域定定理理1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果级数如果级数 0nnnxa在在)0(0

60、0 xxx处收敛处收敛, ,则则它在满足不等式它在满足不等式0 xx 的一切的一切x处绝对收敛处绝对收敛; ;如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明,)1(00收敛收敛 nnnxa, 0lim0 nnnxa,M ), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,10时时当当 xx,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有