哈尔滨工业大学材料力学精品课程第4章

1、第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-1 材料的力学性能与基本实验材料的力学性能与基本实验 材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，称为称为材料的力学性能。材料的力学性能。 材料不同，其力学性能也不同。材料不同，其力学性能也不同。 同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环境的不同，其力学性能也不相同。境的不同，其力学性能也不相同。 本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的力学性能。力学性能。 最基本的实验是材料

2、的轴向拉伸和压缩实验。最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-1 材料的力学性能与基本实验材料的力学性能与基本实验 试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。例如，国家标准例如，国家标准 GB6397 1986金属拉伸试验试样金属拉伸试验试样中规中规定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。 拉伸试件拉伸试件压缩试件压缩试件短圆

3、柱试件短圆柱试件第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1 1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量与试件的伸长量 l 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F - l曲线，称为拉伸图。曲线，称为拉伸图。 除去尺寸因素，除去尺寸因素，变为变为 应力应力-应应变曲线

4、。变曲线。即即 s-e 曲线。曲线。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1 1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 分析曲线，有几个特征点，把曲线分成分析曲线，有几个特征点，把曲线分成 四四 部分，说明低碳部分，说明低碳钢拉伸时，变形分为钢拉伸时，变形分为 四个阶段。四个阶段。 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量与试件的伸长量

5、 l 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F - l曲线，称为拉伸图。曲线，称为拉伸图。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线（曲线ob段段 ）在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称卸载卸载）为零，变）为零，变形会消失。形会消失。b 点对应的应力称材料的点对应的应力称材料的弹性极限。弹性极限。即，材料处即，材料处于弹性变形阶段时所能承受的最大应力，用于弹

6、性变形阶段时所能承受的最大应力，用 表示，即表示，即esAFees第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线（曲线ob段段 ）该阶段，曲线有很大一段是直线段（该阶段，曲线有很大一段是直线段（oa直线段），说明应直线段），说明应力应变成正比关系力应变成正比关系 ，即，即 E 为比例常数，是材料的为比例常数，是材料的弹性弹性模量模量，它反映了材料抵抗弹性，它反映了材料抵抗弹性变形的能力。变形的能力。esE胡克定律胡克定律第第4章章 材料的

7、力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线（曲线ob段段 ）a 点对应的应力称材料的点对应的应力称材料的比例极限。比例极限。即，材料应力应变处于即，材料应力应变处于正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用 表示，即表示，即psAFpps第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第二阶段第二阶段屈服（流动）

8、阶段屈服（流动）阶段 （曲线（曲线bc段段 ）外力在小范围内波动，但变形显著增加外力在小范围内波动，但变形显著增加。即，材料暂时失去即，材料暂时失去了抵抗变形的能力。了抵抗变形的能力。在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分变形被永久地保留下来，称此变形为变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。塑性变形。试件表面出试件表面出现现滑移线滑移线（与试件轴线成（与试件轴线成45度角度）。度角度）。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低

9、碳钢的拉伸试验 第二阶段第二阶段屈服（流动）阶段屈服（流动）阶段 （曲线（曲线bc段段 ）曲线最低点所对应的应力，称为材料的曲线最低点所对应的应力，称为材料的屈服点屈服点，用，用 表示，表示，即即ssAFsss第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第三阶段第三阶段强化阶段强化阶段 （曲线（曲线ce段段 ）过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的强度

10、极限强度极限，用用 表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承受的最大应力，即受的最大应力，即bsAFbbs第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第四阶段第四阶段颈缩破坏阶段颈缩破坏阶段 （曲线（曲线 ef 段段 ）过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为颈缩颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件

11、所承受的载荷也迅速颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速降低，最后在颈缩处试件被拉断。降低，最后在颈缩处试件被拉断。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 延伸率延伸率其中，其中， 是试件试验前的横截面面积是试件试验前的横截面面积; ; 是颈缩处的最小是颈缩处的最小横截面面积。横截面面积。其中，其中， 是试件包括塑性变形的长度，是试件包括塑性变形的长度， 是试件试验前的长度。是试件试验前的长度。%100001-lll1l0l断面收缩率断面收缩率%100010-AAA

12、0A1A第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 冷作硬化现象冷作硬化现象 经过弹性阶段以后，若从某点经过弹性阶段以后，若从某点（例如（例如d点）开始卸载，则力与变形间点）开始卸载，则力与变形间的关系将沿与弹性阶段直线大体平行的关系将沿与弹性阶段直线大体平行的的 dd 线回到线回到 d 点。点。 若卸载后从若卸载后从d 点开始继续加载，曲线将首先大体沿点开始继续加载，曲线将首先大体沿dd 线回至线回至d点，然后仍沿未经卸载的曲线点，然后仍沿未经卸载的曲线def 变化，直至变化，直至

13、 f 点发点发生断裂为止。生断裂为止。 可见，在再次加载过程中，直到可见，在再次加载过程中，直到 d 点以前，试件变形点以前，试件变形是弹性的，过是弹性的，过 d 点后才开始出现塑性变形。点后才开始出现塑性变形。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 冷作硬化现象冷作硬化现象 比较这两个图形中的曲线，比较这两个图形中的曲线，说明在第二次加载时，材说明在第二次加载时，材料的比例极限得到提高（料的比例极限得到提高（ ），而塑性变形和伸长），而塑性变形和伸长率有所降低。率有所降低。

14、在常温下，材料经加在常温下，材料经加载到产生塑性变形后卸载，载到产生塑性变形后卸载，由于材料经历过强化，从由于材料经历过强化，从而使其比例极限提高、塑而使其比例极限提高、塑性降低的现象称为性降低的现象称为冷作硬冷作硬化。化。 ppss第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （2）铸铁的拉伸试验）铸铁的拉伸试验 铸铁拉伸时，没有屈服阶段，也没有铸铁拉伸时，没有屈服阶段，也没有颈缩现象。颈缩现象。 铸铁的应力应变曲线没有明显的直线段，通常在应力铸铁的应力应变曲线没有明显的直线段，通常在应力较小时，取较小时，取 图上的弦线近似

15、地表示铸铁拉伸时的应图上的弦线近似地表示铸铁拉伸时的应力应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量力应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量 E。 es- 反映强度的力学性能只能测得强度极限，而且拉伸反映强度的力学性能只能测得强度极限，而且拉伸时强度极限时强度极限 的值较低。的值较低。 bs 由于铸铁的抗拉强度较差，一般不宜选做承受拉力的由于铸铁的抗拉强度较差，一般不宜选做承受拉力的构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （3）低碳钢

16、的压缩试验）低碳钢的压缩试验 低碳钢试件压缩时的应力应变曲线低碳钢试件压缩时的应力应变曲线 。 与与拉伸曲线相比，屈服阶段以前曲线拉伸曲线相比，屈服阶段以前曲线基本重合，即低碳钢压缩时，弹性模量基本重合，即低碳钢压缩时，弹性模量 E、屈服点屈服点 均与拉伸时大致相同。均与拉伸时大致相同。 ss 过了屈服阶段，继续压缩时，试件的长度愈来愈短，过了屈服阶段，继续压缩时，试件的长度愈来愈短，而直径不断增大，由于受试验机上下压板摩擦力的影响，而直径不断增大，由于受试验机上下压板摩擦力的影响，试件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。试件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。 bs 压力继续增加，直径愈

17、益增大，最后被压成薄饼，而不压力继续增加，直径愈益增大，最后被压成薄饼，而不发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限 。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验 （4）铸铁的压缩试验）铸铁的压缩试验 与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极限很高，例如，限很高，例如，HT150 压缩时的强度极压缩时的强度极限约为拉抻时强度极限的限约为拉抻时强度极限的四四倍。倍。 抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点，抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特

18、点，也是脆性材料的共同特点。也是脆性材料的共同特点。 铸铁试件受压缩发生断裂时，断裂面与轴线大致成铸铁试件受压缩发生断裂时，断裂面与轴线大致成45的的倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-3 没有明显屈服阶段的塑性材料没有明显屈服阶段的塑性材料 工程中，有一类塑性材料，其工程中，有一类塑性材料，其应力应变曲线中没有明显的屈服阶应力应变曲线中没有明显的屈服阶段。例如，中碳钢、合金钢等。段。例如，中碳钢、合金钢等。 对于没有明显屈服阶段的塑性对于没有明显屈服阶段的塑

19、性材料，通常人为地规定，把产生材料，通常人为地规定，把产生0.2%塑性应变时所对应的应力称为塑性应变时所对应的应力称为材料的材料的屈服强度屈服强度，并用，并用 表示表示 。2 . 0s第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即 实验表明，在比例极限内，横向（与应力实验表明，在比例极限内，横向（与应力 垂垂直的方向）

20、线应变（直的方向）线应变（ 或或 ）与纵向应变）与纵向应变 之比为之比为一常量。用一常量。用 v 表示这一比值的绝对值，则表示这一比值的绝对值，则xsxxEes（1）简单胡克定律）简单胡克定律 简单拉、压胡克定律简单拉、压胡克定律yezexexyvee-xzxyvveeee或-xzxyEEvvssee第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，由材料的拉伸试验可知，在材料的比例极限范围内加载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即受单向应力作用的一点

21、，其正应力与线应变成正比，即 实验表明，在比例极限内，横向（与应力实验表明，在比例极限内，横向（与应力 垂垂直的方向）线应变（直的方向）线应变（ 或或 ）与纵向应变）与纵向应变 之比为之比为一常量。用一常量。用 v 表示这一比值的绝对值，则表示这一比值的绝对值，则xsxxEes（1）简单胡克定律）简单胡克定律 简单拉、压胡克定律简单拉、压胡克定律yezexexyvee-xzxyvveeee或-xzxyEEvvsseev 称为称为横向变形系数横向变形系数或或泊泊松比松比，是材料常数，其值是材料常数，其值可通过实验进行测定。可通过实验进行测定。 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关

22、系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由试验（扭转试验）还可指出，在材料的比例极限范围由试验（扭转试验）还可指出，在材料的比例极限范围内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即 G 称为材料的称为材料的切变模量切变模量，其值与材料有关，其值与材料有关，可由实验测得。可由实验测得。xyxyG剪切胡克定律剪切胡克定律（1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 空间应力状态下，对于各向同性材料，在线弹性范

23、围内，坐空间应力状态下，对于各向同性材料，在线弹性范围内，坐标轴方向的正应力只引起坐标轴方向的线应变，而不引起切应变；标轴方向的正应力只引起坐标轴方向的线应变，而不引起切应变；同样，各坐标面内的切应力只引起该坐标面内的切应变，而不引同样，各坐标面内的切应力只引起该坐标面内的切应变，而不引起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理 ，即，即（2）广义胡克定律）广义胡克定律 （1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定

24、律 zyxzyxxxxxEEEEsssssseeee- 1 yxzzxzyyEEsssessse-11同理得同理得叠加得叠加得（1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定律 -GGGEEEzxyzxyzxyzxyyxzzxzyyzyxxvvvsssesssessse)()()(111GxyxyGGzxyzzxyz据剪切胡克定律据剪切胡克定律 同理同理 综上所综上所述，对述，对于原三于原三向应力向应力状态，状态， 有 （1）简

25、单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定律 -GGGEEEzxyzxyzxyzxyyxzzxzyyzyxxvvvsssesssessse)()()(111 若单元体的三个主应力已知时，其广义胡克定律可写成-)()()(213313223211111ssssssssseeevvvEEE （1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（1）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 变形

26、分为两类：体积变形与形状变形。单元体如果原是立方变形分为两类：体积变形与形状变形。单元体如果原是立方体，变形后仍为立方体，或单元体原是球体，变形后仍为球体。体，变形后仍为立方体，或单元体原是球体，变形后仍为球体。这种变形只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为这种变形只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为纯体积变纯体积变形形。如果原是立方体的单元体，变形后为体积相等的长方体，或。如果原是立方体的单元体，变形后为体积相等的长方体，或原是球形单元体，变形后为体积相等的椭球体。这种变形只是形原是球形单元体，变形后为体积相等的椭球体。这种变形只是形状发生了变化，而体积没有变化，称为状发生了变化，而体

27、积没有变化，称为纯形状变形纯形状变形 。 为方便起见，在主轴坐标系中进行考察。取一为方便起见，在主轴坐标系中进行考察。取一主单元立方体，变形前各棱边的长度均为主单元立方体，变形前各棱边的长度均为da ，则变，则变形前体积形前体积30ddaV 变形后体积变形后体积aaaVd1d1d1d321eee第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能30ddaV 代入广义胡克定律，得代入广义胡克定律，得)(31321mssss体变应变体变应变aaaVd1d1d1d321eee32133321300 )(d)(d)1)(1)(1 ()(d dddeeeeee-aa

28、aVVVKms体变应变胡克定律体变应变胡克定律其中其中平均应力平均应力)21 (3-EK体变应变体变应变 弹性模量弹性模量（忽略高阶微量）（忽略高阶微量）（1）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能体变应变体变应变 各主应力各主应力s1、s2、s3偏离平均应力偏离平均应力sm的的量用量用s1、s2、s3表示，即即s1=s1-sm，s2=s2-sm，s3=s3-sm。形状变形形状变形是由这些是由这些应力偏离量应力偏离量引起的。引起的。 主单元体在主应力主单元体在主应力s1、s2、s3作用下，作用下，不仅体积发

29、生了变化，而且形状也发生了不仅体积发生了变化，而且形状也发生了变化，由原来的立方体变为长方体。变化，由原来的立方体变为长方体。 体变应变量是由体变应变量是由单元体各面上单元体各面上平均应平均应力力引起的。引起的。 形状变形形状变形（1）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 在弹性体变形过程的同时弹性体变形过程的同时, ,外力要做功，并且转变为能量外力要做功，并且转变为能量储存于该弹性体中。这种能量储存于该弹性体中。这种能量称为称为弹性变形势能弹性变形势能，简称，简称变形变形能能。

30、当逐渐卸去外力，弹性体。当逐渐卸去外力，弹性体又将所储存的变形能逐渐释放又将所储存的变形能逐渐释放而做功，使变形逐渐消失。若而做功，使变形逐渐消失。若外力增加十分缓慢时，可忽略外力增加十分缓慢时，可忽略弹性体内的动能及其他能量损弹性体内的动能及其他能量损失，可以认为外力功失，可以认为外力功W全部转全部转变为变形能变为变形能 ，即，即 轴向拉伸直杆，当拉力从零开轴向拉伸直杆，当拉力从零开始缓慢地增加到最终值始缓慢地增加到最终值 F 时，则时，则杆的变形亦同时从零开始慢慢地增杆的变形亦同时从零开始慢慢地增加到最终值加到最终值 l 。在比例极限内，。在比例极限内，外力外力F与变形量与变形量 l 之间

31、成正比关之间成正比关系，系，Fl 图呈一过原点的斜直线图呈一过原点的斜直线 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能eEWE e第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 在逐渐加力的过程中，当拉力为在逐渐加力的过程中，当拉力为F1时，杆的变形量为时，杆的变形量为l1，假如此时拉力再，假如此时拉力再增加一个增加一个 dF1，那么杆的变形将含有一增，那么杆的变形将含有一增量量 d(l1)。于是已作用于杆件上的拉力。于是已作用于杆件上的拉力F1因位移因位移 d(l1) 而做功而做功 dW，就等于图中画就等于图中画阴影线部分

32、的微分面积。阴影线部分的微分面积。 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能dW = F1d (l1) 把最终的拉力把最终的拉力 F 和最终的变形量和最终的变形量 l分别视为一系列分别视为一系列 dF1和和 d(l1) 的积累，这的积累，这样，拉力样，拉力 F 所作的总功所作的总功 W 便等于这些微便等于这些微分面积总和，即图中直线下三角形的面分面积总和，即图中直线下三角形的面积。于是总功为积。于是总功为lFW21整个杆件的变形能整个杆件的变形能lFWE21e第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 储存在单元体内的

33、变形能一般亦称储存在单元体内的变形能一般亦称应变能应变能。单位体积中积蓄的应变能称为。单位体积中积蓄的应变能称为应变比能应变比能或或应变能密度应变能密度。 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能 该图表示单元体受单向应力该图表示单元体受单向应力sx作用，作用，右图给出了相应的变形。右图给出了相应的变形。 单元体内的单元体内的应变能密度应变能密度VxzyWExxxxd21 )d)(dd(21 ddesese 将从杆件拉伸得到的结论应用于该将从杆件拉伸得到的结论应用于该单元体中，那么，单元体中，那么， x 方向的力方向的力sxdydz 在在 x 方向位移方向位移 exdx上所做的功，即为储存

34、在上所做的功，即为储存在该单元体内的应变能，即该单元体内的应变能，即xxees21第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 对于纯切应力状态，仿照上述分析，作用在单元体的上表对于纯切应力状态，仿照上述分析，作用在单元体的上表面面 x 方向的力方向的力 ，在，在 x 方向位移方向位移 上所做的功，即为上所做的功，即为储存在单元体内的应变能，即储存在单元体内的应变能，即 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能单元体内的单元体内的应变能密度应变能密度VVyzxWExyxyxyyxxyyxd21 d21)d)(dd(21 ddxyxye21 纯切应力状态下的应变能纯切应力状态下的应变能zxyxddyxyd第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 在三向应力在三向应力s1、s2、s3作用下，作用下，变形固体内一点的应变能只与最终的变形固体内一点的应变能只与最终的力学状态（应力、应