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文档简介
1、第5章 三角函数521 三角函数的概念教材引入&任意角的三角函数定义【定义】根据研究函数的经验,我们选择在坐标系上研究这个 问题如图,以单位圆的圆心为原点, 以射线OA为 轴的非负半轴,1,0,P 射线OA从 轴非负半轴开始,绕点O按逆时针方向 旋转角,终止位置为OP【探究】当 时,点P的坐标是什么?当 或 时,点P的坐标又是什么?给 定一个角,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗?教材引入&任意角的三角函数定义【分析】利用勾股定理可以发现,当 时,点P的坐标是 ;当 或 时,点P的坐标分别是 和 ,它们都是唯一确定的如图【结论】一般地,任意给定一个角R,它的终边O
2、P与单位圆的交点P的坐标,无 论是横坐标 还是纵坐标 ,都是唯一确定的所以,点P的横坐标 和 纵坐标 都是角的函数教材引入&任意角的三角函数定义【定义】设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点P(1)把点P的纵坐标 叫做的正弦函数,记作sin,即 =sin(2)把点P的横坐标 叫做的余弦函数,记作cos,即 =cos(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切,记作tan,即 =tan 可以看出,当 时,的终边始终在y轴上,这时 ,即此时tan无意义除此之外,正切tan与实数是一一对应的,所以它们之间也是函数关系,我们称 为正切函数=tan 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数
3、统称为三角函数教材引入&任意角的三角函数定义【总结】三角函数可以看成是以实数为弧度为自变量,以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数(1)正弦函数:(2)余弦函数:(3)正切函数:角实数角的弧度三角函数值【注意】(1)在任意角的三角函数定义中,是一个使函数有意义的实数(2) 是自变量,离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的(3)三角函数是一个实数,这个实数的大小和点P在终边上的 位置无关,终边确定了,三角函数就确定了【1】求 的正弦、余弦和正切值【解】在坐标系中作出AOB= ,易知AOB的 终边与单位圆的 交点坐标为 ,所以常见角的三角函数值无无牢记常见的三角函数值,做
4、题事半功倍!例例2.设设是一个任意角,它的终边上任意一点是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点(不与原点O重合)的坐标为重合)的坐标为(x,y),点),点P与原点的距离为与原点的距离为r,求证:,求证:xyrxry=tan,cos,sinxA(1,0)yOP0(x,y)P(x,y)M MM M0 0三角函数的定义域和函数值的符号11- ,11- ,【1】求证:角为第三象限角的充要条件为【证明】首先证明充分性,即如果都成立,那么为第三象限角因为sin0成立,所以角的终边位于第三或者第四象限,也可能和Y轴的负半轴重合;又因为cos0成立,所以角的终边位于第一或者第三象限,综合可知为第三象限角
5、 再证明必要性,因为是第三象限角,根据定义有sin0, cos0,所以必要性成立,即充要性成立诱导公式一 由三角函数的定义,我们知道:终边相同的角的对应三角函数相同公式一:其中【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系?给我们什么启发?【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系: 即给定一个角,它的三角函数值只要存在,就是唯一的; 反过来,给定一个三角函数值,却有无数个角与之对因【启发】做题时,把角同化为02即0360终边相同的角,简化计算【1】已知角、的顶点在原点,始边在 轴的正半轴上,终边关于 轴对称, 若角的终边上有一点的坐标为 ,则tan的值是多少?【解】易知sin= ,cos= 因为角和角的终边关于y轴对称,则它们的正弦值相等,即sin=sin同时角和角的余弦值相反,即cos=-cos 所以sin= ,cos= ,所以tan=【2】填表【3】选择适当的条件填空sin0 sin0 cos0 cos0
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