全等三角形压轴题及分类解析0001

1、8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1 . (1)如图7,点。是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角 形OA所口等边三角形 OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC求/ AEB的大小；(2)如图8, OAB定不动，保持 OCD勺形状和大小不变，将AOC璘着点O旋转( OAEf口 OCD能重叠)，求/ AEB的大小.2 .已知：点C为线段AB铲导金片加艮CBN都是等边三角形，且AN BMfi交于 O. ' EE 求证：AN=BMOB若AN MCffi交于点 面 BM NC交于点D求证：P咽ABo潭中考的等边结论；到图b, (1)同类变式：如图a, 4AB

2、C和4CEF是两个大小不等角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的(2)将图a中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得 A中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；(3)若将图a中的4ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由.3 .如图9,若 ABC和 ADE为等边三角形，M , N分别为EB,CD的中点，易证：CD BE, 4AMN是等边三角形.(1)当把 ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请说明理由；(2)当 ADE绕A点旋转到

3、图11的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.BAC同类变图所和式：已知，如 示，在 ABC ADE 中，AB AC 、图9图10AD AEDAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1)求证： BE CD ； AM AN ；(2)在图的基础上，将 4ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立4.如图，四边形 ABCB口四边形AEFG匀为正方形，连接(1)证明： ABG 04ADE )(2)试猜想 BHD勺度JMjNF(3)将图中正方

4、形 ABC晚点A逆日A十旋转(DO0 vBAEv18E° ),设ABE勺面积为4ADG勺面积为S2,判断6与S2的大小关系，并给予证明.图5.已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB边上的点D的延长线上取点 E ,使DE DB ,连接AE, CD .(1)求证：AGEDAC；F E D 、/BC,.,父 AC 于点 G ,在 GD(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F ,请你连接AF ,并判砰4AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1 :利用垂直证明角相等1 .如图，4ABC中，/ACB=90°, AC=B

5、C, AE是BC边上的中线，过C作CF，AE ,垂足为F,过B作BD，BC 交CF的延长线于D .求证：(1) AE=CD;(2)若 AC=12 cm,求 BD 的长.2 .(西安中考)如图(1), 已知 ABC中，/BAC=90 AB=AC, AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD，AE于D, CE LAE于E 。图图(2)图试说明：BD=DE+CE.（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD<CE）,其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？写结论，并说明理由。（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变，问BD与DE CE的关系如

6、何？写出结论，可不说明理由。3.直线CD经过 BCA的顶点C, CA=CBE、F分别是直线 CD±两点，且 BEC CFA（1）若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:如图 1,若 BCA 90：,90：1,贝U EFBE AF (填“工“ ”或“ ”号）;如图2,若0 BCA 180：,若使中的结论仍然成立，则与 BCA应满足的关系（2）如图3,若直线CD®过BCA的外部,BCA,请探究ER 与 BEAF三条线段的数量关系，并给予证明.1.已知 BE, CF>AABC 且 BP=AC CQ=AB 定AP与AQ的数量关 位置关系考点2:

7、利用角相等证D明垂直的高， 试确 系和2.如图，在等腰RtAABO,/ACB90。，D为BC的中点,DEL AEB垂足为E,过点B作BF/ZAC交DE的延长线于点F,连接CF.求证：CD=BF(2)求证：AD± CF;连接AF,试判断ACF勺形状.拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三/ ACB=90° , AD是BC边上的中线，过 C作AD的垂线，交 AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=/ BDE(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和。题的瞥范什么区别和联系？ )WA E e的& B3.如图1,已知正万形 ABCD的边CD在正万形 D

8、EFG的边DE上，迎接 AE , GC .(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 .4.如图1, ABC的边BC在直线l上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接 AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关

9、系，请证明你的猜想；(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长-BC"(FP考点1:等腰三角形性质的应用 (1FD 与 AC线于点Q,连结AP,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关 系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 1 .如图，ABC 中，AB AC , BAC 90 , D 是 BC 中点, 交于 F .求证：BE AF , AE CF .2 .两个全等的含301，601角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断EMC的形状，

10、并说明理由.压轴题拓展：(三线合一性质的应用) 已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D为AB边的中 点，EDF 90 , EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB (或它们的延长线)于 E、F.当时绕点旋转到DE 至于训(如图1),易证* SCEF 1SABC .当EDF绕D点旋 转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立 ？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF , SCEF , S ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3 .已知：如图， AB5, / AB(=45° , C

11、DLAB于 D, BE平分/ ABC 且 B已AC于 E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点 G(1) BF=AC(2) CE=- BF(3) CE 2与BC的大小关系如何。考点2:等腰直角三角形(45度的联想)1 .如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A, B重合)，另一条直角边与/ CBM 的平分线BF相交于点F.(1)如图141,当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE, EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系

12、是 ;请证明你的上述两猜想. 如图142,当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2 .在 RtAABC中，AO BC / AC氏 90° , D是 AC的中点，DGL AC交 AB于点 G.(1)如图1, E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FH, FC,交直线AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点 F在射线DG上，(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判

13、断你在 (1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论，不必工同类变式：(期末考试原题哦)三角尺的一条直角边经过点G60o角的顶点E在ECH：ABC为等边三卷形M是BC延长线上一点，直角斜边与/ ACM勺平分或CF交于电上滑动，(点E不与点B、C重合)(1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时1猜想AE与EF满足白掇区关系是5 22连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是 请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E在BC边得任意位置 和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1 .如图：E在线段CD上，EA EB分别平分/ DAB / AEB=90，设 AD

14、= x,BC= y ,且 x, y满足 x y2 6x 8y 25 0(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和BC还 系？并验证你的结论；时，A E有什么关(3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由 2 .如图，OP是/ MON勺平分线，请你利用该图形画一对巴一OpEW帖勺全等 三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：AB(1)如图，在 ABE, / AC喝直角，/ B=60° , AD CE分别是/ BAC / BCA勺平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,B请证明；若

15、不成立：请说明理由。M3.(北京市电考模拟题)如图，在四边形O1AE (AB AD),贝2图中DPCAAC等于多少？N图作CEAC平分图并且(2)如图，在 AB5,如果/ AC坏是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你4.如图，4ABC 中，AD 平分 / BAC DGOCSW 分 BC, DEL ABDF±AC于 F.(1)说明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a, AC巾，求AE、五、中点问题1 .在4ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于AC的平行线E,BE 的BG于点G。DE GF ,并交AB于点E .连结EG .(1)求证：BG CF ;（2）请猜想BE CF

16、与EF的大小关系,并加以证明2 .如右下图，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求证：AB 2DE .3 .已知 ABC中，AB AC, BD为AB的延长线，且BD AB , CE为 ABC的AB边上的中线. 求 证CD 2CE （提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 .连接DE , M、N分别是BC、 DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE

17、的数 量关系是；将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.1.判断与说理（1）如图 111, 4ADE中，AE=ADS/ AED4 ADE / EAD=90 , EG DB分另U平分/ AED /ADE交AD AE于点C B,连接BC.请你判断AR AC是否相等，并说明理由；（2） 4ADE的位置保持不变，将 ABC绕点A逆时针旋转至图11 2的位置，AD BE相交2.某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两|AAj个命题：/沙W-1<g形ABC中，M必狐ri AG ABtBMjrCNjF点 O,若/ BON=60

18、。, 则 BM= CN.DE如图1图211由E方形ABC前，M N分别是C 若/ BON= 90°，贝U BM = CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比.的思 又提出了如下的命题：. .如图12-3,在正五边形 ABCD叶，M N分另ICD DE上的点，BM与CN相交于点。，若/ BON= 108° ,D1AD上的点，BM与CN相交于点 O想4 Ty / k 是 4A仁则于O,请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由.CBM = CN.（友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等） （1）请你从、三个命题中选择一个BC3/ %说明理由国图（2）请你继续完成卜面的探索：

19、如图12-4,在正n边形（n26）中，M BM与CN相交于点O,问当/ BONN?于多少度时, 要求证明）如图12-5,在正五边形 ABCDE, MN分别是CD DE上的点，S结论BM= CN成立？（不此N分别是DE AE上的点，-图BM与CN相交于点O,当/ BON= 108°时，请问结论 BM = CN是否还成立？若成立，请给 予证明；若不成立，请说明理由.解：（1）我选 （仅填写、中的一个）理由如下：（2）3.如图9所示，4ABC是等腰直角三角形，/AC及90° , AD是BC边上的中线，过C作AD 的垂线，交AB于点E,交AD于点F。请你猜想/ ADCffi/ BD

20、E关系，并证明你的猜想。4.如下几个图形是五角星和它的变形.AABA+/ B+/ C+D+号二五角星形状、潇E=点A向下移到BE上时遒口图）五个角的CCD有无变化假明你D结论的正确性；（2(3(即/DCAD它 B+/ C+/ D+/ E)（3）把图中的点 C向上移动到BD上时（如图），五个角的和（即/ CAD廿B+/ ACE+Z D+/ E）有无变化？说明你的结论的正确性.图（3）（4）如图，在 ABC中，CD BE分别是AR AC边上的中线，延长 CD到F,使FD=CD 延长BE到G,使EG=BE那么AF与AG是否相等？ F、A、G三点是否在一条直线上？说说你 的理由.AA1A操作实验：/

21、如图，把等腰三角形沿从角平分M折并展开，发区被折痕分成机所以AABT AACID所以以（昨/ C.图（2）BCB C归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相卓根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4）,在4ABC中，AB=AC试说明/ B=/C 遥1由图探究应用：如图（5）, CBLAR垂足为A, D儿AB,垂足为B. E为AB的中点，AB=BC CEL BD C（1） BE与AD是否相等？为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说聘藐/（3） /DBC与/DCB相等吗？试说明理由.AEB 一6 .如图13-1，在边长为5的正万形ABCD中，点

22、E、F分另I是BC > DC超上的点，且AE EF , BE 2.（1）求EC ： CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P （如图13-2）,试判断AE与EP的大小关系，并 说明理由；（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在， 请 给予证明；若不存在，请说明理由.7 .团体购买某 “素质拓展训练营” 门票，票价如表（ a为正罂婺）：团体购票人数Ye上卜一C 51 10 EC 100以上每人门票价因a元因(a 3)元(a 6)元某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50,高一（2

23、）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了 100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。8 .如下图，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC则/ B： / C的值为.9 .如左下图，AB/ CD AD/ZBC OE=OF则图中全等三角形的组数是（）A. 3B. 4C. 5D. 610 .两

24、个全等的含300, 60 0角的三角板 ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD,取BD的中点M连结ME MC试判断EMC的形状，并说明理由.11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，氏 A C下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？请你按照小明的画法，画出图形，说明理由 。利用刻度尺在/ AOB的两边上分别取OOOD连结CD利用刻度尺画出CD的中点E® 画射线OE射线OE即为/ AOB勺角平分线。（2）请你探索只利用你的三角尺（可以 量长度、画直角）画出一个角的平分线的画法。（要求：画出图形；简要说明画法；说明理由。）12. （1）如图

25、（1）,正方形ABC前，E为边CD上一点，连结 AE,过点A 作AF±AE交CB 的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图（2）,在（1）的条件下，连结 AC,过点A作AML AC交CB的延长线于M,观察 并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中/A = /C=90° , AB=AD王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由.13.下图是按

26、展规律排列的方程组集匣组自左至右依次记作方程组台和它解的集合方程组集合中的方图,3（1）将圄程组1的解填入图中图2程组2、方程组 3、 一方程组nJC BC BC B图3印图4（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中;对应方程组解的集合x nyx my1 ,一的解16值，并判断该方程组是否符合 （2）中的规律？14 .某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒.（长方形的宽与正方形的边长相等 ）（1）现有正方形纸板50张，长方形纸板l 00张，若要做竖式纸盒 x个，横式纸盒y个.转式维盒璜式纸盒用乙（2）若有正方形纸板

27、80张，长方形纸板a张，做成述两种纸盒，纸板恰好全部用完.已知162<n<172,求 n 的值.15 . （1）如图1,图2,图3,在4ABC中，分别以AB, AC为边，向4ABC外作正三角形， 正四边形，正五边形，BE, CD相交于点O.（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形），如图1,求证： ABEA ADC ；/探究：如图1, BOC 0；如图2, BOC 0;如甲DBOC ；（2）如图4,已知：AB, AD是以AB为边向4ABC外所作正n河制也组邻边；AC, AE是以AC为边向ZXABC外所作正n边形的一组邻边.BE, CD的当£攻叁j点O.猜想：

28、如图4, BOC 0 （用含n的式子表示幺，史刈 4证明你的猜想.16 .按照指定要求画图（1）如下图1所示，黑粗线把一个由 48个代丁方形组成的图形分割 成两个全等图形，请在图 2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形.（2）请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗 线把它分割成两个全等图形17 .用两个全等的等边三角形 ABC和ACDf成四边形ABCD把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点A重合，两边分别与AR AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四

29、边形的两边BG CD相交于点E、F时（如图a）,通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由；（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC CD的延长线相交于点E、F时（如图b）,你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。（本题12分）18 .如图，在下列网格中，/ ABCffi，DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的 F 点的个数为（）.A.1个 B.2个C. 3个D.4个19、已知：如图所示，在 4ABC 和 4ADE 中，AB AC, AD AE , / BACh DAE=x ,且点B, A, D在一条直线上，连接 BE, CD, M, N分别为BE, CD的

30、中点.（1）求证：BE CD ;（2）在图的基础上，将zADE绕点A按顺时针方向旋转180：,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；在旋转的过程中，若直线BE与CD相交于点P,试探究/ AP* /MAN勺关系，并说明理由。（结果用含a的代数式表示）小CM <?重合）.以4号为一边在4D的右侧向:力婚曲/出1广=白.，生，,了一 1,，BaD c B C B C图IK 2备用图善用雷Cl）如图，当点D在线段BC上时，如果, fllijZJC£=Si如果,则/BCE二度i如果,则/BCE=度工你认为q. B之间有篙样的教量关系，谱说明理由,Ill

31、 i丁一1度-丁r2）当点D在直境&C上移动时.则口、P之间有怎样的数量关系？请在备用图上面出图形并 直接写出你的结论.21 .如右图所示，方格纸中有 A、B、C、D E五个格点（图中的每一个 方格均表示边长为1个单位的正方形），以其中的任意3个点为顶点， 画出所有的三角形，数一下，共构成个三角形，其中有对全等三角形，它们分别请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由.22 .已知/ AOB=90,在/AOB勺平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与 C重合,它的两条直角边分别与 OA OB（或它们的反向延长线）相交于点D E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,易证：CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.23 .如图，DACEBC匀是等边三角形，AE、BD分别与CD交于点 M N,有如下结论： AACMADCB CM= CNEM= BN其中，正确结论的个数是()CEA. 3个 B .2个 C .1个 D.0个24 .锐角为45o