211根式的运算

1、2.1.1 指数指数-根式的运算根式的运算开江中学开江中学 1整数指数幂的概念。整数指数幂的概念。 *)(Nnaaaaaann 个)0( 10aa*), 0(1Nnaaann一一.复习回顾复习回顾)()(),()(),(ZnbaabZnmaaZnmaaannnmnnmnmnm2运算性质：运算性质：3注意注意 可看作可看作 可看作可看作nmaanmaanba)(nnba； (P48)(P48)在问题在问题2 2中中, ,我们已经知道我们已经知道,)21( ,)21( ,2132,81,41,21573010000005730100005730600021,21,21 是正整数指数幂是正整数指数幂

2、, ,它们的值分别为它们的值分别为. .那么那么, ,的意义是什么呢的意义是什么呢? ?二二.引入引入 th rootth root）, ,其中其中nxan1n nN1 1.n.n次方根的定义次方根的定义：一般地，如果：一般地，如果那么那么x x叫做叫做a a的的n n次方根（次方根（，且，且。三三.新课新课问题问题1 1：n n次方根的定义给出了，次方根的定义给出了，x x如何用如何用a a表示呢？表示呢？nax 是否正确？是否正确？例例1根据根据n次方根的概念，分别求出次方根的概念，分别求出27的的3次次方根，方根，-32的的5次方根，次方根，a6的的3次方根。次方根。（要求完整地叙述求解

3、过程）（要求完整地叙述求解过程）结论结论1 1：当：当n n为奇数时（跟立方根一样），有下列为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的性质：正数的n n次方根是正数，负数的次方根是正数，负数的n n次方根是次方根是负数负数, ,任何一个数的方根都是唯一的。此时，任何一个数的方根都是唯一的。此时，a a的的n n次方根可表示为次方根可表示为nax 例例2根据根据n次方根的概念，分别求出次方根的概念，分别求出16的的4次方根，次方根，-81的的4次方根。次方根。结论结论2 2：当：当n n为偶数时（跟平方根一样）为偶数时（跟平方根一样）有下列性质：正数的有下列性质：正数的n n次方根有两个且次方

4、根有两个且互为相反数，负数没有互为相反数，负数没有n n次方根。此时次方根。此时正数正数a a的的n n次方根可表示为：次方根可表示为：)0a(annana其中其中表示表示a a的正的的正的n n次方根，次方根，表示表示a a的负的的负的n n次方根。次方根。例例3根据根据n次方根的概念，分别求出次方根的概念，分别求出0的的3次方根，次方根，0的的4次方根。次方根。结论结论3 3：0 0的的n n次方根是次方根是0 0，记作，记作nna, 00即当当a=0a=0时也有意义。时也有意义。*)(2,12,Nkknaknaxnnna2.2.正数正数a a的的n n次方根的性质次方根的性质：其中其中

5、叫根式，叫根式，n叫根指数，叫根指数，a叫被开方数。叫被开方数。 3.根式运算性质：根式运算性质： 问题问题1：若对一个数先开方，再乘方（同次），：若对一个数先开方，再乘方（同次），结果是什么？结果是什么？ ， 44333) 2( 5522) 3(例例4 4：求：求 ， ， aann）（，即一个数先开方，再乘方，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。（同次），结果仍为被开方数。 为偶数为偶数为奇数；为奇数；nanaann|,|,问题问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？结果又是什么？例例4.求值求值 ； ； ； .33)8(2)

6、10(44)3()()(2baba532 4)3( 2)32( 625 课堂练习一：课堂练习一：求下列各式的值求下列各式的值:(1):(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)备选练习备选练习:化简下列各式化简下列各式:6125105102)3()4(;)3()3()2(;)3()1( aa 1 1、n n次方根次方根的概念的概念P P4949：如果如果x xn n =a =a，则，则x x为为a a的的n n次方根。次方根。当当n n为奇数时，记：为奇数时，记：当当n n为偶数，为偶数，a0a0时，记：时，记：nax nax负数没有偶次方根负数没有偶次方根2、根式根式的定义与运算

7、性质的定义与运算性质:P49na式子式子 叫做根式叫做根式 , 其中其中a为被开方数为被开方数,n为根指数为根指数当当n为任意正整数时，为任意正整数时，.)(aann当当n为奇数时，为奇数时，nna=a； nna)0()0(aaaa当当n为偶数时，为偶数时，=|a|=2.1.1 分数指数幂分数指数幂一一.复习回顾复习回顾填空填空（1）；_32_,6453 （2）_81_,8144； （3）；_)6(_,)3(5544 （4）；_a_,a312510二二.讲授新课讲授新课 问题问题1 1：观察：观察43122510,aaaa结果的指数与被开方数的指数结果的指数与被开方数的指数, ,根指数有什么关

8、系？根指数有什么关系？问题问题2 2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232aa是否可行？是否可行？1.正数的正分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意义：) 1*, 0(nNnmaaanmnm且注意两点注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；一是分数指数幂是根式的另一种表示形式； 二注意公式成立的前提条件二注意公式成立的前提条件,m,n互为质互为质数数;根式与分数指数幂可以进行互化。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题问题3：在上述定义中，若没有：在上述

9、定义中，若没有“a0”这个限制，这个限制，行不行？行不行？问题问题4：如何定义正数的负分数指数幂：如何定义正数的负分数指数幂和和0的分数指数幂？的分数指数幂？2.负分数指数幂：负分数指数幂： ) 1*, 0(1nNnmaaanmnm且3. 0的分数指数幂的分数指数幂： 0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义的负分数指数幂无意义 说明：说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整

10、数指数推广到了有理数指数；念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，有理数幂也同样适用， (0, ,)rsr sa aaar sQ()(0, ,)rsrsaaar sQ()(0,0,)rrraba b abrQ；(4) (4) 根式与分数指数幂可以进行互化根式与分数指数幂可以进行互化: :分式分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用指数幂可以直接化成根式计算，也可利用mnmnnmnaa)a (来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。（5）同样可规定）同样可

11、规定(见课本第见课本第52到到53页页)是无理数）的意义：是无理数）的意义： , 0( aa 三三.例题讲解例题讲解 例求值：例求值：43321328116411008），（），（，aa 3322aa 3aa 例例2 2用分数指数幂的形式表示下列各式：用分数指数幂的形式表示下列各式：；例例3、计算下列各式（式中字母都是正数）、计算下列各式（式中字母都是正数）8834166131212132 )(2(3()6)(2)(1 (nmbababa534232(1)( 25- 125)25(2)(0)aaaa例例4、计算下列各式、计算下列各式5 . 0212001. 0)412(2)532)(3(zxx

12、kw点评l 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，化带分数为假分数，同时还要注意运算顺序问题l 对于根式计算结果，并不强求统一的表示形 式 一般地用指数幂的形式来表示如果有特殊要求，则按要求给出结果但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数例例 5.计算下列各式计算下列各式.)0()4(25)12525)(3(32243aaaa63125 . 132)2(;246347625) 1 (0 06 655665a例例6 . 已知已知x+x-1=7,求下列各式的值：求下列各式的值：.)2( ,) 1 (23232121xxxx32)3(222323xxxx31852例例7 写出使下列等式成立的写出使下列等式成立的x的取值