一元二次方程应用题 (2)

1、21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（第（第3课时）课时）九年级上册九年级上册例例1 1如图，如图，一块长和宽分别为一块长和宽分别为60厘米和厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为槽，使它的底面积为800平方厘米平方厘米.求截去正求截去正方形的边长。方形的边长。 例题例题例1如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。

2、 x解：设截去正方形的边长 厘米，则图中虚线部分长等于_厘米，宽等于_厘米60-240-2800 xx 依题意得：1210, 40 xx解得：240, 1 , . 0 xx不合题意 应舍去经检验答：截去正方形的边长为10厘米。 60 2x40-2x例例1 在长方形钢片上冲去一个在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长长方形框。已知长方形钢片的长为为30cm，宽为，宽为20cm,要使制成的要使制成的长方形框的面积为长方形框的面积为400cm2，求这，求这个长方形框的框边宽。个长方形框的框边宽。 XX30cm20cm解解:设长方形框

3、的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20, x2=5当当=20时时,20-2x= -20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10答答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为5cm1创设情境，导入新知创设情境，导入新知问题问题1要设计一本书的封面要设计一本书的封面，封面长封面长 27 cm，宽宽 21 cm，正中央是一个矩形正中央是一个矩形，如果要使四周的如果要使四周的彩色彩色边衬所占边衬所占面积是封面面积的四分之一面积是封面面积的四分之一，上、下上、下、左、右边衬等宽左、右边衬等

4、宽，应如何设计四周边衬的宽度？应如何设计四周边衬的宽度？2721还有其还有其他他方法列出方程吗？方法列出方程吗？方法一方法一1创设情境，导入新知创设情境，导入新知2721解：解：可设四周边衬的宽度为可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面，则中央矩形的面积可以表示为积可以表示为 （ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x（ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x2127212741方法二方法二1创设情境，导入新知创设情境，导入新知利用未知数表示边长，通过面利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决积之间的等量关系建立方程解决问问题题2721解：解：可设四周边衬的宽度为可设四周

5、边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面，则中央矩形的面积可以表示为积可以表示为 （ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x（ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x2127432动脑思考，解决问题动脑思考，解决问题问题问题2 要设计一本书的封面，封面要设计一本书的封面，封面长长 27 cm，宽宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使果要使四周的彩色边衬所占面积四周的彩色边衬所占面积是是封面面积封面面积的的四分之一四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽

6、度衬的宽度（结果保留小数点后一位）（结果保留小数点后一位） ？分析：分析：封面的长宽之比是封面的长宽之比是9 7，中央的矩形的长宽之比也，中央的矩形的长宽之比也应是应是 9 727219a7a设中央的矩形的长和宽分别设中央的矩形的长和宽分别是是 9a cm和和 7a cm，由此得上、下，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是边衬与左、右边衬的宽度之比是（ ）（ ）27 - 9a 21 - 7a = 9 7.2121整理得：整理得：16y 2 - 48y + 9 = 0解法一：解法一：设上、下边衬的宽均为设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边，左、右边衬宽均为衬宽均为 7y cm，依题意得

7、，依题意得方程的哪个根合乎实际意义？为什么？方程的哪个根合乎实际意义？为什么？2动脑思考，解决问题动脑思考，解决问题解方程得解方程得4336y4336y4327549y4321427y1.8 cm，1.4 cm（ ） （ ）27 - 18y 21 - 14y212743解法二：解法二：设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm，依题意得依题意得故故上、下边衬上、下边衬的宽度为：的宽度为：2动脑思考，解决问题动脑思考，解决问题21274379xx解得：，（不合题意，舍去）解得：，（不合题意，舍去） 2331x2332x左、右边衬左、右边衬的宽度为：的宽度为：2233

8、9272927x4327541.8 cm，（）22337212721x4321421.4 cm（）例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1

9、):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两

10、个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx一、列方程解应

11、用题的一般步骤是一、列方程解应用题的一般步骤是: :v1.1.审审: :审清题意审清题意: :已知什么已知什么, ,求什么求什么? ?已已, ,未知之间有什么关系未知之间有什么关系; ;v2.2.设设: :设未知数设未知数, ,语句要完整语句要完整, ,有单位的要注明单位有单位的要注明单位; ;v3.3.列列: :列代数式列代数式, ,列方程列方程; ;v4.4.解解: :解所列的方程解所列的方程; ;v5.5.验验: :是否是所列方程的解是否是所列方程的解; ;是否符合题意是否符合题意; ;v6.6.答答: :答案也必需是完整的语句答案也必需是完整的语句, ,注明单位注明单位. .二、列方程

12、解应用题的二、列方程解应用题的关键关键是是: :v 找出相等关系找出相等关系. .回顾旧知回顾旧知一元二次方程及应用题1、直角三角形问题：（勾股定理）2、体积不变性问题：3、数字问题：4、互赠礼物问题：5、增长率问题：10abab(1 )2nn 2(1)axb2(1)(1)aaxaxb(1)n n 例例1：某县国民经济发展规划要求，2013年的社会总产值要比2011年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增长增长21%aa+21%aa(1+x) 2

13、 =a+21%a分析：分析：例例1：某县绿化环境，计划经过两年时间，某县绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加绿地面积增加44%，求平均每年增长的百，求平均每年增长的百分率分率 练习练习3.小红的妈妈前年存了小红的妈妈前年存了5000元一年期元一年期的定期储蓄，的定期储蓄，定定期期一年一年后后取出取出3000元，剩余元，剩余的钱继续定期一年存入的钱继续定期一年存入.如果每年的年利率如果每年的年利率不变，到期后不变，到期后取取出出2750元，元，.求这种储蓄的求这种储蓄的年利率年利率.问题问题: 某花圃用花盆培育某种花苗某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数

14、构成一定的关系盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入每盆植入3株株时时,平均单株盈利平均单株盈利3元元;以同样的栽培条件以同样的栽培条件,若每盆增加若每盆增加1株株,平均单株盈利就减少平均单株盈利就减少0.5元元.要使每盆的盈利达到要使每盆的盈利达到10元元,每盆应该植多少株每盆应该植多少株?如果直接设每盆植如果直接设每盆植x株株,怎样表示问题中相关的量怎样表示问题中相关的量?解解:设每盆花苗增加的株数为设每盆花苗增加的株数为x株株,则每盆花苗有则每盆花苗有_株株,平均单平均单株盈利为株盈利为_元元.相等关系相等关系:平均单株盈利平均单株盈利株数株数=10元元由题意由题意,得得(x+3)

15、(3-0.5x)=10解这个方程解这个方程,得得:x1=1, x2=2(x+3)(3-0.5x)如果设每盆花苗增加的株数为如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？株呢？思考思考:这个问题设什么为这个问题设什么为x?有几种设法有几种设法?化简，整理，得化简，整理，得 x2-3x+2=0经检验，经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意都是方程的解，且符合题意.答答:要使每盆的盈利达到要使每盆的盈利达到10元元,每盆应植入每盆应植入4株或株或5株株. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售售20件，每件赢利件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢元。为了扩大销

16、售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取社党降价措施利，尽快减少库存，商场决定采取社党降价措施。经调查发现，如果每件衬衫煤降价。经调查发现，如果每件衬衫煤降价1元，商场元，商场平均每天可多售出平均每天可多售出2件。件。 求（求（1）若商场平均每天要赢利）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬元，每件衬衫应降价多少元？衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。案。典型练习题1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数2、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降

17、价的百分比3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人数4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名同学参加5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度为6千米/小时，求：往返一次的平均速度练习练习1：用一根长：用一根长22厘米的铁丝，能否折厘米的铁丝，能否折成一个面积是成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一厘米的矩形？能否折成一个面积为个面积为32厘米的矩形？说明理由。厘米的矩形？说明理由。2：在一块长：在一块长80米，宽米，宽60米的运动场外米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是跑道的面积是150

18、0平方米，求这条跑平方米，求这条跑道的宽度。道的宽度。 3. 如图，在长为如图，在长为40米，宽为米，宽为22米的矩米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为面积为760平方米，道路的宽应为多少？平方米，道路的宽应为多少？40米米22米米4、如图，在宽为、如图，在宽为20m，长为，长为32m的矩形耕地的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使

19、试验地面分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为积为570m，问道路的宽为多少？，问道路的宽为多少？列一元二次方程解应题6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔现有190支铅笔，则要放几层 ?解解:要放要放x层层,则每一则每一层放层放(1+x) 支铅笔支铅笔.得得x (1+x) =1902 X X 3800解解得X119， X2 20(不合题意)答:要放要放19层层.2列一元二次方程解应题补充补充练习：练习： 18米2米如图，有一面积是如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一米），墙对面有一个个2米宽

20、的门，另三边（门除外）用竹篱笆围米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少米求鸡场的长和宽各多少米？米？例例1 在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始以开始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的速度沿的速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出同时出发，几秒后发，几秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2？BACDQP解：设解：设x秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得解这个方程，

21、得解这个方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的的面积等于面积等于8cm2例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别分别交于交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行平行四边形四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x 8-x整理得：解这个方程得：答：当时，四边形面积为16cm

22、例例3：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为垂足为D,CD=2,P是是AB上的一动点上的一动点(不与不与A,B重重合合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线l与与AB垂直垂直.i)设设 ABC位于直线位于直线l左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函数关系式之间的函数关系式;ii)当当x为何值时为何值时,直线直线l平分平分 ABC的面积的面积? lACDBP2210222333xSxxSx解：当时，当时，例例4：客轮沿折线：客轮沿折线A-B-C从从A出发经出发经B再到再到C匀速航行匀速航行,货轮从货轮从AC的中点的中点D出发沿某出发沿某一方向匀速直线航

23、行一方向匀速直线航行,将一批物品送达客将一批物品送达客轮轮,两船若同时起航两船若同时起航,并同时到达折线并同时到达折线A-B-C上的某点上的某点E处处,已知已知AB=BC=200海里海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的客轮速度是货轮速度的2倍倍. DCAB(1)选择选择:两船相遇之处两船相遇之处E点点( )A.在线段在线段AB上上;B.在线段在线段BC上上;C.可以在线段可以在线段AB上上,也可以在线段也可以在线段BC上上;ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里少海里?(结果保留根号结果保留根号)FDCBAE解：设货轮从出发到两船相遇共航行解：设货轮从出发到两船相遇共航行了了x海里，过海里，过D作作D