《反证法》课件

1、曲阜一中曲阜一中 张建恩张建恩路边李苦路边李苦小故事分析分析：假如李子是甜的假如李子是甜的树上的李子早被人摘光了树上的李子早被人摘光了与树上有很多李子矛盾与树上有很多李子矛盾所以假设是错误的所以假设是错误的即李子是苦的即李子是苦的例例1 ABC三角形内角和等于三角形内角和等于假设假设例2 设a,b是异面直线，在a上任取两点 A,C，在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.ADBCab例例1 ABC三角形内角和等于三角形内角和等于假设假设反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假

2、设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论（与题设矛盾（与题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定与已知定义、定理、公理矛盾等）义、定理、公理矛盾等）1.1.填一填常见否定用语填一填常见否定用语是是 有有 等等 成立成立都是都是都有都有唯一唯一至少有一个有至少有一个有至少有一个不是至少有一个不是反馈练习反馈练习不是不是没有没有不等不等不成立不成立不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个

3、没有至少有两个或者没有至少有两个或者没有全部没有全部没有全部都是全部都是反馈练习反馈练习2.2.写出用写出用“反证法反证法”证明下列命题的第一步证明下列命题的第一步“假假设设”. .(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于9090. .(2)(2)ABCABC中中, ,最多有一个钝角最多有一个钝角(3)(3)(4)(4)(5)(5)3.“3.“已知已知: : ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:B90:B180B+C+A180. .这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾. .(2)(2)所以所以B90B90. (3). (3)假设假设B90B90

4、. .(4)(4)那么那么, ,由由AB=AC,AB=AC,得得B=C90B=C90. .即即B+C180B+C180. .这四个步骤正确的顺序应是这四个步骤正确的顺序应是( )( )A.(1)(2)(3)(4)A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习反馈练习C 例3.3.求证：求证： 是无理数。是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n

5、 n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，所以假设不成立，2 2是无理数成立。是无理数成立。反馈练习反馈练习5证明：证明： 不能成等差数列不能成等差数列.5, 3,2总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么?与题设矛盾与题设矛盾 与假设矛盾

6、与假设矛盾与已知定义、定理、公理矛盾等与已知定义、定理、公理矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?CD历史上的第一个反证法与第一次历史上的第一个反证法与第一次数学危机的产生及解决数学危机的产生及解决 数学的发展，在历史上曾经出现过三次数学的发展，在历史上曾经出现过三次危机，每一次危机的出现，都和一个危机，每一次危机的出现，都和一个悖论悖论有关。有关。（悖论是指：看上去是合理的，但结果却得出（悖论是指：看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。）了矛盾。） 第一次数学危机由第一次数学危机由希帕索斯悖论希帕索斯悖论引发，这引发，这个悖论

7、的产生和勾股定理有着密切的联系，并个悖论的产生和勾股定理有着密切的联系，并且最终促成了且最终促成了无理数的发现无理数的发现，对以后的数学发，对以后的数学发展产生了深远的影响，在解决这次危机的过程展产生了深远的影响，在解决这次危机的过程中，有许多科学家为之付出了努力，甚至付出中，有许多科学家为之付出了努力，甚至付出了生命。了生命。数学史数学史小知识小知识 第一次危机发生在公元前第一次危机发生在公元前580580568568年之间的古年之间的古希腊，数学家希腊，数学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派创立了毕达哥拉斯学派（这个学派最大的成就是，发现并且证明了（这个学派最大的成就是，发现并且证

8、明了勾股定勾股定理理 ）。毕达哥拉斯提出的著名命题）。毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数万物皆数”是该学派的哲学基石，使是该学派的哲学基石，使“一切数均可表示成整数一切数均可表示成整数或整数之比（即或整数之比（即一切数都可以表示成分数一切数都可以表示成分数)”)”成为成为这一学派的数学信仰。这一学派的数学信仰。 勾股定理提出后，学派中的成员希帕索斯提出勾股定理提出后，学派中的成员希帕索斯提出了一个问题：边长为了一个问题：边长为1 1的正方形其对角线长度不能的正方形其对角线长度不能用分数表示。这个小小的悖论的出现，直接动摇了用分数表示。这个小小的悖论的出现，直接动摇了该学派的数学信仰。该学派的数

9、学信仰。 这一发现对毕达哥拉斯学派产生了致命打这一发现对毕达哥拉斯学派产生了致命打击。直接导致古希腊人认识观念上的危机。把击。直接导致古希腊人认识观念上的危机。把当时古希腊人所知道的数学知识根本推翻了。当时古希腊人所知道的数学知识根本推翻了。面对这悖论，人们找不到合适的处理办法，便面对这悖论，人们找不到合适的处理办法，便将希帕索斯看成是魔鬼的化身，将这位天才的将希帕索斯看成是魔鬼的化身，将这位天才的数学家投进了大海，但却让后人永远的记住了数学家投进了大海，但却让后人永远的记住了他。他。希帕索斯希帕索斯也成了有史以来也成了有史以来第一个使用反证第一个使用反证法的人法的人。 自从发现了边长为自从发现了边长为1 1的正方形的对角线不的正方形的对角线不能用整数之比来表示之后，很快的又发现这种能用整数之比来表示之后，很快的又发现这种现象并不是唯一的，而是普遍的，这无异于在现象并不是唯一的，而是普遍的，这无异于在平静的水面上投下了一块巨石一般，在当时的平静的水面上投下了一块巨石一般，在当时的数学上和认识上掀起了轩然大波，引起了认识数学上和认识上掀起了轩然大波，引起了认识上的恐慌。为了摆脱这种尴尬，许多学者开始上的