第4章 拉格朗日力学

1、第第4 4章章 拉格朗日力学拉格朗日力学(1,2,.,3 )ix in 111222( ,),(,),.,(,)nnnx y zx y zx y z()12nr ,r ,.,r 222( , )0f x yxyl3n12( , ,., , )0, 1,2,.nftkr rr00Rxycc-ABAABAxxxyyy1212( , ,., , , ,., , )0, 1,2,.nnftrr rr r rr vM12( ,.,)0, 1,2,.nfkr rr1212( ,., ,.,)0, 1,2,.nnfrr rr r rr 2220()xylvt1212( , ,., , , ,., , )0,

2、 or 0nnftr rr r rr 222xyl222xylABAABAxxxyyy0000CCCCyxRyRxR可以积分为222121212()()()xxyyzzl12( ,)sq qq121212( , )( , ) (i=1,2,.,n)( , )iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t( ,) (1,2,., )iiix y zin12( ,)sq qqsincosxlyl222xyl22xxylxab1122sincossinsincoscosxayaxabyabdrrdtttdtdr0tSSrFW,iRiiniFiFiri设系统由 质点组成 对于

3、第 个质点表示第 个质点受到的主动力之和表示第 个质点受到的被动力(或约束力)之和表示第 个质点的虚位移 则系统所有主动力的虚功之和为iniirFW11111nssniiiiaiiarrWFqFqqqQq 1 1,2. ()siirrqinq已计及 t=012(,., ) 1,2,.iisrr q qq tin1 ( =1,2.s)niiirQFq1212( , , )( , )nsVV r rr tV q qq t iiixiyiziiiVVVFVFFFxyz ；11nniiiiiiiiiirxyzVVVVQFqxqyqzqq 01iniiRrFNiririrN0irNNir0d irN线、

4、面静止，线、面静止，0d irN线线、面面运运动动，NfP0Pv0Pr0PPrfrNN00 PPrNr 1N2N2211rNrN121rN0112Nr12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR01m2m1TF2TF2211rFrFWTT00211rrFT0绳绳子子不不可可伸伸长长001iniirF0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 , 1011iniRiiniirFrF01iniirF01iniirF011iniRiiniirFrF0dd11iniRiiniirFrF0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T110nsii

5、iFrQqq0 1,2,Qsir qVQ0 1,2,Vsq01iniirF0 1,2,Qs0 1,2,Vsq1.1.质点在一维保守力场中的静平衡及其稳定性质点在一维保守力场中的静平衡及其稳定性0dVdq0qQ 0FR22d0dBVq22d0dAVq near CVconst22d0dDVq* * *2.2.一般质点系的平衡一般质点系的平衡0; =1,2.sVq10sVVqqF224s2211,qqAl1FOxy12Bl2Al1Bl2FOxy12112230iiiFrm grm grFr032211xFygmygm111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx11

6、11sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxFgmgm,21(x3,y3)11121112222211cossinsincossin22Fm gm glFm gl 12由于和互相独立，它们前面的系数(即广义力)应该为零 111121222221(cossinsin )021(cossin)02QFm gm glQFm glgmFgmmF221212arctan22arctan yxdDBd FTFTAo0TBcTDFxP yFxsin, 2 coscotBDcxlxyld 2cos, 2 sincscBDcxlxyld () 0iiTBTDCiFrFrFr

7、Pr yxdDBd FTFTAo22cos2sincsc0TF llPdP3tancsc12TdFPlROzx0coscosgVmgRlgR201(2sin)2sVkRl0VQ 002sincossin22lglkRR2001cos(2sin)2sgVVVlgRkRl00sin(2sin)2cos0lgkRlR02sin0Rl1212112(,., )(,.,.,)siiiiskksksiq qqrrdrr q qq tr q qqtdtqqtkkdqqdt,iiiktqrrrq , q q kkddq dtdtqkqddt1211(,., )ssiiiisikkkkkkrrdrr q qq

8、trdtqtqqqtdddtdtt0ddtdd2121121(,.,., )2ni isisq qTrqqmT qqt11innii iiikkkiTTmrrrqqrq11ninkkkii iiiirrrrmqTqqT111110nssni iki ikikkskkkkikkmqmqQqQqqiirrrr1siikkkrrqq1 (1,2,. )kni iikQksmqirrkq areindependentiiki iiiiiikkkiiirrdQmrmmqqdrdtqrrdtiiiiiiikikrdrrdtrmmqqkkqddTtqT1iikniikqrrmqT1ni ikiikTmqrr

9、q 1,2,.kkkTTQkqsdqdt0 1,2,.kkddtLsqLkqABm1m2m3l0q1q2xOl0s12 1 2 ABm1m2m3l0q1q2xORzezeRzezexygRgRgRo/213gRmmsincosyhsrm ccxxyconstcotcossin xxhsr()APPMsr1CVsrmcoscossinsin0ccxxsxrysrxxy cot()cossin ()sincos ccxxhrryhrrxxyconst21122cccTTTmvI221122cTmvmv221122zzzTII221122cCTmvIm(), cotcossin, cossincos

10、 , sinsrsrrxxhsrxxsyhsrys 222(cos)(sin)vxss (), srsrrms x , ,sincosZzZXYZeeejk 000解： 本例几乎是“对称重陀螺定点转动”的特例。选取部分随动坐标系 O-xyz（即不随刚体自转的主轴坐标系），固定坐标系取为O-, Ox轴在OXY 平面内， OZ轴保持在Oyz 平面内。显然 确定了铅笔自转轴的方位,自转角确定铅笔的自旋位置，作为本题的广义坐标。初始时刻铅笔竖直,角速度 =OXYZmg 222*2222*2*sin( cos)()2211(sin)( cos)cos22-sincoZxyzzxyzziekijkijkJ

11、JTVJJmgldLLJJdt铅笔在任意时刻的角速度：刚体定点运动时的拉氏函数为：对应 的拉氏方程：s( cos) sinsin0zJmgl 2*000222*sin( cos)cos( cos)0()22zzzzzzxyzLpJJJLpJJtLtJJETVV其余两个广义坐标 ，都是循环坐标，具有广义动量积分。这里已经利用初始条件： , =0, 因为=0, 稳定约束，所以我们还可以利用能量初积分2222*002*2222*222220*02*2*11(sin)( cos)cos22(1 cos )cossin11(sin)( cos)cos22(1 cos )11cos22sin21+U( )

12、2zzzzzJJmglJJEJJmglJJJmglJJ运用上面的初积分化简: ; 我们2222002*(1 cos )1( )cos2sin2zzJUJmglJ这里主要关心运动的稳定性，所以可以运用有效势能的概念，222030*2222024*22202*00(1 cos )( )( )sin 0sin0cos(1 cos )( )cossin( )4zzzJdUdUmgldJdJd UmgldJJd UmgldJ要研究铅笔竖直转动是否稳定，只需检验有效势能在是否为极小值。；所以确实是平衡点，下面考虑二阶导数：（2）2222z*02200.080(/16/3)/38 0.8,10,2100/

13、,/25( )(194000)0 0mJdmJm dsmsdcm scmrad s lscmd Umd铅笔当作长杆或圆柱体看待，其转动惯量分别为；铅笔：所以势能为极大点，不稳定，稍遇微扰即倾倒。222211()22Tm RRMz222211()()22Lm RRMRMg Rl2()0dLLmM RmRMgdtRR22()0dLLdmRdtdtzRlzR()VMgzMg Rl222222222211()()2211(cos )(sin )2211()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlx(cos )sinmMvvl exil exliljcosVmgl lmMoxie

14、xy, 0; , 0;sin , cos ; cos , sinMMMMmmmmxxyxxyxxlylxxlyl 221122mTMxmv22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmgl()cosmM xmlconstant2022211()cos22c1()os2TmM xmlmlxlxVkxmg mMvvl e2222011()coscos221()2LmM xmlmlxmglk xxlmMo20()cos()0dLLdmM xmlk xxdt

15、xxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmglk22222200221(co11cos2s)coscos22cosTmxmlmlxVm xtlmltglm xmMvvl e22222001(cos)coscoscos2Lm xtlmlxtmgllmMo200220(coscos )cossinsinsincossin0dLLdmlmlxtmlxtmgldtdtmlmlxtmgl0sinxxt( , ).(0), (0)f q qconstf qq0jLq.jjLpconstq0jjdLLdtqq0jdLdtq0Lt11ssjjjjjjL

16、qLp qLHconstq222101111122nnsiii iiiirrTmrmTTTqtq12(,., )iisrr q qq t11212(,.,., )siiisisrrrr q qqqqtqtqq2111,11,11122nsssnsiiiiiiiirrrrTmmAqqqqqqq qq q 111111nssnsiiiiiiiirrrrTmmBqtqqqtq 20112niiirTmt1020, 0, irTTTTtiiifxmfx021211112; 2 ; 0sssTTTqTqTqqqq2111222()sssTLTHqLqLqLqqqTLTTVTVE常量2100, irTTT

17、Tt1102111121212102022()sssssLTHqLqLqqTTTqqqLqqqTTLTTTTTVTTV常量dddtdt1siiikkkqrrrqt2112ni iiTmrmx( )rVrFVeF rrr ( ,)r2222211()()22Tm xym rr0dLLdtrr0dLLdt22; ; ; 0LLdVLLm rm rm rrrdr2()0dVm rrdr2(2)0dmrmrrrdt2221()( )2Lm rrV r 0L2Lpmrh 0Lt2221()( )2m rrV rE2()0dVm rrdr(2)0mrrr2mrh2221()( )2m rrV rE0 (j

18、=1,2.s)jQ 0 (j=1,2.s)jVq220; 0dVd Vdqdq220; 0, 因此的s次方可求得的程,s个正根(可或 的以s个正根有重根)123( )( )( )( )1( )( )( )112: () cos() 1 2 (2,3. ), (1,2. ; 1,2) s slljjlllljlllljqAtjsAjsAAAAjs ls本征值(频率)，正的实数 ；特解：（，）将代入线性方程组，只能得到s-1个独立方程,可以解出 可任取,如=1,这时都将确定，共有( )1: cos() 1 2 (1,2. ) 2 sljljlllllqc Atjsclss个通解（，）通解中 ，共有个待定常数，它们可由初始条件决定。