15.6 波函数 一维定态薛定谔方程

1、一、波函数及其统计解释一、波函数及其统计解释 )(0) (20ee),(pxEtixtitx微观粒子微观粒子具有波动性具有波动性用物质波波函数描述用物质波波函数描述微观粒子状态微观粒子状态1925年薛定谔年薛定谔例如例如 自由粒子沿自由粒子沿 x 轴正方向运动，其能量轴正方向运动，其能量 E 、动量、动量 P 为常为常量，所以量，所以 v (= E / h ) 、 ( = h / P ) 不随时间变化，其不随时间变化，其物质波是单色平面波，波函数为物质波是单色平面波，波函数为15.6 波函数 一维定态薛定谔方程 波函数的物理意义波函数的物理意义：2| ),(|tr t 时刻，粒子在空间时刻，粒

2、子在空间 r 处处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度的单位体积中出现的概率，又称为概率密度VtrWd| ),(|d2 t 时刻时刻 , 粒子粒子在在 r 处处 dV 内出现的概率内出现的概率dVor),(trVtrtrd),(),(*电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000 单个粒子单个粒子的出现是的出现是偶然事件偶然事件；大量粒子大量粒子的分布有确定的的分布有确定的统统计规律计规律。电子电子双缝双缝干涉干涉图样图样说明说明1ddd| ),(|2zyxtr 归一化条件归一化条件 波函数必须单值、有限、连续

3、波函数必须单值、有限、连续概率密度在任一处都是唯一、有限的概率密度在任一处都是唯一、有限的, , 并在整个空间内连续。并在整个空间内连续。粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为 1 1VtrWd| ),(|d2 t 时刻时刻 , 粒子粒子在在 r 处处 dV 内出现的概率内出现的概率dVor),(tr说明说明二、薛定谔方程二、薛定谔方程 (描述微观粒子在外力场中运动的微分方程描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 ) 质量质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，其运动微分方程为其运动微分方程为ttritrtrVzyxm),(

4、),(),(22222222粒子在稳定力场中运动，势能函数粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量、能量 E 不随时间不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为变化，粒子处于定态，定态波函数写为( , )( )eEit r t r得得0)(2)(2222222rVEmrzyx定态定态薛定谔方程薛定谔方程薛定谔薛定谔方方 程程一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动（粒子在一维空间运动) ) 02d)(d222xVEmxx描描述述外外力力场场的的势势能能函函数数粒子能量粒子能量(2) 求解求解 E（粒子能量）（粒子能量） ( r ) (定态波函数定态波函数)(1)

5、势能函数势能函数 V 不随时间变化。不随时间变化。说明说明三、一维无限深势阱中的粒子三、一维无限深势阱中的粒子 0 x a 区域，定态薛定谔方程为区域，定态薛定谔方程为x0 aV ( x )势能函数势能函数 02dd222xmExx222mEk令令V (x) = 0 ， 0 x aV (x) = ， 0 a0)(x0)(x0 x 或或 x U0 , R0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入全部透射进入 III 区区,仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 区。区。 (2)E U0 , T0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子

6、仍虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入可能穿过势垒进入 III 区区 隧道效应隧道效应。E(3) 透射系数透射系数T 随势垒宽度随势垒宽度a、粒子质量、粒子质量m 和能量差变化，和能量差变化， 随着势垒随着势垒的的加宽、加高透射系数减小。加宽、加高透射系数减小。 粒子类型粒子类型粒子能量粒子能量势垒高度势垒高度 势垒宽度势垒宽度透射系数透射系数电子电子1 eV2 eV1 eV2 eV1 eV2 eV210-10 m510-10 m0.024210-10 m0.51质子质子310-38五五、氢原子、氢原子02)(2222222VEmzyx204eVr 球坐标的定态薛定谔方程球坐

7、标的定态薛定谔方程222222222011()(sin)sin12()0sin4rrrrrmeErr1. 能量量子化能量量子化 能量能量主量子数 n = 1 , 2 , 3 , 电子云电子云mr10110529. 0124rr 139rr 2122042)8(1nEhmenEn电子在波尔轨道上出现的概率最大电子云密度电子云密度 概率密度概率密度nlm2（r, ） 2. 角动量量子化角动量量子化 角量子数角量子数 l = 0 , 1 , 2 , , n-1 ) 1( llL电子绕核转动的角动量电子绕核转动的角动量 L 的大小的大小3. 角动量空间量子化角动量空间量子化 角动量角动量 L 的在外磁

8、场方向的在外磁场方向Z 的投影的投影lzmL 磁量子数磁量子数 ml = 0 , 1 , 2 , , l 2206L2l2 1Ll磁量子数磁量子数 ml = 0 , 1 , 2L 在在 Z 方向的投影方向的投影2, 0,2zLz6) 12(2LL 的大小的大小例例 l = 2 电子角动量的大小及可能的空间取向电子角动量的大小及可能的空间取向 ？z0(1) 实验现象实验现象v0v0 +vv0 -v光源处于磁场中时，一条谱光源处于磁场中时，一条谱线会分裂成若干条谱线。线会分裂成若干条谱线。光光源源eLLmee2zezLme2向向 z 轴（外磁场轴（外磁场 B 的方向）投影的方向）投影B 玻尔磁子摄谱仪摄谱仪磁矩磁矩和角动量的关系磁矩和角动量的关系(2) 解释解释NS4. 塞曼效应塞曼效应 磁场作用下的原子附加能量磁场作用下的原子附加能量zBBEz由于磁场作用由于磁场作用, 原子附加能量为原子附加能量为 B lm