数字信号处理第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第第6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.5 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计定义：定义： 是指输入输出均为是指输入输出均为数字信号数字信号，通过一定运算，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者关系改变输入信

2、号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、灵活，不要求阻抗匹配，可实现高精度、稳定、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能等特殊滤波功能等优点：优点：6-1 6-1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类 经典滤波器：经典滤波器：现代滤波器：现代滤波器：特点：特点：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占不同的频带，通过一个合适的频率成分各占不同的频带，通过一个合适的选频选频滤波器滤波器达到滤波目的。达到滤波目的。维纳滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器卡尔曼滤波

3、器自适应滤波器等自适应滤波器等特点：特点：信号和干扰的频带互相重叠信号和干扰的频带互相重叠按功能分：按功能分：低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222其特点其特点为：为： （1）频率变量以数字频率）频率变量以数字频率 表示，表示， （2）以数字抽样频率）以数字抽样频率 为周期为周期 （3）依取样定理）依取样定理所以：所以：在在0,2间，数字信号最高频率为间，数字信号最高频率为 以上理想滤波器无法实现，因为以上理想滤波器无法实现，因为h(n)均为非因果均为非因果无限长无限长,只能按某些准则设计滤波器只能按某些准则

4、设计滤波器,使之尽可能逼近使之尽可能逼近它它T22Tfss2s低频频带：低频频带：2k2k附近；高频频带附近；高频频带: : ( (2k+1)2k+1)附近附近注意与模拟滤波器区别注意与模拟滤波器区别按实现的网络结构或单位抽样响应分：按实现的网络结构或单位抽样响应分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR滤波器（滤波器（N-1阶）阶）IIR滤波器（滤波器（N阶）阶）二、数字滤波器的技术要求二、数字滤波器的技术要求()()()jjjjH eH ee 为幅频特性：信号通过该滤波器后各频率成分为幅频特性：信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况的衰减

5、情况()jH e 为相频特性：各频率成分通过滤波器后在时为相频特性：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况间上的延时情况()j一般选频滤波器的技术要求由一般选频滤波器的技术要求由幅频幅频给出，相频特性不给出，相频特性不做要求。做要求。 通带：通带： 0pww1(1) |()| 1jwH e0|()|20lg20lg|()|()|ppjjwpjwH eadBH edBH e阻带阻带: :sww2|()|jwH e：通带内允许的最大衰减：通带内允许的最大衰减ps：阻带内应达到的最小衰减：阻带内应达到的最小衰减0|()|20lg20lg|()|()|ssjjwsjwH eadBH edBH e 当

6、幅度为当幅度为 时，时， ，此时，此时 ，故称，故称 为为 通带截止频率通带截止频率 2 /2cww3padBcw3dB1) IIR1) IIR滤波器设计方法滤波器设计方法( )aHs( )H Z变换成满足预定指标的数字滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器 三、数字滤波器设计方法概述三、数字滤波器设计方法概述b.b.直接设计法：直接在频域或时域设计直接设计法：直接在频域或时域设计a.a.借助模拟滤波器设计借助模拟滤波器设计）FIRFIR滤波器设计方法滤波器设计方法 窗函数法窗函数法 频率采样法频率采样法 ）线性相位滤波器设计方法）线性相位滤波器设计方法 FIRFIR滤波器：常用（相位特性严格线

7、性，滤波器：常用（相位特性严格线性，这是这是AFAF无法达到的）无法达到的） IIRIIR滤波器：必须使用全通网络对其非线滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正性相位特性进行相位校正 6-2 6-2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 (1) (1) 模拟滤波器设计方法已相当成熟，有严格的设模拟滤波器设计方法已相当成熟，有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。(2) (2) 常用的模拟滤波器：常用的模拟滤波器：巴特沃斯巴特沃斯，切比雪夫，椭，切比雪夫，椭圆，贝塞尔滤波器等。圆，贝塞尔滤波器等。(3) (3) 设计滤波器时，总是先设

8、计设计滤波器时，总是先设计低通滤波器低通滤波器，再通，再通过低通滤波器转换成希望类型的滤波器。过低通滤波器转换成希望类型的滤波器。1、概述、概述 各种理想滤波器的幅频特性各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c2、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法设计指标：设计指标： ， ， 和和 。 papsas通带截止频率通带截止频率ps阻带截止频率阻带截止频率p0通带：通带：s阻带：阻带：用用 表示表示pasadB通带最大衰减系数通带最大衰减系数阻带最小衰减系数阻带最小衰减系数()1/2, 20lg()3acacHjH

9、jdBc称为称为3dB截止频率截止频率在指标给定后，需要设计一个传输函数在指标给定后，需要设计一个传输函数 ，希望其幅，希望其幅度平方函数满足给定的指标度平方函数满足给定的指标 和和 。 ( )aHspasa2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2)(lg10pajH2)(lg10sajH所以所以幅度平方函数幅度平方函数)()()(*2jHjHjHaaah(t)为实函数，为实函数，pasa)()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs对于稳定系统，对于稳定系统， 的极点位于左半的极点位于左半s s平面，所以平面，所以 的极点为右半的极点为右半s s平面平

10、面)(sH) s(H )()(*jHjH 由由 确定确定 的方法的方法 （1）求）求 （2）分解）分解 得到各零极点，将左半面的得到各零极点，将左半面的极点极点 归于归于 ，对称的零点任一半归，对称的零点任一半归 。 （3）按频率特性确定增益常数）按频率特性确定增益常数 。 22)()(jHAa) s (Ha22)()()(2SaaAsHsH)(A2 )(sHa)(sHa3、巴特沃斯低通滤波器设计方法、巴特沃斯低通滤波器设计方法, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc (1)(1)、幅度平方函数、幅度平方函数当当 =0 =0 时，时， =1=1|()|H j2当当 时，时， =0.

11、5,=0.5,取取3dB3dB值值c|()|H j2当当 时，随时，随 加大，幅度迅速下降，加大，幅度迅速下降， N愈大，幅度下降的愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄速度愈快，过渡带愈窄c (2)、特点、特点(3)、幅度平方函数极点分布及幅度平方函数极点分布及Ha(s)Ha(s)的构成的构成21( )()1()aaNcHs Hssj, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc通带内有最大平坦的幅度特性；通带内有最大平坦的幅度特性；不管不管N为多少，都通过为多少，都通过 点。点。巴氏滤波器在通带和阻带内幅度特性是单调的巴氏滤波器在通带和阻带内幅度特性是单调的211)(2NCjs0)(1

12、2NCjs求极点：求极点：)21221(211NkjCCNkejsk=0,1,2,2N-1k=0,1,2,2N-12N2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为cc的圆上的圆上, ,间隔为间隔为N设设N=3N=3，极点间隔为，极点间隔为/3/3为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，2N2N个极点中只取个极点中只取s s平面左半平平面左半平面的面的N N个极点构成个极点构成Ha(s)Ha(s)NkkassksH10)()()()()(3/23/20jcjcaessesksH1)0(aH30cK)()()(32323jccjccaessessH 为使设计统一，将所有频率归一化，采用对为

13、使设计统一，将所有频率归一化，采用对3 截止截止频率频率 进行归一化。进行归一化。 dBc1010)(1)()(NkckcNkkNcasssssH101( )()aNkkHppppsc令令其中其中 为归一化极点为归一化极点 kp121()22,0,1,.1kjNkpekN1+2p+2p1+2p+2p2 2+p+p3 3NNNappbpbpbbpH1122101)(举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数)(sHasradc/2设3N查表得查表得322211)(ppppHacsp32)()(2)(211)(cccsssasH324888sss将将代入上

14、式得代入上式得下面介绍如何确定阶数下面介绍如何确定阶数N221|() |1()appNcHj210lg |() |papaHj 由上面两式可得：由上面两式可得： /1021 ()10papNc同理同理 /1021()10saNsc/10/10101()101psapNas上两式得：上两式得：/10/10101/,101psaspspspak lglgspspkN 令令则（1）（2）的确定的确定: : c由由(1)式式 得：得：1/2(101)pa aNcp 由由(2)式式 得：得：1/2(101)sa aNcs /1021 ()10papNc/1021()10saNsc总结以上总结以上,低通巴

15、特沃斯滤波器的设计步骤如下低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下（1）由）由p,p,s和和sN, c（2）求出归一化极点）求出归一化极点pk，代入，代入101( )()aNkkHppp或根据阶数或根据阶数N直接查表得到归一化传输函数直接查表得到归一化传输函数Ha(p)得得Ha(p)（3）将）将Ha(p)去归一化，将去归一化，将p=s/c代入代入Ha(p)，得，得 到实际的滤波器传输函数到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 例：例： 已知通带频率已知通带频率fp=5kHz处处,通带最大衰减通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减阻带最小衰减s=30dB，按照，按照以

16、上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解解 (1) 确定阶数确定阶数N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2)由由N=5，直接查表得到：，直接查表得到：极点：极点：-0.3090j0.9511, -0.8090j0.5878; -1.0000或查表得到或查表得到Ha(p)分母多项式系数：分母多项式系数：b0=1.0000, b1=3.2361, b2=5.2361, b3=5.2361, b4=3.23615432432101( )aHppb pb pb pb pb(3) 为将为

17、将Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB截止频率截止频率c10.12(101)25.2755/paNcpkrad s 将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：55423324543210( )cacccccHssbsbsbsbsb将将c代入代入 式，得到：式，得到：Nscs21) 110(1 . 0skrads/525.102 值小于指标的值小于指标的12KHZ12KHZ，说明阻带指标有富裕，说明阻带指标有富裕s4 4、切比雪夫（、切比雪夫（ChebyshevChebyshev）滤波器）滤波器n巴特沃斯滤波器的频率特性在通带和阻带内都是单调巴特沃斯滤波器的频率特性在通带和阻带内都

18、是单调的，所以当通带边界满足指标时则通带内肯定有余量的，所以当通带边界满足指标时则通带内肯定有余量n为得到既满足指标而阶次又比较低的滤波器，更好的为得到既满足指标而阶次又比较低的滤波器，更好的设计方法应该是将精度均匀的分布在整个通带或阻带设计方法应该是将精度均匀的分布在整个通带或阻带内，或同时分布在两者之内，这可以通过选择具有等内，或同时分布在两者之内，这可以通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。波纹特性的逼近函数来达到。n切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性，切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性，二种形式：二种形式：切比雪夫切比雪夫型：型：切比雪夫切比雪夫型：型：通带内等波

19、纹，阻带内单调通带内等波纹，阻带内单调通带内单调，阻带内等波纹通带内单调，阻带内等波纹切比雪夫切比雪夫型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性 为小于为小于1 1的正数，表示通带内振幅波动的程度的正数，表示通带内振幅波动的程度22a22Np1A ()H (j)1C () 切比雪夫切比雪夫型滤波器的平方幅度函数为：型滤波器的平方幅度函数为： 1),(1),coscos()(11xxNchchxxNxCN是是N N阶切比雪夫多项式，定义为：阶切比雪夫多项式，定义为：)(xCN1 x时时1)(xCN2222221)(11)(0 xCxCNN1)(1111222xCN即即 在在0，p上有波动，最大值为上有波动

20、，最大值为1，最小值，最小值为为2)( jHa211p0 即即 当当|x|1时，即时，即 时，时， CN(x)是双曲线函数，随是双曲线函数，随x单调上升。单调上升。 单调下降，单调下降，阶数阶数N N越大，过渡带内越大，过渡带内幅度响应变化越陡，也就是衰减迅速。幅度响应变化越陡，也就是衰减迅速。p2)( jH 平方幅度函数与三个参数即平方幅度函数与三个参数即,p和和N有关。其中有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹纹用下式表示：用下式表示：2max2min2maxmin2()10lg()1()1,()1AAA因此因此 220.110

21、lg(1)101这样已知通带波纹这样已知通带波纹，可求出参数，可求出参数阶数阶数N影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密密)(11)(11)(22222psNpsNsNArchCCA1)(11)(2spsANArchCh)(1)(112pssArchAArchN3dB截止频率用截止频率用c表示表示21)(2cA1)(22pcNC1pc1)()(pcpcNNarchchC)1(1archNchpc以上以上p,和和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确确定后，可以求出滤波器的极点，并确定定Ha(p)，p=s/p。查阅相关模拟滤波器手册，可求出查阅相关模

22、拟滤波器手册，可求出NiiNapppH11)(21)(去归一化后：去归一化后：NipiNNpapssH11)(2)(P162163 自学设计步骤，例自学设计步骤，例6.2.25.模拟滤波器的频率变换模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤模拟高通、带通、带阻滤波器的设计波器的设计 对于高通、带通、带阻模拟滤波器均可由低通对于高通、带通、带阻模拟滤波器均可由低通型导出，只需把按归一化频率（型导出，只需把按归一化频率（ ）设计的低）设计的低通滤波器作为原型，加以适当的通滤波器作为原型，加以适当的频率变换频率变换，就可以，就可以得到所需的其他类型的滤波器。如图所示：得到所需的其他类型的滤波器。如图

23、所示：1 C给定高通给定高通、带通或、带通或带阻的技带阻的技术指标术指标低通滤低通滤波器技波器技术指标术指标设计归一设计归一化模拟低化模拟低通滤波器通滤波器高通、带高通、带通或带阻通或带阻滤波器滤波器频率频率转换转换频率频率转换转换自学自学P164170( )( )cpsH sG p归一化模拟低通归一化模拟低通 模拟高通模拟高通归一化模拟低通归一化模拟低通 模拟带通模拟带通22()()()()luulluulspsspsHsGp 归一化模拟低通归一化模拟低通 模拟带阻模拟带阻220( )( )sBpsH sG p通带中心频率通带中心频率20=lu，通带宽度，通带宽度B=ul带通上限频率带通上限

24、频率u，带通下限频率，带通下限频率l 6.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法（2）滤波器的）滤波器的因果稳定性因果稳定性应在数字滤波器中保持，也应在数字滤波器中保持，也即即s s平面的左半平面应映射到平面的左半平面应映射到Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器就是要由给出的数字滤波器就是要由给出的H(s)H(s)进一步求得进一步求得H(Z)H(Z)，即做一个从，即做一个从s s平面到平面到Z Z平面的变平面的变换，这个变换应遵循两个基本的换，这个变换应遵循两个基本的目标目标：（1 1）数字滤波器的）数字滤波器的频率响应频率响应要模仿模拟滤波

25、器的频要模仿模拟滤波器的频响，即响，即s s平面的虚轴平面的虚轴j应映射到应映射到Z Z平面的单位圆上。平面的单位圆上。0Sz- 工程上常用工程上常用脉冲响应不变法脉冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法。 0Sz- 冲激响应不变法是从冲激响应不变法是从时域时域出发出发,要求数字滤波器要求数字滤波器的冲激响应的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器对应于模拟滤波器ha(t) 的的等间隔抽等间隔抽样样。 h(n)=ha(nT) ,其中其中T是抽样周期。是抽样周期。 因此因此时域逼近良好时域逼近良好。一、变换原理一、变换原理时域时域采样采样( )aHs拉氏逆拉氏逆变换变换( )h t()( )ah n

26、Th nZ变换变换( )H z设设 只有单阶极点只有单阶极点( )aHs1( )NiaiiAHsss对对 进行逆拉氏变换得进行逆拉氏变换得( )aHs( )ah t1( )( )iNs taiih tAe u t1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT11( )1iNisTiAH zez 可见：可见： 的极点的极点 映射到映射到z平面，其极点变成平面，其极点变成 ，系数，系数 不变不变 ( )aHsisis TeiA平面）（平面）zzeAzHsssAsHNiTsiNiiiai1111)()( 下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，S平平

27、面和面和Z平面的映射关系平面的映射关系dtethsHst)()(aannTtthth)()()(aannsTaenTh)( nstdtenTtth)()(adtenTtthstn )()(asTsTezeznnnnsTazHznhenThsH)()()()(sTez s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系 根据采样序列拉氏变换与原模拟信号拉氏变换的关系根据采样序列拉氏变换与原模拟信号拉氏变换的关系maamTjsHTsH21)( )( )sTaz eH zHsmamTjsHT21上式表明：上式表明：Ha(s)在在S平面沿虚轴按周期平面沿虚轴按周期 作周期延作周期延拓，然后再经过拓，然后再经

28、过 的映射关系映射到的映射关系映射到 Z 平面上平面上。STezT2jsrezj,令STezTjTjeereTerT,则01r：s虚轴对应虚轴对应z平面单位圆上平面单位圆上 01r：s虚轴左半边对应虚轴左半边对应z平面单位圆内平面单位圆内 01r：s虚轴右半边对应虚轴右半边对应z平面单位圆外平面单位圆外 S平面沿平面沿 轴分割成一条条宽为轴分割成一条条宽为 的水平带。的水平带。每条水平带都每条水平带都重叠重叠地映射到整个地映射到整个z平面。平面。 j2T脉冲响应不变法映射关系脉冲响应不变法映射关系: 应指出，应指出，Z=esT的映射关系反映的的映射关系反映的是是Ha(s)的周期延拓与的周期延拓

29、与 H(z)的关系的关系，而不是，而不是Ha(s)本身与本身与H(z)的关系，因此，使用脉冲响应的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从不变法时，从Ha(s)到到H(z)并没有并没有一个由一个由S平面到平面到Z平面的平面的一一对一一对应应的简单代数映射关系，存在的简单代数映射关系，存在多对一多对一的映射关系的映射关系 如果原模拟信号的频带不是限于如果原模拟信号的频带不是限于 之间，则之间，则会在的会在的 奇数倍附近产生频率混叠，映射到奇数倍附近产生频率混叠，映射到z z平平面在面在 附近产生混叠。附近产生混叠。 TTw 所出现的问题所出现的问题: :此法只适用于此法只适用于带限滤波器带限滤波器修

30、正修正H(z):11( )1kNks TkTAH zez当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正正( )()ah nTh nT令：令：)(1)(1)(TjHTjHTeHaaj保持线性关系：保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器优缺点优缺点优点：优点：缺点：缺点：T 频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好时域逼近良好( )ah t2211( )4313aHss

31、sss试用脉冲响应不变法，设计试用脉冲响应不变法，设计IIR数字滤波器数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设设T = 1s，则，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：2

32、0.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 6.4 双线性变换法双线性变换法 脉冲响应不变法是使数字滤波器脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模在时域上模仿模拟滤波器拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从这是由于从S平面平面-Z平面是平面是多值的映射关系多值的映射关系所造成的。所造成的。为了克服这一缺点，采用双线性变换法。为了克服这一缺点，采用双线性变换法。一、变换原理一、变换原理 双线性变换法是从双线性变换法是从频域频域出发，使出发，使DF的频率响应的频率响应与与AF的频率响应相似的一种

33、变换法。的频率响应相似的一种变换法。双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系 由上图可知，将由上图可知，将 S平面进行压缩，这可通过正切变平面进行压缩，这可通过正切变换实现：换实现：)2(21TtgT 由上式可知，当由上式可知，当 由由 经过经过0变到变到 时，时，将由将由 经过经过0变到变到1TT)2(21TtgTjj222211112TjTjTjTjeeeeTTjTjTjTjeeeeTTTjTS111121212121112)2cos()2sin(2TSTSeeT11112222211112TSTSTSTSeeeeT令令 j=S, j1=S1TSeZ111112ZZTSSTSTZ22若用若

34、用S表示表示Z，可得：，可得：除了零频率附近，除了零频率附近， 与与 之间严重非线性之间严重非线性22tgT下面分析下面分析与与的关系：的关系：TTtgT11)2(2二、优缺点：二、优缺点：优点：避免了频率响应的混迭现象，这是因为优点：避免了频率响应的混迭现象，这是因为s s平面平面与与Z Z平面是单值的平面是单值的一一对应一一对应关系，因而双线性变关系，因而双线性变换不会出现混叠现象。换不会出现混叠现象。缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近，与与 之间严重非线性之间严重非线性 2 2）适合于）适合于片断常数特性片断常数特性的滤波器设计，不然会产生的滤波器设计，不然会产生畸变畸变1 1）

35、线性相位线性相位模拟滤波器模拟滤波器 非线性相位非线性相位数字滤波器数字滤波器理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变 虽然双线性变换有这样一个缺点，但是目前仍虽然双线性变换有这样一个缺点，但是目前仍然是使用最普遍，最有成效的一种设计工具。因为然是使用最普遍，最有成效的一种设计工具。因为大量的滤波器都具有大量的滤波器都具有片断常数片断常数的频响特性。的频响特性。三、三、模拟滤波器的数字化模拟滤波器的数字化 由于双线性变换中，由于双线性变换中，S S与与Z Z之间有简单的代数关之间有简单的代数关系，故可由模拟系统函数通过代数置换直接得数字系，故可由模拟系统

36、函数通过代数置换直接得数字滤波器的系统函数，即滤波器的系统函数，即11112)()(zzTsasHzH例例1 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将下试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将下图所示的图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。低通滤波器转换成数字滤波器。首先按照写出该滤波器首先按照写出该滤波器的传输函数的传输函数Ha(s)为为1( ),aHssRC利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为为11( )1TH zez利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为为1111212

37、12112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT四、利用模拟滤波器设计四、利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器的步骤的步骤 确定数字低通滤波器的技术指标：确定数字低通滤波器的技术指标： ， ， ，pwpaswsa 将数字低通指标转换成模拟低通指标，主要对将数字低通指标转换成模拟低通指标，主要对边界频率边界频率 和和 的转换，对的转换，对 和和 不作变化。不作变化。 pwswpasaA.采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法/w T B.B.采用双线性变换法采用双线性变换法21tan2wT 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤按照模拟低通滤波器的技术指

38、标设计模拟低通滤波器。波器。 用脉冲响应不变法或双线性变换法用脉冲响应不变法或双线性变换法将将 从从s平面平面转换到转换到z平面平面,得到数字低通滤波器得到数字低通滤波器 。 ( )aHs( )H z数字指标转换数字指标转换成模拟指标成模拟指标巴特沃斯滤波器：巴特沃斯滤波器：冲击响应冲击响应不变法不变法/T CCH(s):Nps/ 求求计计算算 ，查查表表得得H H( (p p) )，用用代代入入 N1i1TsiZe1TA)Z(Hi N1iiiassA) s (H双线性双线性变换法变换法数字指标转换数字指标转换成模拟指标成模拟指标22 tgT CCH(s):Nps/ 求求计计算算 ，查查表表得

39、得H H( (p p) )，用用代代入入112 1ZsT1ZH(Z)H(s) H(s) )/(log2)110/()110(logNsp10A1 . 0R1 . 010sp ppCR /102N(101) 例例2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于 时，容许幅度误差在时，容许幅度误差在 以内，在频率以内，在频率 到到 之间之间的阻带衰减大于的阻带衰减大于 。指定模拟滤波器采用巴特沃斯。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。法设计滤波器。 0.2 rad1d

40、B0.315dB解：解： (1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 数字低通的技术指标为：数字低通的技术指标为： 0.2,1ppWrad adB0.3,15ssWrad adB 模拟低通的技术指标为：模拟低通的技术指标为： 1 ,0.2/ ,pTsrad s 1,0.3/ ,15pssadBrad s adB 设计巴特沃斯低通滤波器，先计算设计巴特沃斯低通滤波器，先计算N N和和 截止频截止频 率率 3dBclglgspspkN 0.31.50.2sspp0.10.11010.092101psaspaklg0.0925.884lg1.5N 滤波器阶数只能取整数

41、，为满足或超过给定指标，取滤波器阶数只能取整数，为满足或超过给定指标，取N=6N=610.12(101)paNcp 0.7032/rad s通带指标正好可满足条件，而给阻带指标带来了一通带指标正好可满足条件，而给阻带指标带来了一定的裕量定的裕量根据阶数根据阶数N=6，查表：，查表：234561( )(1 3.86377.46419.14167.46413.863)aHppppppp将将 代入代入 中去归一化得中去归一化得: :csp ( )aHp234560.1209( )(0.12090.1211.8253.1793.6912.716)aHsssssss 用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将

42、 转换成转换成 。 ( )aHs( )H z1111212120.2871 0.44662.1428 1.14541.8558 0.6304( )1 0.12970.69491 1.06910.36991 0.99720.2570zzzH zzzzzzz N1iiiassA) s (H N1i1TsiZe1TA)Z(Hi注注: : 在在冲激响应不变法冲激响应不变法中，因有混叠现象，所以一般中，因有混叠现象，所以一般都是让都是让阻带好于指标阻带好于指标，通带恰好满足指标以减少混叠，通带恰好满足指标以减少混叠，而在，而在双线性变换双线性变换中不存在混叠。一般是让阻带恰好中不存在混叠。一般是让阻带恰

43、好满足指标，满足指标，通带优于指标通带优于指标。(2)用双线性变换设计数字滤波器用双线性变换设计数字滤波器 同同(1)(1) 模拟低通指标：模拟低通指标： 21tan,12w TT 2tan0.10.65/ ,1pprad s adB 2tan0.151.019/ ,15ssrad s adB 0.2,1ppWrad adB0.3,15ssWrad adB设计巴特沃斯低通，阶数设计巴特沃斯低通，阶数N N计算计算 1.568,0.092sspsppklglg0.0925.306lglg1.568spspkN 取取N=6，将，将 代入代入 s10.12(101)0.7662/saNcsrad s

44、 这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超标。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超标。 查表得归一化传输函数查表得归一化传输函数 ，将，将 代入去归一化得代入去归一化得( )aHpcsp 2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss 用双线性变换将用双线性变换将 转换成数字滤波器转换成数字滤波器 ( )aHs( )H z11211( )( )|azsTzH zHs1 61212120.0007378(1)1(1 1.2680.705)(1 1.0100.358) 1 0.90440.2155zzzzzzz 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 上面介绍了低通数字滤波器的设计方法，实际上面介绍了低通数字滤波器的设计方法，实际中还有高通、带通、带阻等选频滤波器。设计数字中还有高通、带通、带阻等选频滤波器。设计数字选频滤波器有如下方法：选频滤波器有如下方法：1 1）原型