高数电子教案第二版1ppt课件

1、 剧烈建议用全屏显示播放本电子教案剧烈建议用全屏显示播放本电子教案.全屏显示可以经过全屏显示可以经过“阅读菜单或者点击阅读菜单或者点击鼠标右键找到鼠标右键找到.欢迎运用高等数学电子教案欢迎运用高等数学电子教案第一章第一章 函函 数数 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 第二节第二节 初等函数初等函数 第三节第三节 数学模型方法简数学模型方法简述述一、一、 函数的概念函数的概念二、二、 函数的几种特性函数的几种特性三、三、 反函数反函数第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 1函数的定义函数的定义 定义定义 1 1 设有两个变量设有两个变量 x和和 y

2、， 若当变量， 若当变量 x在实数在实数的某一范围的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变内，任意取定一个数值时，变量量 y按照一按照一定的规律定的规律f，有惟一确定的值与之对应，则称，有惟一确定的值与之对应，则称 y是是 x 的的函数函数, ,记作记作y= =)(xf， xD，其中变量，其中变量 x称为自变量，变称为自变量，变量量 y称为函数（或因变量） 自变量的取值范围称为函数（或因变量） 自变量的取值范围 D 称为称为函数的定义域函数的定义域 一、一、 函数的概念函数的概念若若对对于于确确定定的的Dx 0，通通过过对对应应规规律律f，函函数数y有有惟惟一一确确定定的的值值0y相相对对应

3、应，则则称称 0y为为 )(xfy 在在 0 x处处的的函函数数值值，记记作作)(000 xfyyxx. . 函函数数值值的的集集合合，称称为为函函数数的的值值域域，记记作作 M. . 2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. 对应规律 例例 1 1 )(xf=2 =2 x2 2+3+3 1x 就是一个特定的函数，就是一个特定的函数，f确定的对应规律为：确定的对应规律为： f（ ）=2( )2+3( )1 . 例例 2 2 设y=)(xf=x1sinx1，求 f( 2) 解解 .2)2sin(2)2(2fyx 例例 3 3 设设f( (x+1)=+1)= x2 2- -3

4、 3 x，求求)(xf. . 解解 令令tx1，则则, 1 tx 所所以以 , 45) 1(3) 1()(22tttttf 所所以以 )(xf= =. 452 xx 定义域定义域例例 4 4 求函数求函数y= =62xx+ +arcsinarcsin712 x定义域定义域 解解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域数的定义域, 然后求其公共部分即可然后求其公共部分即可 使使 62 xx有定义有定义, ,必须满足必须满足 2x x6 60 0，即，即 0)2)(3(xx ， 解解得得 x3 3 或或 x2 2 ，即即62 xx的的定定义义

5、域域为为(, 23,) ; ; 而使而使arcsin 712 x有有定义定义, ,必须必须满足满足712 x1 1，即，即 于于是是，所所求求函函数数的的定定义义域域是是 3 3，2 2 3 3，4 4 . . 7 72 2x1 17 7 ， 解解得得 3 3 x4 4 ， 即即21arcsin7x 的的定定义义域域为为 3,4. . 例例5 5 下下列列函函数数是是否否相相同同, ,为为什什么么? ? ( (1 1) ) y= = 2lnx与与y= = 2 2lnx; ; ( (2 2) ) = =u与与y= =x 3. 3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法函数的表示法：表格法、图像法

6、及公式法 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法像法和公式法 解解 (1) y= = 2lnx与与y= = 2 2ln x不不是是相相同同的的函函数数,因因为为定定义义域域不不同同. (2) = =u与与y= =x是是相相同同的的函函数数,因因为为对对应应规规律律与与定定义义域域均均相相同同. 例例 6 6 中中央央电电视视台台每每天天都都播播放放天天气气预预报报， 经经统统计计， 某某地地 1 19 99 99 9 年年9 9 月月 1 19 9 日日2 29 9 日日每每天天的的最最高高气气温温如如下下表表所所示示 这个表格

7、确实表达了温度是日期的函数，这里不存这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了） ，但在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了） ，但是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期 t，都有惟一个与，都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温相应的惟一最高气温 N 日期日期(9月月)1920212223242526272829最高气温最高气温/2828272524262725232221 例例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，他发现一骑车人的自行车坏

8、了，他帮助这个人把自行车修他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修好，随后又上路了请把王先生离家的距离关于时间的函数好，随后又上路了请把王先生离家的距离关于时间的函数用图形描述出来用图形描述出来 解解 王王先先生生离离家家的的距距离离关关于于时时间间的的函函数数图图形形见见左左下下图图 离家距离 时 间 O 时间 O 离家距离 3 1 2 3 4 5 6 9 如如果果给给上上页页左左图图标标明明具具体体的的数数值值如如上上页页右右图图， 则则可可由由解解析析表表达达式式表表示示为为 5.3, 63, 31, 3, 10,3xxxxx)(xf该函数该函数f( ( x) )的定义域为的定

9、义域为 D= =0 0，5 5 ，但它在定义域内 ，但它在定义域内不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为分段函数分段函数是定义域上的一个函数分段函数分段函数是定义域上的一个函数, ,不要理解为多不要理解为多个函数，分段函数个函数，分段函数需要分段求值，分段作图需要分段求值，分段作图 例例 8 8 作出下面分段函数的图形：作出下面分段函数的图形： ,3, 0)(2xxxf. 21, 10, 01xxx 解解 该该分分段段函函数数的的图图形形如如上上图图所所示示 -1 1 2 1 2 f(x) x O D M f 定义定义 2 2 设设

10、D与与M分别是两个数集，存在对应律分别是两个数集，存在对应律 f , ,若若对对D中的每一个数中的每一个数 x，通过对应规律，通过对应规律 f，集合，集合 M中都有中都有惟惟一一确定的数确定的数 y 与之对应与之对应, ,则称则称 y为从为从 D到到 M的函数（也的函数（也称为映射）称为映射）, ,记作记作 MDf:, ,其中其中 D称为函数称为函数 f 的定义的定义域域, , D中的每一个中的每一个 x 根据对应规律根据对应规律 f对应于一个对应于一个 y， 记记作作 y= =)(xf, , 称为函数称为函数 f在在 x的函数值，全体函数值的集的函数值，全体函数值的集合合 MDxxfyyw)

11、,( 称为函数称为函数f的值域，的值域，x 称为称为 f的自变量，的自变量，y 称为因变量，称为因变量， 如右图所示如右图所示 有界性有界性 设函数设函数)(xf在某区间在某区间 I上有定义，若存在正数上有定义，若存在正数 M，使得使得Mxf)(，则称，则称)(xf在在 I上有界上有界. . 单调性单调性 设函数设函数)(xf在某区间在某区间 I上有定义， 对于区间上有定义， 对于区间 I内任内任意两点意两点x1 1，x2 2，当当 21xx 时，有时，有)()(21xfxf，则，则称称)(xf在在I上单调增加，区间上单调增加，区间 I称为单调增区间；称为单调增区间；若若 )()(21xfxf

12、则称则称)(xf在在 I上单调减少，区间上单调减少，区间 I称为单调减区间称为单调减区间. . 奇偶性奇偶性 设函数设函数)(xf在某区间在某区间 I上有定义，上有定义，I为关于原点对为关于原点对称的区间，若对于任意称的区间，若对于任意 Ix，都有都有 )( xf = =)(xf，则称则称f( (x) )为偶函数； 若为偶函数； 若f( (- - x) )= = - -)(xf， 则称则称 )(xf为奇函数为奇函数. . 二、二、 函数的几种特性函数的几种特性周期性周期性 设设函函数数)(xf在在某某区区间间 I上上有有定定义义， 若若存存在在不不为为零零的的数数 T, ,使使得得对对于于任任

13、意意Ix, ,都都有有)()(xfTxf，则则称称 )(xf为为周周期期函函数数，通通常常所所说说的的周周期期函函数数的的周周期期是是指指它它的的最最小小正正周周期期 定定义义 3 3 设设给给定定y是是 x的的函函数数y= =)(xf， 如如果果把把y当当作作自自变变量量，x当当作作函函数数，则则由由关关系系式式 y= =)(xf所所确确定定的的函函数数 )(yx称称为为函函数数y= =)(xf的的反反函函数数而而 y= =)(xf称称为为直直接接函函数数 习惯上总是用习惯上总是用 x表示自变量，而用表示自变量，而用 y表示函数，因此，表示函数，因此，往往把往往把 x= =( (y) )改写

14、成改写成 y= = ( ( x) )，称为，称为y= =)(xf的矫形反的矫形反函数，记作函数，记作)(1xfy. .称函数称函数)(xfy 的反函数的反函数 )(yx为为直接反函数直接反函数 三、反函数三、反函数思索题思索题 1.1.确定一个函数需求哪几个要素确定一个函数需求哪几个要素? ? 2.2.思索函数的几种特性的几何意义思索函数的几种特性的几何意义? ? 3 3. .直接函数直接函数 y= =)(xf，其直接反函数为，其直接反函数为 )(yx，其矫，其矫 形反函数为形反函数为)()(1xxfy x= =( (y) )与与 y= = ( ( x) )是是否否为为同同一一函函数数？ y=

15、 =)(xf、x= = ( (y) )、y= = f- -1 1( ( x) ) 在在同同一一坐坐标标系系中中 的的几几何何表表现现是是什什么么？ 一、根本初等函数一、根本初等函数二、复合函数二、复合函数三、初等函数三、初等函数第二节第二节 初等函数初等函数第二节第二节 初等函数初等函数 函数表达式 反三角函数反三角函数 三角函数三角函数 对数函数对数函数 指数函数指数函数 幂函数幂函数 常数函数常数函数 函数称号函数称号y=C ( (C为为常常数数) ) xy ( (为实数为实数) ) xay ( (a0 0, ,a1 1, ,a为为常常数数) ) y= =xalog ( (a0,0,a1

16、1, ,a为常数为常数) ) y=xsin, y=cos x, y=tan x, y=cot x y=secx, y=cscx y=arcsin x , xyarccos, xyarctan xyarccot 一、根本初等函数一、根本初等函数 这六种函数统称为根本初等函数，这些函数的性质、这六种函数统称为根本初等函数，这些函数的性质、图形必需熟习图形必需熟习 设设)(ufy , ,其中其中 )(xu, ,且且 )(x的值全部或部分落的值全部或部分落在在)(uf的定义域内， 则称的定义域内， 则称)(xfy为为 x的复合函数， 而的复合函数， 而 u称为中间变量称为中间变量 例例 1 1 （1

17、1）函数）函数xy2sin是由是由2uy , , xusin 复合而复合而成的复合函数，其定义域为成的复合函数，其定义域为),(，它也是，它也是 xusin的定的定义域义域. . （2 2） 函函数数21 xy, ,是是由由uy ，21xu复复合合而而成成的的，其其定定义义域域为为- -1 1，1 1 ，它它是是 21xu的的定定义义域域的的一一部部分分. . （3 3）y= =uarcsin, ,u=2+=2+x2 2是不能复合成一个函数的是不能复合成一个函数的 二、复合函数二、复合函数 例例2 2 分析以下复合函数的构造：分析以下复合函数的构造： y=2cotx ; .e1sin2xy 解

18、解 y= =u, , vucot, , 2xv . . y= ue, vusin, tv , 12 xt. 例例 3 3 设设2)(xxf , , xxg2)(, , 求求,)(xgf )(xfg. . 解解 fg(x)=g(x)2=( x2)2= x4 , gf(x) = )(2xf= 22x. 由由基基本本初初等等函函数数经经过过有有限限次次四四则则运运算算及及有有限限次次复复合合步步骤骤所所构构成成， 且且用用一一个个解解析析式式表表示示的的函函数数， 叫叫做做初初等等函函数数，否否则则就就是是非非初初等等函函数数 三、初等函数三、初等函数思索题思索题 1. 1. 恣意两个函数能否都可以

19、复合成一个复合函数？恣意两个函数能否都可以复合成一个复合函数？他能否可以用例子阐明？他能否可以用例子阐明？ 2 2. . 设设)(xf的的定定义义域域为为（0 0，1 1） ，求求)(tan xf的的定定义义域域 3. 3. 设设xxf11)(, 求求)(xff，)(xfff 一、数学模型的含义一、数学模型的含义二、数学模型的建立过程二、数学模型的建立过程三、函数模型的建立三、函数模型的建立第三节 数学模型方法简述 * 第三节 数学模型方法简述 函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型 数学模函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型 数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法， 也是处理

20、各类实型方法是处理科学理论问题的一种经典方法， 也是处理各类实际问题的一般方法掌握数学模型方法是非常必要的在此，际问题的一般方法掌握数学模型方法是非常必要的在此，对数学模型方法作一简述对数学模型方法作一简述 数学模型方法 （数学模型方法 （Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)称为称为 MMMM 方法 它方法 它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型， 通过对数学模型是针对所考察的问题构造出相应的数学模型， 通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法的研究，使问题得以解决的一种数学方法 数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一数学

21、模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构它或者能解释特定对象的似地表述出来的一种数学结构它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制数学模型既源于现实又高于现实，对象的最优决策或控制数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应不是实际原形

22、，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机. 一、数学模型的含义一、数学模型的含义 建建立立一一个个实实际际问问题题的的数数学学模模型型， 需需要要一一定定的的洞洞察察力力和和想想像像力力，筛筛选选、抛抛弃弃次次要要因因素素，突突出出主主要要因因素素，做做出出适适当当的的抽抽象象和和简简化化全全过过程程一一般般分分为为表表述述、求求解解、解解释释、验验证证几几个个阶阶段段，并并且且通通过过这这些些阶阶段段完完

23、成成从从现现实实对对象象到到数数学学模模型型， 再再从从数数学学模模型型到到现现实实对对象象的的循循环环可可用用流流程程图图表表示示如如下下： 数学模型的解答 数学模型 表达 （归纳） 验证 （检验） 解释 （实际解答） （演绎） 求解 现实对象 现实对象的信息 二、数学模型的建立过程二、数学模型的建立过程 表述表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来. 这这是是一一个个关关键键的的过过程程，需需要要对对实实际际问问题题进进行行分分析析，甚甚至至要要做做调调

24、查查研研究究，查查找找资资料料，对对问问题题进进行行简简化化、假假设设、数数学学抽抽象象，运运用用有有关关的的数数学学概概念念、数数学学符符号号和和数数学学表表达达式式去去表表现现客客观观对对象象及及其其关关系系如如果果现现有有的的数数学学工工具具不不够够用用时时，可可根根据据实实际际情情况况，大大胆胆创创造造新新的的数数学学概概念念和和方方法法去去表表现现模模型型 求解解 选择适当的方法，求得数学模型的解答选择适当的方法，求得数学模型的解答 解释解释 数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答 验验证证 检检验验解解答答的的正正确确性性 例如例如 哥尼斯

25、堡一条普雷格尔河，这条河有两个支哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如下页左图所示桥，如下页左图所示1818 世纪哥尼斯堡的很多居民总想一世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点可是试来试去次不重复地走过这七座桥，再回到出发点可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于拉于 17361736 年，建立了一个数学模型解决了这个问题他年，建立了一个数学模型解决了这个问题他把把 A、B、C、D 这四块

26、陆地抽象为数学中的点，把七座桥这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如下页右图所示抽象为七条线，如下页右图所示 小 岛 A 陆 地 D 陆 地 C 半 岛 B C A B D 人们步行七桥问题， 就相当于上图的一笔画问题， 即能否人们步行七桥问题， 就相当于上图的一笔画问题， 即能否将上图所示的图形不重复地一笔画出来， 这样抽象并不改变问将上图所示的图形不重复地一笔画出来， 这样抽象并不改变问题的实质题的实质 哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题， 属于数学模哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题， 属于数学模型的现实原型 经过理想化抽象所得到的如型的现实原型 经过理想化抽象所得到的

27、如上上图图所示的一笔所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型在一笔画的模型里，只保画问题便是七桥问题的数学模型在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原了所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之题经过一定的分析

28、和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的过七座桥回到出发点是不可能的 数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型从狭义上讲，列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构， 才叫做数学模型 在现代应用数学中结构， 才叫做数学模型 在现代应用数学中, ,数学模型都作狭数学模型都作狭义解释而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实义解释而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题际问题 研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立函数模型的步骤可分为：函数模型的步骤可分为： 三、函数模型的建立三、函数模型的建立 ( (1 1) ) 分分析析问问题题中中哪哪些些是是变变量量，哪哪