高等数学第一节 定积分概念与性质ppt课件

1、曲边梯形：在直角坐标系下，曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间由闭区间a, b上的延续曲线上的延续曲线 y = f (x) 0， 直线直线 x = a，x = b 与与 x 轴围成的平面图形轴围成的平面图形 AabB.yxOabABx = ax = by = f (x)基于这种想法，基于这种想法， 可以用一组平行于可以用一组平行于 y 轴的直线轴的直线把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形，把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形，只需分割得较细，只需分割得较细，每个小曲边梯形很窄，每个小曲边梯形很窄， 那么其那么其高高 f (x) 的变化就很小的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形这样，可以在每个

2、小曲边梯形上作一个与它同底，上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形，底上某点函数值为高的矩形，曲线曲线 y = f (x) 是延续的，是延续的， 所以，当点所以，当点 x 在区间在区间 a, b 上某处变化很小时，上某处变化很小时， 那么相应的高那么相应的高 f (x) 也就也就变化不大变化不大.显然，分割越细，显然，分割越细， 近似程度就越高，近似程度就越高，当无限细分时，当无限细分时， 那么一切小矩形面积之和的那么一切小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的准确值极限就是曲边梯形面积的准确值.用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，进而用一切小矩

3、形面积之和近似替代整个曲边进而用一切小矩形面积之和近似替代整个曲边梯形面积梯形面积.(1) (1) 分割分割在区间在区间a, b内恣意插入内恣意插入 n 1 个分点：个分点：a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b， 把区间把区间a, b分成分成 n 个小区间：个小区间：x0, x1，x1, x2， ，xi-1, xi ， ，xn-1, xn.这些小区间的长度分别记为这些小区间的长度分别记为 xi = xi xi -1 (i = 1, 2, , n). 过每一分点作平行于过每一分点作平行于 y 轴的直线，轴的直线， 它们把曲边梯它们把曲边梯形分成形分成 n 个小曲边梯形

4、个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a = x0a = x0 x1xi-1xn= bOy = f (x)yBAxxiOyBAx(2) (2) 近似替代近似替代在每个小区间在每个小区间 xi-1, xi(i = 1, 2, , n)上取一点上取一点 xi (xi-1 xi xi),以以 f(xi) f(xi)为高，为高， xi xi 为底作小矩为底作小矩形，形，用小矩形面积用小矩形面积 f (xi) xi 近似替代相应的小曲边梯形近似替代相应的小曲边梯形面积面积 Ai ，即即 Ai f (xi) xi (i = 1, 2, , n)

5、 .x1x1x2x2xixixnxnxOy = f (x)yBAa = x0a = x0 x1xi-1xn= b xi(4) (4) 取极限取极限当分点个数当分点个数 n 无限添加，无限添加，即即.)(lim10iniixfA = = = =x x (3) (3) 求和求和把把 n 个小矩形面积加起来，个小矩形面积加起来，,)(1iniixf = =x x得和式得和式它就是曲边梯形面积的近似值，它就是曲边梯形面积的近似值，即即.)(11ininiiixfAA = = = = =x x 且小区间长度的最大值且小区间长度的最大值 (即即 = max xi)趋近于趋近于 0 时，时， 上述和式的极限

6、就是上述和式的极限就是曲边梯形面积的准确值，曲边梯形面积的准确值，设一物体作直线运动，设一物体作直线运动， 知速度知速度 v = v(t) 是时间是时间 t 的延续函数，的延续函数， 求在时间间隔求在时间间隔T1,T2上物体所经过上物体所经过的路程的路程 s .(1) (1) 分割分割在时间间隔在时间间隔 T1,T2内恣意插入内恣意插入 n - 1 个分点：个分点：T1 = t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn = T2 ， 把把T1,T2分成分成 n 个小区间：个小区间：t0, t1，t1, t2， ，ti-1, ti ， ，tn-1, tn.这些小区间的长度分别为：这些小区间的

7、长度分别为： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相应的路程相应的路程 s 被分为被分为 n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) .(2) (2) 近似替代近似替代在每个小区间上恣意取一点在每个小区间上恣意取一点 xi (ti-1 xi ti),用用 xi 点的速度点的速度 v (xi) 近似替代物体在小区间上的近似替代物体在小区间上的速度，速度，用乘积用乘积 v (xi) v (xi) ti ti 近似替代物体在小区间近似替代物体在小区间 ti-1 , ti ti-1 , ti 上所经过的路程上所经过的路程 si si ，即即 si v(xi)

8、 ti (i =1, 2, , n) .(3) (3) 求和求和.)(11ininiiitvss = = = = =x x(4) (4) 取极限取极限.)(lim10iniitvs = = = =x x 二、定积分的定义二、定积分的定义定义设函数定义设函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上有定义上有定义恣意取分点恣意取分点a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b由于由于 xi-1 xi ， xi = xi - xi-1 b ，同样可给出定积分，同样可给出定积分即可，即可，根据定积分的定义，上面两个例子都可以表根据定积分的定义，

9、上面两个例子都可以表示为定积分：示为定积分：(1) 曲边梯形面积曲边梯形面积 A 是曲边函数是曲边函数 f (x) 在区间在区间a, b上的定积分，上的定积分，即即;d)( = =baxxfA(2) 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 s 是速度函数是速度函数 v (x) 在时间间隔在时间间隔 T1,T2 上的定积分，上的定积分， 即即.d)(21 = =TTttvS例例 1 1用定义计算用定义计算.de10 - -xx解被积函数解被积函数 f (x) = e-x， 在区间在区间 0, 1 上延续，上延续，所以所以 e-x 在在 0, 1 上可积上可积 . 为了计算方便起见，为了计算方便起见

10、，把区间把区间 0, 1 等分成等分成 n 份，份， 分点为分点为 , 1,2,1, 0210= = = = = = =nnxnixnxnxxni每个子区间的长度都是每个子区间的长度都是 ,1nxi= = 在每个子区间在每个子区间 - -nini,1上都取左端点为上都取左端点为 xi ，,1nii- -= =x x即即于是和式为于是和式为iniixf = =1)(x xnnini1e11 = =- - -= =)eee1(1121nnnnn- - - - - = =nnnn11e1)e (11- - - - -= =,1e1)e1(11- - - -= =- - -nn当当 l = maxxi

11、0 + 时，即时，即 n + 有有. 11e1lim1= =- - - -nnn于是有于是有 - -10dexxiniixf = = = =10)(limx x 1e1)e1(lim11- - - -= =- - -nnn1e1lim)e1(11- - - -= =- - - -nnn.e11- - -= =AabBy=f (x)三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义当当 f (x) 0 时，时， 定积分在几何上表示定积分在几何上表示 曲边曲边 y = f (x)在区间在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，上方的曲边梯形面积，.d)(Axxfba= = 假设假设 f (x) 0 ，曲边梯形在

12、曲边梯形在 x 轴下方，轴下方，此时该定积分为负值，此时该定积分为负值，它在几何上表示它在几何上表示 x 轴下方轴下方的曲边梯形面积是负值，的曲边梯形面积是负值，.d)(Axxfba- -= = 即即yxO当当 f (x) 在在 a, b 上有正有负时，上有正有负时， d)(在在几几何何上上表表示示 baxxf x 轴上方的曲边梯形面轴上方的曲边梯形面积减去积减去 x 轴下方的曲边梯形面积轴下方的曲边梯形面积yx定积分定积分.d)(321AAAxxfba- - - -= = y = f (x)ABabA1A2A3四、定积分的性质四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的下面各性质中的函数

13、都假设是可积的.性质性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们两个函数和的定积分等于它们定积分的和，定积分的和，即即 baxxgxfd)()( = =babaxxgxxf.d)(d)(2) (2) 被积函数的常数因子可以提到积分外面，被积函数的常数因子可以提到积分外面，即即 baxxkfd)(.d)( = =baxxfk证证 只证性质只证性质 1 .根据定积分的定义，根据定积分的定义，有有 baxxgxfd)()( iniiixgf = = = =10)()(limx xx x = = = = =niniiiiixgxf1100)(lim)(limx xx x = =babaxxgxxf.d

14、)(d)(性质性质 1 1 的的(1) (1) 可推行到有限多个函数代数可推行到有限多个函数代数和的情况，即和的情况，即 banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21 = =banbabaxxfxxfxxf性质性质 2 2 假设在区间假设在区间 a, b a, b 上上 f (x) f (x) 1 1 ，那么那么.dd1abxxbaba- -= = = 性质性质 3 3( (积分对区间可加性积分对区间可加性) )假设积分区间假设积分区间 a, b a, b 被点被点 c c 分成两个区间分成两个区间 a, c a, c 和和 c, b c, b，那么那么 baxxfd)(.d

15、)(d)( = =bccaxxfxxf当点当点 c 不介于不介于 a 与与 b 之间，之间， 即即 c a b 或或 a b 0 (i = 1, 2, , n)，移项，得移项，得推论推论 由性质由性质 4 可得可得,0d)(d)( - -babaxxgxxf.d)(d)( babaxxgxxf.d| )(|d)( babaxxfxxf 所以上式右端的极限所以上式右端的极限值非正，值非正，从而有从而有性质性质 5 5( (估值定理估值定理) )假设存在两个数假设存在两个数 M M，m m，使函数使函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b有有 m f (x) M， 那么那么该性质的几何解释是：

16、该性质的几何解释是：曲线曲线 y = f (x) 在在 a, b 上上的曲边梯形面积的曲边梯形面积 介于与区介于与区间间a, b 长度为底，长度为底， 分别分别以以 m 和和 M 为高的两个矩为高的两个矩形面积之间形面积之间.m (b - a) M (b - a) baxxfd)(y = f (x)yxabmMOBA性质性质 6 (积分中值定理积分中值定理)假设函数假设函数 f (x) 在在区间区间 a, b上延续，上延续， baxxfd)(= f (x) (b - a) 那么在区间那么在区间 a, b 上至少存上至少存在一点在一点 x ， 使下面等式成立：使下面等式成立：证由于证由于 b a

17、 0，由估值定理得，由估值定理得由闭区间上延续函数的介值定理知道由闭区间上延续函数的介值定理知道 在在 a, b 上至少存在一个点上至少存在一个点 x ， - -= =baxxfabf,d)(1)(x x于是得于是得当当 b a 时，时， 上式仍成立上式仍成立 . 使使 - -= =babaabfxxf).()(d)(x xx x - -baMxxfab.d)(1m 该性质的几何解释是：该性质的几何解释是： 一条延续曲线一条延续曲线 y = f (x) 在在 a, b 上的曲边梯形面积上的曲边梯形面积y xOf (x)x xy = f (x)abBA 等于区间等于区间 a, b 长度为底，长度

18、为底，a, b 中一点中一点 x 的函数值为高的矩形面积的函数值为高的矩形面积 .例例 2 2比较以下各对积分值的大小：比较以下各对积分值的大小：;dd)1(101033 xxxx与与.d )1ln(d)2(1010 xxxx与与解解(1) 根据幂函数的性质，在根据幂函数的性质，在 0, 1 上，有上，有由性质由性质 4 ，得，得.33xx;dd101033 xxxx(2) (2) 令令 f (x) = x - ln(1 f (x) = x - ln(1 + x)+ x)，f (x)x - -= =11101 = =xx函数函数 f (x) 在区间在区间 0, 1 上单调添加，上单调添加，所以，所以，f (x) f (0) = x - ln(1 + x)|x = 0 = 0，从而有从而有 x ln(1 + x)，由性质由性质 4 ，得，得.d)1ln(d1010 xxxx知知由