概率统计GT5-2

1、第五章 第二节 中心极限定理15.2 中心极限定理中心极限定理(the Central Limit Theorem)第五章 第二节 中心极限定理2中心极限定理中心极限定理(the Central Limit Theorem)数学期望和方差：都存在着有限的，而且对每一个是独立的随机变量序列设nnXX，2nnnnDXEX， 21n令：nkknB122以及nknkknBXY1时，有，当如果对于任意的nxxtnknkknnndtexBXPxYP21221limlim服服从从中中心心极极限限定定理理随随机机变变量量序序列列nX则称第五章 第二节 中心极限定理3独立同分布场合下的中心极限定理独立同分布场合

2、下的中心极限定理望望和和方方差差：都都存存在在着着有有限限的的数数学学期期量量序序列列，而而且且对对每每一一个个是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变设设，nnXX，2nnDXEX， 21n，即服从中心极限定理服从中心极限定理则则nX时，有，当则对于任意的nxxtnkknnndtexnnXPxYP21221limlim若令2122nBnkknnnXYnkkn1第五章 第二节 中心极限定理4说说 明明中心极限定理；该定理也称为LevyLindeberg充分大时，有，当的于任意数学期望与方差，则对布的，而且存在有限的是独立同分随机变量序列该定理指出：如果nxXnxtnkkdtexnXnP2122

3、11近似地计算概率即我们可以用正态分布xnXnPnkk11第五章 第二节 中心极限定理5例例1 1量？问应至少进行多少次测，时，上述概率不小于的近似值；要使当上述概率，的概率；计算当个小的正数对值小于一，求它与真值的差的绝术平均值作为测量结果次测量的算果取上的均匀分布如，服从区间随机误差都理量，每次测量产生的独立地测量一个物95. 061613611nn解：，表示所测物理量的真值用次测量的测量值，表示第iXi误差，次测量时所产生的随机表示第ii第五章 第二节 中心极限定理6例例1 1（续）（续）iiX于是， 21i上的均匀分布，服从区间而且，由题设，11i所以，0iE311222iD因此，iE

4、X31iiDDX， 21i随机变量，中心极限定理场合的中心极限定理布充分大时，由独立同分当随机变量序列所以，是独立同分布的，由题设知，LevyLindeberg21nXXXn第五章 第二节 中心极限定理7例例1 1（续）（续）31nnXnii，近似服从标准正态分布10N于是，所求概率为nnXPXnPniinii111nnnXPnii331132n第五章 第二节 中心极限定理8例例1 1（续）（续）代入上式，得，将6136n61361361iiXP1363612173. 1291636. 0195818. 02要使95. 06111niiXnP只须95. 013612n第五章 第二节 中心极限定

5、理9例例1 1（续）（续）975. 0361n所以，查表，得96. 1361n，所以，0992.46396. 162n次测量，才能使因此，至少要进行4795. 06111niiXnP第五章 第二节 中心极限定理10二项分布的正态逼近定理二项分布的正态逼近定理发生的次数并且试验中事件重为在设AnXnBernoulli pAP，时，当则对任意的nbabatnndtebpnpnpXaP22211lim ab 函数为标准正态分布的分布其中，xtdtex2221第五章 第二节 中心极限定理11说说 明明；该定理也称为限定理限定理中心极中心极LaplaceMoivreDe充分大时，概率则当，随机变量该定理

6、指出：如果npnBX bpnpnpXaPn1算可近似用正态分布来计第五章 第二节 中心极限定理12说说 明明逼近定理，绍了二项分布的在第二章，我们介Poisson即若， pnBX 又比较小时，有比较大，则当pnekkXPk！， 21n用起来效果并不好比较大时，上述公式使但当 p以得到比较好的结果，仍然可项分布的正态逼近定理如果这时，我们使用二第五章 第二节 中心极限定理13例例2 2概率是多少？的次船的纵摇角度大于浪冲击，问其中有次波现一船舶遭受了的概率为摇角度大于击，船的纵已知每遭受一次波浪冲设船舶在某海区航行6305002950090000316p解：试验冲击看作是一次将船舶每遭受一次波浪

7、Bernoulli，纵摇角度大于设：6A ，纵摇角度大于则316 PAP第五章 第二节 中心极限定理14例例2 2（续）（续）试验重一个次波浪冲击，可看作是船舶遭受Bernoulli9000090000发生的次数次波浪冲击中事件：设：AX90000，则，3190000 BX，我们有用二项分布的正态逼近3050029500 XP3231900003190000305003231900003190000323190000319000029500XP第五章 第二节 中心极限定理15例例2 2（续）（续）2253231900003190000225XP122529995. 0第五章 第二节 中心极限定

8、理16例例3 3多少电能？产，需供应不因供电不足而影响生以上的概率保证该车间，问要以床开工时耗电相互独立的，若每台车工是，假定各台车床是否开为且每台车床开工的概率种种原因出现停车台车床，每台车床由于某车间有%9 .99kw16 . 0200解：开工的车床数台车床在某一时刻同时：设：200X，则6 . 0200 BX，设在该时刻供电kwx正常开工则PxXP第五章 第二节 中心极限定理17例例3 3（续）（续）4 . 06 . 02006 . 02004 . 06 . 02006 . 0200 xXP4 . 06 . 02006 . 0200 x999. 0正常开工所以，要使P999. 04 .

9、06 . 02006 . 0200 x只须1 . 34 . 06 . 02006 . 0200 x因此，48.1414 . 06 . 02001 . 36 . 0200 x即，常生产以上的概率正，就能保证该车间以即只须供电99.9%kw142第五章 第二节 中心极限定理18例例4 4一加法器同时收到 60 个噪声电压kV 6021，k，假设它们是相互独立的随机变量，且都服从区间100，上的均匀分布记601kkVV，求325V的概率 解解： 由于kV服从区间100，上的均匀分布，所以， 52100kEV， 32512100120102kDV， 6021，k 第五章 第二节 中心极限定理19例例4

10、(4(续）续）因此，由独立同分布场合的中心极限定理可知， 325605603253256056016251625VPVPVP 1314. 08686. 0112. 1112. 1325605601VP 第五章 第二节 中心极限定理20例例5 5 根据以往的经验，某种电子元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布现从中随机地取出 16 只，设它们的寿命是相互独立的求这 16 只元件的寿命总和大于 1920 小时的概率 解解：设X：16 只电子元件的寿命总和 iX：第i只电子元件的寿命，1621，i ， 则161iiXX 第五章 第二节 中心极限定理21例例5 5（续）（续）由题设，iX服从参数为1001的指数分布，因此， 100iEX， 10000iDX， 1621，